Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4

.
J;Pl. 2. 448
1181K97
-l-
M
1 / MINF 1, K
Aufgabe 1
Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form a + bi mit, a, b E ~fg :
2 Punkte
a) (3 + 2i)(5 - i) ,
2 P u n k t e b ) 6,
2 Punkte c) E ik.
k=o
Aufgabe 2
4
Punkte
T-
Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit z2 = i.
Aufgabe 3
5 Punkte
Beweisen Sie: Für alle n E N gilt
n
cc
2k - 1)” = i(2n + 1)(2n - 1).
k=l
2 Punkte
Aufgabe 4
a) Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Wann heißt eine Teilmenge U
von V ein Untervektorraum von V ?
b) Entscheiden Sie, welche der folgenden Teilmengen des lR3 Untervektorräume von
R3 sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung:
C
21
2 Punkte (i)
Ul := { 22
E IR3 / 571
+x2 > 53},
0 23
0
Xl
2 Punkte (ii)
Uz
:= { 22
E R3 1 XI +
3x2 = 0).
23
Aufgabe 5
a) Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K, n f N und q, . . . , v, 6 V
paarweise verschieden.
2 Punkte
(i)
2 Punkte
(ii) Wann heißt {ui, . . . , vn} ein Erzeugendensystem von V ?
2 Punkte
(iii) Wann heißt (~1, . . . , vn} eine Basis von V ?
Wann heißen die Vektoren ~1,. . . , v, linear unabhängig?
k
8
-2-
1181K97
M 1 / MINF 1. K
b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des lR3
vl:=
(;I’),v2:= (9); ,:i (3,
2 Punkte
(i) linear unabhängig sind,
3 Punkte
(ii) ein Erzeugendensystem von R3 bilden,
2 Punkte
(iii) eine Basis des R3 bilden.
Vd:=
(3
Aufgabe 6
_4
Punkte
a) Sei V ein Vektorraum über einem Körper h’, und seien Ul, Uz zwei Untervektorräume von V. Zeigen Sie:
ur +
ist
u2 : = { U l + u2 1 Ul E U l , 212 E Uz}
ein Untervektorraum von V.
(Die Aussage steht im Kurs, sie soll hier nochmal bewiesen werden.)
8 Punkte
b) Im lR3 seien
0
21
Ul :=, {
_
$-
22
E R3
1 x1 + 2x2 = 0) u n d Us := Lin(
23
Geben Sie sowohl für Ul + Uz als auch für Ul 17 Uz jeweils I eine Basis an.
/--
Aufgabe 7
Es seien V, W Vektorräume über einem Körper K und f : V + W eine Abbildung.
2 Punkte
a) Wann heißt f linear?
2 Punkte
b) Sei f linear. Wie ist Kern f definiert?
4
Punkte
c) Sei f linear. Beweisen Sie das Injektivitätskriterium:
f
ist
genau dann injektiv, wenn Kernf = (0) ist.
(Die Aussage steht im Kurs, sie soll hier nochmal bewiesen werden.)
_.J
v
Aufgabe 8
4 Punkte
a) Seien V, W Vektorräume über einem Körper h’ und f : V + W eine lineare
Abbildung. Wie sind folgende Begriffe definiert:
(i) Bildf,
(ii) rang f .
8 Punkte
M 1 / MINF 1, K
-3-
1181K97
b) Durch
wird eine lineare Abbildung definiert. (Das brauchen Sie nicht zu zeigen.) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Kern f und Bildf , und geben Sie rang f an.
Aufgabe 9
6 Punkte
Bestimmen Sie alle Lösungen des reellen linearen Gleichungssystems
G
51 - 22
x2 - x3
23
-
21
= a
= b
=
c
in Abhängigkeit von a, b, c E IR.
Aufgabe 10
6 Punkte
Prüfen Sie, für welche a, b E R die Matrix
P : =
(l:a f I) EMats(IR)
invertierbar ist, bestimmen Sie det P und det P2, und berechnen Sie gegebenenfalls
det( P-l).
Aufgabe 11
,---
a) Es seien Ii’ ein Körper, n E N und A E Mat,(
2 Punkte
(i) Wann heißt X E Ii’ Eigenwert von A ?
2 Punkte
(ii) Wann heißt A diagonalisierbar?
K) .
b) Sei A E Matz(R) definiert durch
4 Punkte
(i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von A.
6 Punkte
(ii) Geben Sie zu jedem Eigenwert von A eine Basis des zugehörigen Eigenraums
an.
2 Punkte
(iii) Untersuchen Sie (mit Beweis), ob A diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie
gegebenenfalls eine Matrix P E GLs(lR) , so daß P-' AP eine Diagonalmatrix ist.