Optische Systeme - KIT

2.2
Inhalte der Vorlesung
1. Grundlagen der Wellenoptik
1.1 Die Helmholtz-Gleichung
1.2 Lösungen der Helmholtz-Gleichung: Ebene Wellen und Kugelwellen
1.3 Das Huygenssche Prinzip
1.4 Reflexion und Brechung an Grenzflächen
Optische Systeme
2.
3.
4.
5.
6.
Martina Gerken
29.10.2007
Abbildende optische Systeme
Optische Messtechnik
Optische Materialbearbeitung
Optik in der Datenspeicherung
Mikro- und Nanooptische Systeme
Universität Karlsruhe (TH)
2.3
2.4
Licht als elektromagnetische Welle
•
Licht hat sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter
– Alle Eigenschaften können quantenmechanisch beschrieben werden
(siehe Vorlesung Festkörperelektronik)
•
Für viele Fälle der Lichtausbreitung reicht die Betrachtung als
elektromagnetische Welle (Wellenoptik).
– E und H haben harmonische Zeitabhängigkeit
•
Für monochromatisches Licht gilt:
E(r, t ) = E(r )exp( jω t )
H(r, t ) = H(r ) exp( jω t )
ω = 2πf = 2πc M / λM
E
H
r
t
ω
f
λM
cM
Elektromagnetisches Spektrum
•
Wellenlänge des sichtbaren Spektrums in Vakuum: 400 nm bis 750 nm
Elektrische Feldstärke [V/m]
Magnetische Feldstärke [A/m]
x,y,z-Koordinate im Raum [m]
Zeit [s]
Kreisfrequenz [rad/s]
Frequenz [1/s]
Wellenlänge im Medium [m]
Lichtgeschwindigkeit im Medium [m/s]
Quelle: http://de.wikipedia.org
2.5
2.6
Maxwell Gleichungen
•
Maxwell Gleichungen:
•
Materialgleichungen (für lineare, zeitunabhängige, isotrope Materialien):
(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) + D
D(r, t ) = ε (r ) E(r, t )
∇ × E(r, t ) = −B (r, t )
H (r, t ) =
∇⋅ D(r, t ) = ρ (r, t )
Gruppenaufgabe: Helmholtz-Gleichung
•
∇ 2 E(r , t ) + k 2 E(r , t ) = 0
1
B(r, t )
µ (r )
Magnetische Induktion [Vs/m2 =Tesla]
Elektrische Verschiebung [As/m2]
Stromdichte [A/m2]
ρ
Raumladungsdichte [As/m3]
ε =ε0 · εr Dielektrizität [As/Vm]
µ =µ0 · µr Permeabilität [Vs/Am]
κ
Elektrische Leitfähigkeit [A/Vm]
B
D
J
(Equivalent für H)
•
Annahmen:
– ρ=0
– Medium ist homogen (ε, µ, κ unabhängig von r)
– E und H haben harmonische Zeitabhängigkeit
•
Hilfe:
– Für beliebigen Vektor A gilt
•
Was folgt aus der Herleitung für k ?
J (r, t ) = κ (r ) E(r, t )
∇⋅ B(r, t ) = 0
Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen die Helmholtz-Gleichung für
elektromagnetische Wellen her!
∇ × ∇ × A = ∇(∇A ) − ∇ 2 A
2.7
2.8
Was ist k?
{
Skalare Optik
}
∇ 2 E(r, t ) + µ ε ω 2 − jµ κ ω E(r, t ) = 0
•
Helmholtz-Gleichung beschreibt Lichtausbreitung in einem linearen, zeitunabhängigen, isotropen, homogenen, quellenfreien Medium
∇ 2 E(r , t ) + k 2 E(r , t ) = 0
↓
(Equivalent für H)
k = µ ε ω − jµ κ ω =
2
ω
µ κ ω n 2π
µrε r − j r =
=
=
c
ω ε0
c
λM
c
n
Lichtgeschwindigkeit in Vakuum [m/s]
Brechungsindex [1]
•
Helmholtz-Gleichung gilt für jede Einzelkomponente des Feldvektors
– D.h. skalare Gleichung ist ausreichend
– In diesem Fall spricht man von skalarer Optik.
∇ 2 E x (r , t ) + k 2 E x (r , t ) = 0
oder entsprechend
ε 0 = 8,8541878 ⋅10−12 As / Vm
−7
µ 0 = 4π ⋅10 Vs / Am
∂ 2 E x (r , t ) 2
+ k E x (r , t ) = 0
∂x 2
c=
1
µ 0ε 0
= 2,99792458 ⋅108 m/s
(Equivalent für Ey, Ez, Hx, Hy, Hz)
2.9
2.10
Vektorielle Optik
•
•
Wann kann man die skalare Optik benutzen?
Wenn die Einzelkomponenten des E-Vektors bzw. H-Vektors gekoppelt sind,
kann Lichtausbreitung nicht durch skalare Gleichungen für
Einzelkomponenten beschrieben werden.
– Vektorielle Gleichung notwendig
– In diesem Fall spricht man von vektorieller Optik.
– Skalare Optik kann immer auch über vektorielle Optik beschrieben
werden.
•
Skalare Optik gilt, solange Strukturen wesentlich größer als die Wellenlänge
des Lichtes sind.
– Gute Nährung für viele optische Systeme.
•
Gegenbeispiel: Nahfeldmikroskopie
– SNOM (Scanning Near-field Optical Microscopy)
– auch NSOM genannt
Beispiel: Dielektrizität ist positionsabhängig
– Aus Maxwell-Gleichungen folgt
∇ 2 E(r , t ) + 2∇ (E(r , t ) ⋅ ∇ ln n ) + k 2 E(r , t ) = 0
– Einzelkomponenten des E-Vektors über mittleren Term gekoppelt
– Wenn mittlerer Term vernachläßigt werden kann, gilt näherungsweise
skalare Optik.
Quellen: http://www.olympusmicro.com
http://www2.chem.ku.edu/rdunngroup/
2.11
2.12
Inhalte der Vorlesung
1. Grundlagen der Wellenoptik
1.1 Die Helmholtz-Gleichung
1.2 Lösungen der Helmholtz-Gleichung: Ebene Wellen und Kugelwellen
1.3 Das Huygenssche Prinzip
1.4 Reflexion und Brechung an Grenzflächen
2.
3.
4.
5.
6.
Ebene Wellen als Lösungen im homogenen Medium
∇ 2 E(r, t ) + k 2 E(r, t ) = 0
•
Zwei mögliche Lösungen der Helmholtz-Gleichung für homogenes Medium:
– Vorwärtslaufende (f: forward) ebene Welle
E f (r, t ) = E f exp[ j (ω t − kr )] e ⊥k
Abbildende optische Systeme
Optische Messtechnik
Optische Materialbearbeitung
Optik in der Datenspeicherung
Mikro- und Nanooptische Systeme
– Rückwärtslaufende (b: backward) ebene Welle
E b (r, t ) = Eb exp[ j (ω t + kr )] e ⊥k
•
k wird Wellenvektor genannt
– Richtung: Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle, senkrecht zu Feld
– Amplitude
k=
ωn
c
=
2π
λM
2.13
2.14
Verknüpfung von E und H
Wellenfronten harmonischer, ebener Wellen
•
Ebenen konstanter
Feldamplitude:
– Konstante Feldamplitude
entspricht konstanter
Phase der Welle
•
ψ=A
ψ = -A
•
Elektrisches und magnetisches Feld sind über Maxwell-Gleichung verküpft:
∇ × E(r, t ) = −B (r, t )
ψ=A
E (r ) n
Z0
•
Für Amplituden gilt im homogenen Medium:
– Z0 = 376.7 Ω die Vakuumimpedanz
•
Richtungen im homogenen Medium verknüpft über Rechte-Hand-Regel
– z.B.
Fläche konstanter Phase
bzw. Feldamplitude heißt
Wellenfront.
H (r ) =
k = kx ex
E(r , t ) = E y exp[ j (ω t − kr )] e y
B(r , t ) = Bz exp[ j (ω t − kr )] e z
Quelle: E. Hecht, Optik
2.15
2.16
Elektromagnetische Welle
•
Kugelwellen als Lösungen im homogenen Medium
•
Beispiel einer ebenen elektromagnetischen Welle
– TEM-Welle: Transversalelektromagnetische Welle
Kugelwellen sind ebenfalls Lösungen der Helmholtz-Gleichung
– Ausbreitung vom Quellpunkt r0 her
E (r , r0 , t ) = E0
ρ (r, r0 ) =
exp[ j (ω t − k ρ (r , r0 ))]
ρ (r, r0 )
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
k
•
Quelle: http://www.physik.unizh.ch/
Wellenfronten konstanter Phase
sind Kugeloberflächen
Quelle: E. Hecht, Optik
2.17
2.18
Superpositionsprinzip
•
Helmholtz-Gleichung ist homogene partielle Differentialgleichung.
∇ 2 E x (r , t ) + k 2 E x (r , t ) = 0
•
Inhalte der Vorlesung
1. Grundlagen der Wellenoptik
1.1 Die Helmholtz-Gleichung
1.2 Lösungen der Helmholtz-Gleichung: Ebene Wellen und Kugelwellen
1.3 Das Huygenssche Prinzip
1.4 Reflexion und Brechung an Grenzflächen
∂ 2 E x (r , t )
+ k 2 E x (r , t ) = 0
∂x 2
Superpositionsprinzip: Linearkombination von Lösungen (mit beliebigen
Koeffizienten) einer homogenen linearen Gleichung ist wieder eine Lösung
dieser Gleichung.
2.
3.
4.
5.
6.
•
Physikalisch bedeutet dies, dass Wellen sich überlagern können, ohne sich
gegenseitig zu beeinflussen.
•
Lineare Optik: Eine elektromagnetische Welle breitet sich in einem Medium in
immer gleicher Weise aus – unabhängig von eventuell vorhandenen weiteren
Wellen.
Abbildende optische Systeme
Optische Messtechnik
Optische Materialbearbeitung
Optik in der Datenspeicherung
Mikro- und Nanooptische Systeme
2.19
2.20
Lichtausbreitung in inhomogenen Medien
•
•
Beim Durchgang durch einen Stoff ungleichmäßiger Dicke wird Wellenfront Σ
verformt.
Huygenssches Prinzip
•
Hypothese von Christian Huygens (1690):
– Jeder Punkt auf primärer Wellenfront dient als
Ursprung von kugelförmigen sekundären
Elementarwellen.
– Primäre Wellenfront zu einer späteren Zeit ist
Einhüllende dieser Elementarwellen.
– Wellen schreiten mit Geschwindigkeit und
Frequenz entsprechend der Primärwelle im
jeweiligen Raumpunkt fort.
•
Problem:
– Elementarwellen erzeugen rückwärtslaufende
Welle, die nicht existiert
Wie können wir die Wellenfront Σ´aus der Wellenfront Σ berechnen?
Quelle: E. Hecht, Optik
Quelle: E. Hecht, Optik
2.21
2.22
Reflexion und Brechung über Huygenssches Prinzip
•
Huygenssches Integral
Konstruktion von Reflexion und Brechung möglich über Huygenssches Prinzip
•
Fresnel und Kirchhoff, sowie Rayleigh und Sommerfeld haben Huygens Idee
weiterentwickelt und mathematisch gefasst:
– Einfallende Wellenfront Σ wird in Kugelwellen zerlegt
– Propagation von Kugelwellen als Lösung der Helmholtz-Gleichung
– Superposition der propagierten Kugelwellen ergibt Wellenfront Σ´
– Korrekturfaktor cos θ notwendig; verhindert rückwärtslaufende Wellen
j
~
E (s, z , t ) =
λ ∫∫
•
Quelle: E. Hecht, Optik
S0
exp[ j (ω t − k ρ (r , r0 ))]
~
cos θ (r , r0 ) dS 0
E0 (s 0 , z0 )
ρ (r, r0 )
Huygenssches Integral korrekt,
wenn Superpositionsprinzip gilt.
Quelle: A. Siegman, Lasers
2.23
2.24
Wellen und Strahlen
•
•
Ausbreitung von Lichtstrahlen
Vereinfachend lassen sich Wellenfronten mit Hilfe von Lichtstrahlen darstellen
Lichtstrahlen sind die Normalen zur Ebene der Wellenfront
•
•
•
•
Darstellung mit Wellenfronten:
•
Darstellung mit Strahlen:
Quelle: E. Hecht, Optik
Praktisch erfolgt die Berechnung der Lichtausbreitung oft über die Verfolgung
einzelner Strahlen (Raytracing - Strahlverfolgung)
Wellenfronten können an jeder Position aus Strahlen rekonstruiert werden
Achtung: Strahlen müssen dicht genug gewählt sein!
– Abstand der Strahlen muss Raumvariation der Strukturen entsprechen
Quelle: E. Hecht, Optik
2.25
2.26
Begriffsverifikation
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Inhalte der Vorlesung
1. Grundlagen der Wellenoptik
1.1 Die Helmholtz-Gleichung
1.2 Lösungen der Helmholtz-Gleichung: Ebene Wellen und Kugelwellen
1.3 Das Huygenssche Prinzip
1.4 Reflexion und Brechung an Grenzflächen
Helmholtz-Gleichung
Wellenfront
Lichtstrahl
Ebene Welle
Kugelwelle
Elektromagnetischen Welle
Skalare Optik
Vektorielle Optik
Superpositionsprinzip
Huygenssches Prinzip
2.
3.
4.
5.
6.
Abbildende optische Systeme
Optische Messtechnik
Optische Materialbearbeitung
Optik in der Datenspeicherung
Mikro- und Nanooptische Systeme
2.27
2.28
Was passiert mit Wellenfront an Grenzfläche?
•
•
Betrachtung der Reflexion und Brechung von ebenen Wellen
– Mit Superpositionsgesetz können andere Wellenformen in ebene Wellen
zerlegt werden.
Einfall vorwärtslaufender ebener Welle Ef,i mit Wellenvektor kf,i in Gebiet i
E f (r , t ) = E f exp[ j (ω t − kr )] e ⊥k
Polarisation
•
•
•
Reflexion und Brechung abhängig von E- und H-Richtung zur Grenzfläche
Zwei Fälle (Polarisationsrichtungen) werden unterschieden
– H parallel zu Grenzfläche, E in Einfallsebene (TM)
– E parallel zu Grenzfläche, H in Einfallsebene (TE)
Andere Fälle können über Superpositionsgesetz berechnet werden
x
x
ni
ni
p-Polarisation (TM)
ni+1
x
ni
s-Polarisation (TE)
ni+1
ni+1
θi
z
θi
Ef,i
kf,i
kf,i
θi
z
kf,i
Ef,i
Hf,i
Hf,i
Vektor zeigt aus Ebene heraus
Vektor zeigt in Ebene hinein
z
2.29
2.30
Beispiel: Zirkulare Polarisation
•
Polarisation
Überlagerung von zwei ebenen Wellen gleicher Amplitude mit
Polarisationsrichtungen senkrecht aufeinander und 90° Phasenunterschied
– Polarisationsrichtung ist Schwingungsrichtung des Amplitudenvektors
•
Polarisation beliebiger Transversalwelle mit drei Größen beschreibbar:
– Projektion des Amplitudenvektors auf zwei orthogonale Achsen senkrecht
zum Wellenvektor
– Phasenunterschied zwischen diesen beiden Projektionen
Linear
Zirkular
Elliptisch
Quelle: http://de.wikipedia.org
Quelle: http://de.wikipedia.org
2.31
2.32
Unpolarisiertes und polarisiertes Licht
•
•
Licht aus thermischen Lichtquellen z.B. Sonne oder Glühlampen unpolarisiert
– Inkohärente Überlagerung vieler Einzelwellen mit statistisch verteilten
Polarisationszuständen
Licht aus Lasern meistens polarisiert (Polarisationsrichtung kann instabil sein)
Konvention für positive Richtungen
•
Für Berechnung verwenden wir dargestellte Konventionen für positive
Richtungen
– Wahl der positiven Richtung hat keinen Einfluss auf messbare
Amplituden- oder Winkeländerungen
x
ni
•
Unpolarisiertes Licht kann polarisiert werden durch (Details später)
– Absorption
– Reflexion
– Streuung
– Doppelbrechung
p-Polarisation (TM)
ni+1
Eb,i
Polarisationsrichtung kann mit λ/4-Plättchen um 90° gedreht werden (Details
später)
ni
s-Polarisation (TE)
ni+1
Hb,i
Ef,i+1
kb,i
kb,i
Hb,i
kf,i+1
θi
Ef,i
Ef,i+1
Eb,i
θi+1 Hf,i+1
kf,i
•
x
θi
z
kf,i
Ef,i
Hf,i
Hf,i
Vektor zeigt aus Ebene heraus
Vektor zeigt in Ebene hinein
θi+1
kf,i+1
Hf,i+1
z
2.33
2.34
Snelliussches Brechungsgesetz
•
Gruppenaufgabe: Totalreflexion
Aus Maxwell Gleichungen ergibt sich Konstanz der tangentialen
Komponenten des E- und des H-Feldes über die Grenzfläche hinweg
– z.B. TE-Polarisation
[
]
E||,f,i exp j (ω i t − k f , x ,i x ) + E||,b,i exp[ j (ω i t + kb , x ,i x )] =
[
•
Unter welchen Bedingungen tritt Totalreflexion auf?
•
Berechnen Sie den Totalreflexionswinkel für einen Wasser-Luft-Übergang!
– nLuft = 1 und nWasser = 1,33
]
E||,f,i +1 exp j (ω i +1 t − k f , x ,i +1 x )
•
Randbedingung muss für alle Zeiten t und alle Positionen x erfüllt sein
→ ω muss konstant sein ω i = ω i +1
→ x-Komponente von k muss konstant sein, diese wird β genannt
k f , x ,i = − kb , x ,i = k f , x ,i +1 = β
•
Zusammenhang zum Snelliussche Brechungsgesetz
β = kx =
ω
c
ni sin (θ i ) = ni +1 sin (θ i +1 )
ni sin (θ i )
2.35
2.36
Herleitung des TE-Amplitudenreflexionskoeffizient
•
Aus den Randbedingungen erhalten wir:
Amplitudenkoeffizienten
•
E y,f,i + E y,b,i = E y,f,i +1
rTE ,i ,i +1 =
− H x,f,i + H x,b,i = − H x,f,i +1
•
Amplituden hängen zusammen über:
H x,f,i = H f,i cos(θ i ) =
•
Amplitudenreflexionskoeffizient r
– Verhältnis aus reflektiertem zu einfallendem Feld
Ef,i ni
Z0
cos(θ i ) =
Ey,f,i ni
Z0
Auflösen ergibt:
rTE ,i ,i +1 =
E y,b,i
E y,f,i
=
ni cos(θ i ) − ni +1 cos(θ i +1 )
ni cos(θ i ) + ni +1 cos(θ i +1 )
rTM ,i ,i +1 =
cos(θ i )
•
E y,b,i
E y,f,i
=
ni cos(θ i ) − ni +1 cos(θ i +1 )
ni cos(θ i ) + ni +1 cos(θ i +1 )
E x,b,i ni / cos(θ i ) − ni +1 / cos(θ i +1 )
=
E x,f,i ni / cos(θ i ) + ni +1 / cos(θ i +1 )
Amplitudentransmissionskoeffizient t
– Verhältnis aus transmittiertem zu einfallendem Feld
tTE ,i ,i +1 =
tTM ,i ,i +1 =
E y,f,i+1
E y,f,i
=
2ni cos(θ i )
ni cos(θ i ) + ni +1 cos(θ i +1 )
E x,f,i +1
2ni / cos(θ i )
=
E x,f,i
ni / cos(θ i ) + ni +1 / cos(θ i +1 )
2.37
2.38
Reflexionsgrad und Durchlässigkeit
•
Zeitgemittelter Leistungsfluss
Leistungskenngrößen
– Reflexionsgrad
•
Zeitgemittelter Leistungsfluss durch Einheitsfläche A auf der Grenzfläche
I ⊥ ( x, z ) =
Leistung, die von der Grenzfläch e reflektiert wird
R=
Leistung, die auf die Grenzfläch e auftrifft
(
1
∗
Re E|| ( x, z , t ) H || ( x, z , t )
2
R = ri ,i +1
2
– Durchlässigkeit / Transmissionsgrad
TTE = ti ,i +1
Leistung, die durch die Grenzfläch e durchgelassen wird
T=
Leistung, die auf die Grenzfläch e auftrifft
•
TTM = ti ,i +1
Zeitabhängiger Leistungsfluss gegeben durch Poynting-Vektor S
S( x, z, t ) = Re(E( x, z, t )) × Re(H( x, z, t ))
•
(
1
∗
Re E( x, z , t ) × H ( x, z , t )
2
2
2
ntrans cos(θ trans )
ninc cos(θ inc )
ntrans cos(θ inc )
ninc cos(θ trans )
trans: Medium des transmittierten Strahls
inc: Medium des einfallenden Strahls
Bestrahlungsstärke (Durchschnittsenergie, die Fläche pro Zeiteinheit durchquert)
I ( x, z ) =
)
)
Quelle: E. Hecht, Optik
•
Ohne Absorption gilt:
R +T =1
2.39
2.40
Hausaufgabe: Reflexion mit Winkel
•
Berechnen Sie den Transmissionsgrad durch eine Glasscheibe als Funktion
des Winkels für TE-Polarisation und TM-Polarisation!
– nLuft = 1 und nGlas = 1,5
Fragensammlung
•
•
•
Transmissionsgrad / %
100
•
•
•
80
60
•
•
•
•
•
40
20
0
0
15
30
45
Winkel / °
60
75
90
TE
TM
•
Wie funktioniert eine Polbrille (polarisierende Sonnenbrille)?
•
•
Welche Wellenlänge hat sichtbares Licht?
Wie lautet die Helmholtz-Gleichung?
Unter welchen Bedingungen beschreibt die Helmholtz-Gleichung die
Lichtausbreitung?
Nennen Sie zwei Lösungen der Helmholtz-Gleichung!
Wann gilt das Superpositionsprinzip?
Nennen Sie ein System, dass sich nicht mir Hilfe der skalaren Optik
beschreiben lässt!
Was ist das Huygenssche Prinzip?
Was sind Lichtstrahlen?
Was ist Polarisation?
Wie lautet das Snelliussches Brechungsgesetz?
Wie lauten die Gleichungen für den Reflexionsgrad und die Durchlässigkeit
einer Grenzfläche?
Wie hoch ist der Reflexionsgrad einer Glasscheibe bei 0°?
Bei welchem Winkel ist der Reflexionsgrad einer Glasscheibe minimal?