Schwerpunkt S liegt auf der Verbindungslinie der Rechteckmitten im

4.2 Geometrische Körper (Stereometrie)
157
Schwerpunkt S liegt auf der Verbindungslinie der Rechteckmitten im Abstand von der Grundfläche:
h ab + ad + cb + 3cd
·
2 2ab + ad + bc + 2cd
Keil
(Grundfläche rechteckig, Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke und Trapeze)
bh
(2a + c)
6
Schwerpunkt wie Obelisk mit d = 0
V =
4.2.2.4
Die fünf regelmäßigen Polyeder
(Platonische Körper, von regelmäßigen kongruenten Vielecken begrenzt)
Tetraeder (dreiseitige regelmäßige Pyramide)
(6 Kanten, 4 Ecken, von 4 gleichseitigen Dreiecken begrenzt)
a3 √
2
V =
12
a√
ri =
6
12
√
AO = a2 3
a√
ru =
6
4
h
von der Grundfläche. Er
4
ist Mittelpunkt der ein- und umbeschriebenen Kugel.
Schwerpunkt S liegt auf der Höhe im Abstand
Tetraeder
Oktaeder
Hexaeder (Würfel)
(12 Kanten, 8 Ecken, von 6 Quadraten begrenzt) siehe 4.2.2.1.
4
158
4 Elementare (klassische) Geometrie
Oktaeder
(12 Kanten, 6 Ecken, von 8 gleichseitigen Dreiecken begrenzt)
√
a3 √
2
AO = 2a2 3
V =
3
a√
a√
ri =
6
ru =
2
6
2
Schwerpunkt S ist der Schnittpunkt der Diagonalen des gemeinsamen
Grundquadrates.
Dodekaeder
Ikosaeder
Dodekaeder
(30 Kanten, 20 Ecken, von 12 regelmäßigen Fünfecken begrenzt)
r √ √ a3 2
V =
15 + 7 5
AO = 3a 5 5 + 2 5
4
√
r √ √ a
a 3
ri =
10 25 + 11 5
ru =
1+ 5
20
4
Ikosaeder
(30 Kanten, 12 Ecken, von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt)
√ √
5a3 3+ 5
AO = 5a2 3
V =
12
√
r √ √ a 3
a
ri =
3+ 5
ru =
2 5+ 5
12
4
4.2 Geometrische Körper (Stereometrie)
4.2.3
Krummflächig begrenzte Körper
4.2.3.1
Zylinder, Zylinderabschnitt
159
U Umfang des Querschnitts normal zur Achse
s Seitenlinie
V = AG h
AO = 2AG + AM
AM = Us
Gerader Kreiszylinder
4
Schief abgeschnittener
Kreiszylinder
Gerader Kreiszylinder
p
s = h2 + r 2
2
V = πr h
AM = 2π rh
1
J = mr2
2
AO = 2π r(r + h)
(Massenmoment 2. Grades)
Schief abgeschnittener gerader Kreiszylinder
V =
π r2
2
(s1 + s2 )
AM = π r(s1 + s2 )
r
s − s 2 2
AO = π r s1 + s2 + r + r2 + 1
2
s1 + s2 1 r2 tan2 α 2
Schwerpunkt S liegt auf der Achse im Abstand
von
+ ·
4
4 s1 + s2
der Grundfläche. α Neigungswinkel der Deckfläche gegen die Grundfläche.
Zylinderabschnitt (Zylinderhuf)
Mittelpunktswinkel des Grundrisses
2a Hufkante, r Radius des Grundkreises
h längste Mantellinie
b Lot vom Fußpunkt von h auf die Hufkante
ϕ
Zylinderhuf
380
7 Funktionen
Komplementbeziehungen
π
π
sin x = cos
− x = cos x −
2
2
π
π
− x = sin x +
cos x = sin
2
π2
tan x = cot
−x
2
π
−x
cot x = tan
2
D( f ) = R
D( f ) = R
D( f ) = R \
nπ
2
o
+ kπ , k ∈ Z
D( f ) = R \ {kπ } , k ∈ Z
Grundbeziehungen
(sin x ± cos x)2 = 1 ± sin 2x
x∈R
Trigonometrischer P YTHAGORAS, x ∈ R
sin2 x + cos2 x = 1
sin x
1
π
tan x =
=
⇔ tan x · cot x = 1 x 6= k · , k ∈ Z
cos x
cot x
2
1
π
+k·π
1 + tan2 x =
x
=
6
2
cos2 x
1
1 + cot2 x =
x 6= k · π
sin2 x
Graphen der Winkelfunktionen
Sinus- und Kosinusfunktion
Tangens- und Kotangensfunktion
7.6.4.2
Goniometrische Beziehungen
Additionstheoreme
sin(x1 ± x2 ) = sin x1 cos x2 ± cos x1 sin x2
cos(x1 ± x2 ) = cos x1 cos x2 ∓ sin x1 sin x2
tan x1 ± tan x2
sin(x1 ± x2 )
tan(x1 ± x2 ) =
=
1 ∓ tan x1 tan x2
cos(x1 ± x2 )
cos(x1 ± x2 )
cot x1 cot x2 ∓ 1
cot(x1 ± x2 ) =
=
cot x2 ± cot x1
sin(x1 ± x2 )
7.6 Nichtrationale Funktionen
381
sin(x1 + x2 ) sin(x1 − x2 ) = cos2 x2 − cos2 x1
cos(x1 + x2 ) cos(x1 − x2 ) = cos2 x2 − sin2 x1
Doppelte und halbe Winkel
sin 2x = 2 sin x cos x =
2 tan x
1 + tan2 x
1 − tan2 x
cos 2x = cos x − sin x = 1 − 2 sin x = 2 cos x − 1 =
1 + tan2 x
2 tan x
2
tan 2x =
=
cot x − tan x
1 − tan2 x
cot x − tan x
cot2 x − 1
=
cot 2x =
2 cot x
2
r
r
x
1 − cos x
1 + cos x
x
sin = ±
cos = ±
2
2
2
2
r
1 − cos x
x
1 − cos x
sin x
tan = ±
=
=
2
1 + cos x
sin x
1 + cos x
r
1 + cos x
1 + cos x
sin x
x
=
=
cot = ±
2
1 − cos x
sin x
1 − cos x
2
2
2
2
Terme von weiteren Vielfachen eines Winkels
sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x
sin 4x = 8 sin x cos3 x − 4 sin x cos x
sin 5x = 16 sin x cos4 x − 12 sin x cos2 x + sin x
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
cos 4x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1
cos 5x = 16 cos5 x − 20 cos3 x + 5 cos x
sin nx = n sin x cosn−1 x
n
n
3
n−3
sin5 x cosn−5 x − + . . .
−
sin x cos
x+
5
3
n
n
sin2 x cosn−2 x +
sin4 x cosn−4 x − + . . .
cos nx = cosn x −
2
4
3 tan x − tan3 x
tan 3x =
1 − 3 tan2 x
cot3 x − 3 cot x
cot 3x =
3 cot2 x − 1
4 tan x − tan3 x
tan 4x =
1 − 6 tan2 x + tan4 x
cot4 x − 6 cot2 x + 1
cot 4x =
4 cot3 x − 4 cot x
7
382
7 Funktionen
Summen und Differenzen von trigonometrischen Termen
x1 ± x 2
x ∓ x2
cos 1
2
2
x + x2
x − x2
cos x1 + cos x2 = 2 cos 1
cos 1
2
2
x − x2
x + x2
sin 1
cos x1 − cos x2 = −2 sin 1
2
2
π
√
√
π
cos x ± sin x = 2 sin
± x = 2 cos
∓x
4
4
sin(x1 ± x2 )
tan x1 ± tan x2 =
cos x1 cos x2
sin x1 ± sin x2 = 2 sin
cot x1 ± cot x2 =
sin(x1 ± x2 )
sin x1 sin x2
Produkte von trigonometrischen Termen
1
cos(x1 − x2 ) − cos(x1 + x2 )
2
1
cos x1 cos x2 =
cos(x1 − x2 ) + cos(x1 + x2 )
2
1
sin x1 cos x2 =
sin(x1 − x2 ) + sin(x1 + x2 )
2
tan x1 − tan x2
tan x1 + tan x2
tan x1 tan x2 =
=−
cot x1 + cot x2
cot x1 − cot x2
sin x1 sin x2 =
cot x1 cot x2 =
cot x1 − cot x2
cot x1 + cot x2
=−
tan x1 + tan x2
tan x1 − tan x2
tan x1 + cot x2
tan x1 − cot x2
=−
cot x1 + tan x2
cot x1 − tan x2
1
sin x1 sin x2 sin x3 =
sin(x1 + x2 − x3 ) + sin(x2 + x3 − x1 )
4
+ sin(x3 + x1 − x2 ) − sin(x1 + x2 + x3 )
1
cos(x1 + x2 − x3 ) + cos(x2 + x3 − x1 )
cos x1 cos x2 cos x3 =
4
+ cos(x3 + x1 − x2 ) + cos(x1 + x2 + x3 )
1
− cos(x1 + x2 − x3 ) + cos(x2 + x3 − x1 )
sin x1 sin x2 cos x3 =
4
+ cos(x3 + x1 − x2 ) − cos(x1 + x2 + x3 )
tan x1 cot x2 =
7.6 Nichtrationale Funktionen
sin x1 cos x2 cos x3 =
383
1
sin(x1 + x2 − x3 ) − sin(x2 + x3 − x1 )
4
+ sin(x3 + x1 − x2 ) + sin(x1 + x2 + x3 )
Potenzen von trigonometrischen Termen
1
1
cos2 x = (1 + cos 2x)
sin2 x = (1 − cos 2x)
2
2
1 − cos 2x
tan2 x =
1 + cos 2x
1
1
sin3 x = (3 sin x − sin 3x)
cos3 x = (3 cos x + cos 3x)
4
4
1
sin4 x = (cos 4x − 4 cos 2x + 3)
8
1
cos4 x = (cos 4x + 4 cos 2x + 3)
8
1
sin5 x = (10 sin x − 5 sin 3x + sin 5x)
16
1
cos5 x = (10 cos x + 5 cos 3x + cos 5x)
16
1
sin6 x = (10 − 15 cos 2x + 6 cos 4x − cos 6x)
32
1
cos6 x = (10 + 15 cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x)
32
Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der
Exponentialfunktion (E ULERsche Formel)
e jx = cos x + j sin x
x∈R
e− jx = cos x − j sin x
Hieraus:
e jx − e− jx
sin x =
2j
e jx + e− jx
cos x =
2
e jx − e− jx
tan x = − j jx
e + e− jx
sin x = − j · sinh jx
e jx + e− jx
cot x = j jx
e − e− jx
cos x = cosh jx
tan x = − j · tanh jx
cot x = j · coth jx
(Hyperbelfunktionen siehe 7.6.6)
x 6= 0
7
8.1 Funktionen einer Variablen
423
Differenzial
Das Differenzial dy einer differenzierbaren Funktion f ist die Änderung
der Tangentenordinate, der Zuwachs auf der Tangente:
dy = f ′ (x) dx
dy heißt das Differenzial der Funktion y = f (x), das zum Inkrement ∆x =
dx gehört.
8.1.2
Erste Ableitungen der elementaren Funktionen
f (x)
(Erste) Ableitung f ′ (x)
Bedingungen
c
0
c∈R
xa
a · xa−1
ex
ex
a ∈ R Potenzregel
x 6= 0 für a < 0, x > 0 für a ∈ R \ N
ax
ax ln a
a>0
ln x
1
x
x>0
loga |x|
1
1
= loga e
x ln a
x
a 6= 1, a, x > 0
sin x
cos x
cos x
− sin x
tan x
1
= 1 + tan2 x
2
cos x
cot x
−
arcsin x
1
√
1 − x2
arccos x
−√
arctan x
1
1 + x2
arccot x
−
1
= −(1 + cot2 x)
2
sin x
1
1 − x2
1
1 + x2
Konstantenregel
8
π
x 6= (2k + 1) , k ∈ Z
2
x 6= kπ , k ∈ Z
|x| < 1
|x| < 1
424
f (x)
8 Differenzialrechnung
(Erste) Ableitung f ′ (x)
Bedingungen
cosh x
sinh x
sinh x
cosh x
tanh x
1
= 1 − tanh2 x
2
cosh x
coth x
−
arsinh x
1
√
1 + x2
arcosh|x|
1
√
sgn x
x2 − 1
|x| > 1
artanh x
1
1 − x2
|x| < 1
arcoth x
−
1
= 1 − coth2 x
2
sinh x
1
x2 − 1
x 6= 0
|x| > 1
Abgeleitete spezielle Funktionen
(Erste) Ableitung f ′ (x)
Bedingungen
x
1
x∈R
lg x
1
0,43429
1
1
lg e ≈
bzw.
≈
x
x
x ln 10
2,30259x
x>0
ln | f (x)|
f ′ (x)
logarithmische Ableitung
f (x)
f (x) 6= 0
f (x)
8.1.3
Differenziationsregeln, Ableitungsregeln
8.1.3.1
Grundregeln
"
′
a · f (x) = a · f ′ (x)
a∈R
′
′
′
(u ± v) = u ± v
u = u(x), v = v(x)
′
′
′
(u · v) = u v + uv
(u · v · w) ′ = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′
u ′ vu ′ − uv ′
=
Quotientenregel:
v 6= 0
v
v2
Merke: 1. Quadrat des Nenners im Nenner notieren
2. Nenner mal Zählerableitung minus Zähler mal Nennerableitung
Faktorregel:
Summenregel:
Produktregel:
8.1 Funktionen einer Variablen
425
Ein Spezialfall der Quotientenregel ist die
′
v′
1
=− 2
Reziprokenregel:
v
v
Kettenregel (siehe auch 7.2)
Ableitung mittelbarer (zusammengesetzter) Funktionen
"
y = h(x) = (g ◦ f )(x) = g f (x)
y = g(u) äußere Funktion, u = f (x) innere Funktion
dy du
dy
=
·
y ′ = h ′ (x) =
dx
du dx
bzw. y ′ = g ′ (u) · f ′ (x) „äußere Ableitung mal innere Ableitung“
y = h(u), u = g(v), v = f (x)
dy
dy du dv
=
·
·
= h ′ (u) · g ′ (v) · f ′ (x)
dx
du dv dx
Beispiele
8
Differenziation der Funktionen y = f (x).
(1) y = f (x) = x5 + 3x2 − x7
y ′ = f ′ (x) = 5x4 + 6x − 7x6
(2) y = f (x) = (x3 + a)(x2 + 3b)
u(x) = x3 + a, u ′ (x) = 3x2
v(x) = x2 + 3b, v ′ (x) = 2x
y ′ = u ′ v + uv ′ = 3x2 (x2 + 3b) + (x3 + a)2x = 5x4 + 9bx2 + 2ax
(3) y = f (x) =
x3 + 2x
4x2 − 7
u(x) = x3 + 2x, u ′ (x) = 3x2 + 2
v(x) = 4x2 − 7, v ′ (x) = 8x
vu ′ − uv ′
(4x2 − 7)(3x2 + 2) − (x3 + 2x)8x
4x4 − 29x2 − 14
y =
=
=
v2
(4x2 − 7)2
(4x2 − 7)2
′
(4) y = (1 − cos4 x)2 = u2 = h(u)
h ′ (u) = 2u = 2(1 − cos4 x)
wobei u = 1 − cos4 x
u = 1 − cos4 x = 1 − v 4 = g(v)
wobei v = cos x
v = cos x = f (x)
f ′ (x) = − sin x
g ′ (v) = −4v 3 = −4 cos3 x
dy
= h ′ (u)g ′ (v) f ′ (x) = 2(1 − cos4 x)(−4 cos3 x)(− sin x)
dx
= 8 sin x cos3 x(1 − cos4 x)
666
13 Statistik, Stochastik
Ereignisse
Jede Teilmenge A ⊆ Ω einschließlich der leeren Menge 0/ (unmögliches
Ereignis) und der Gesamtmenge Ω (sicheres Ereignis) heißt Ereignis.
A tritt ein, wenn bei einem Versuch eines seiner Elementarereignisse
eintritt.
Ereignisse können verbal beschrieben werden oder als Menge durch Aufzählung ihrer Elementarereignisse.
Beispiele
(1) Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ereignis A = „Werfen einer geraden Zahl“ = {2, 4, 6} ⊆ Ω
A tritt z. B. ein, wenn eine 2 gewürfelt wird.
(2) Zufallsexperiment: Lebensdauer eines technischen Gerätes messen
Ω = [0; ∞)
Ereignis A = „Gerät hält weniger als 3000 h“ = [0; 3000) ⊆ Ω
Relationen zwischen Ereignissen
A⊆B
A=B
A ist Teilmenge von B, mit A tritt stets B ein,
A zieht B nach sich
Gleichheit, mit A tritt auch B ein und umgekehrt,
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Operationen mit Ereignissen
A ∪ B Summe (Vereinigung), es tritt mindestens eines der beiden
Ereignisse ein
A ∩ B Produkt (Schnitt), A und B treten gleichzeitig ein
A \ B Differenz, A tritt ein, aber B nicht
A
Komplement, Gegenereignis, A tritt genau dann ein, wenn A
nicht eintritt
Rechenregeln für Ereignisse
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
(Kommutativgesetze)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
(Assoziativgesetze)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(Distributivgesetze)
13.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
A∩B=A∪B
A∪B=A∩B
A ∩ 0/ = 0/
A ∩ A = 0/
667
(DE M ORGANsche Gesetze)
A ∪ 0/ = A
A∪A=Ω
Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse A, B ⊆ Ω heißen disjunkt, (unvereinbar, schnittfremd),
falls
/
A ∩ B = 0.
Disjunkte Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten, sie schließen sich
gegenseitig aus.
Beispiel
Die Ereignisse A: „Werfen einer geraden Zahl“ und B: „Werfen einer ungeraden Zahl“ beim Würfeln sind disjunkt.
13.2.2
Definition der Wahrscheinlichkeit
Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Führt man einen Versuch sehr oft (n-mal) unter gleichen Bedingungen
durch, so strebt die relative Häufigkeit eines Ereignisses A gegen einen
festen Wert P(A). Dieser Wert heißt Wahrscheinlichkeit von A:
hn (A)
P(A) ≈
n
hn (A) Anzahl des Eintretens von A bei n unabhängigen Wiederholungen
eines Versuchs
h(A)
schwankt bei immer größerem n immer weniger um einen gewissen
n
Wert P(A) 1) . P(A) ist ein Maß dafür, wie häufig ein Ereignis auf lange Sicht
eintritt.
Im Gegensatz zum strengen Konvergenzbegriff der Analysis kann man aber
zu einer vorgelegten Abstandsschranke ε > 0 kein n0 angeben, sodass
|P(A) − hn (A)/n| < ε ist für n ≥ n0 . Daher ist der empirische Wahrscheinlichkeitsbegriff als Grundlage der modernen Stochastik unbrauchbar,
stattdessen wählt man die
1)
gelesen „P von A“, von engl. „probability“
13
668
13 Statistik, Stochastik
Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit
(nach A. N. KOLMOGOROFF)
Jedem Ereignis A ⊆ Ω wird eine reelle Zahl P(A), seine Wahrscheinlichkeit, zugeordnet, sodass folgende Axiome erfüllt sind:
Axiom 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1
Axiom 2: P(Ω) = 1
Axiom 3: Für paarweise disjunkte Ereignisse A1 , A2 , . . . ist
P(A1 ∪ A2 ∪ . . .) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . .
Paarweise disjunkt: Ai ∩ A j = 0/ für i 6= j, i, j ∈ N
Die drei Axiome werden nicht bewiesen, stellen aber zusammen mit den
Axiomen der reellen Zahlen die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung dar. Aus ihnen werden alle weiteren Sätze streng hergeleitet.
Daneben im täglichen Leben: Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff, um
die Stärke eines Vorsatzes oder den Grad empirischen Wissens auszudrücken: „Wahrscheinlich komme ich morgen nicht zur Vorlesung“ oder
„Mit ziemlicher Sicherheit bekommen wir bis Jahresende einen neuen
Chef“.
13.2.3
Sätze über Wahrscheinlichkeiten
Aus den Axiomen lassen sich unmittelbar folgende Sätze herleiten:
Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses
/ =0
P(0)
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
P(A) = 1 − P(A)
Monotonie der Wahrscheinlichkeit
A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
13.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
669
Additionssatz für beliebige Ereignisse
Für zwei Ereignisse:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Für drei Ereignisse:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B)
− P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Die Ereignisse A, B und C müssen nicht
notwendig disjunkt sein, daher „beliebige Ereignisse“. Im Fall der Disjunktheit sind alle Wahrscheinlichkeiten von
Schnittmengen gleich 0 und man erhält
das dritte KOLMOGOROFFsche Axiom
als Spezialfall des Additionssatzes.
Additionssatz für zwei Ereignisse
Satz von L APLACE
Besteht der Elementarereignisraum Ω aus nur endlich vielen Elementarereignissen, die alle gleichwahrscheinlich sind, so gilt für jedes
Ereignis A ⊆ Ω
P(A) =
Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse
|A|
=
|Ω|
Anzahl der überhaupt möglichen Elementarereignisse
|A| Mächtigkeit von A, Anzahl der Elemente von A
Die L APLACE-Annahme „Alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich“
wird in der Praxis als gegeben angesehen, wenn es keinen Grund zu
der Annahme gibt, ein Elementarereignis sei gegenüber den anderen in
irgendeiner Weise bevorzugt. Dies ist z. B. der Fall bei einem geometrisch
und physikalisch perfekt gefertigten Würfel (L APLACE-Würfel) oder bei
der Ziehung einer Zufallsstichprobe.
Beispiele
(1) Werfen eines L APLACE-Würfels, Ereignis A = „Augenzahl > 4“
|{5, 6|}
2
1
P(A) =
= =
|{1, 2, 3, 4, 5, 6}|
6
3
13