Übungsblatt 7 - KIT - Fakultät für Mathematik

Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I (WS 2014 / 2015)
Übungsblatt 7
Aufgabe 1
Für eine Matrix A = (ai j ) ∈ Mn×n (K) ist ihre Spur definiert als:
n
Spur(A) = ∑ aii
i=1
Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ ∶ Mn×n (K) → K,ϕ(A) = Spur(A) linear ist.
Aufgabe 2
Es seien V ein Vektorraum mit Basis {v1 ,...,vn } und ϕ eine lineare Abbildung von V in einen Vektorraum W .
Dann ist ϕ durch w1 = ϕ(v1 ),...,wn = ϕ(vn ) eindeutig bestimmt. Zeigen Sie:
(a) ϕ ist genau dann injektiv, wenn w1 ,...,wn linear unabhängig sind.
(b) ϕ ist genau dann surjektiv, wenn w1 ,...,wn ein Erzeugendensystem von W bilden.
(c) ϕ ist genau dann bijektiv, wenn w1 ,...,wn eine Basis von W bilden.
Aufgabe 3
Es seien V ein Vektorraum über Q und f ∶ V → V eine Abbildung, welche f (u + v) = f (u) + f (v) für alle u,v ∈ V
erfüllt.
Zeigen Sie, dass f linear ist.
Aufgabe 4
Es sei V der Vektorraum der n × n Matrizen über R.
(a) Zeigen Sie, dass ϕ ∶ V → V, A ↦ A + A⊺ linear ist.
(b) Bestimmen Sie Kern(ϕ) und Bild(ϕ).
Aufgabe 5 (K)
Es seien V , W und U endlichdimensionale Vektorräume sowie f ∶ V → W und g ∶ W → U lineare Abbildungen.
Zeigen Sie:
(a) g ○ f ist linear.
(b) dimBild(g ○ f ) = dimBild( f ) − dim(Bild( f ) ∩ Kern(g))
(c) dimBild(g ○ f ) ⩽ min{dimBild(g),dimBild( f )}
(d) dimKern(g ○ f ) ≥ dimKern( f )
Bitte wenden!
Aufgabe 6 (K)
Es bezeichnen E3 und E4 die Standardbasen von R3 bzw. R4 und es sei
⎛ x1 + 2x3 ⎞
⎛x1 ⎞ ⎜ x − x ⎟
ϕ ∶ R3 → R4 , ⎜x2 ⎟ ↦ ⎜ 2 3 ⎟ .
⎝x3 ⎠ ⎜ x1 + x2 ⎟
⎝2x1 + 3x3 ⎠
(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix MEE34 (ϕ).
(b) Es seien
⎛⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎞
B = ⎜⎜1⎟ , ⎜1⎟ , ⎜0⎟⎟
⎝⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠⎠
und
⎛⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎞
⎜⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟⎟
C = ⎜⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎟
⎜⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟⎟
⎝⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠⎠
Basen von R3 bzw. R4 . Bestimmen Sie MBC (ϕ).
Aufgabe 7
Es seien V ein K-Vektorraum mit Basis B = {v1 ,...,vn } und V ∗ = HomK (V,K) der Dualraum von V . Für jedes
i ⩽ n sei v∗i ∈ V ∗ definiert durch
⎧
⎪1 , falls i = j
⎪
.
v∗i (v j ) = ⎨
⎪0 , falls i ≠ j
⎪
⎩
Zeigen Sie:
(a) B ∗ = {v∗1 ,...,v∗n } ist eine Basis von V ∗ , die sogenannte zu B duale Basis.
(b) Ist ϕ ∶ V → W linear, so ist
ϕ ∗ ∶ W ∗ → V ∗ ,α ↦ α ○ ϕ
ebenfalls linear.
(c) Ist C eine Basis von W und C ∗ die zu C duale Basis, so gilt MCB∗ (ϕ ∗ ) = MBC (ϕ)⊺
∗
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