Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Blatt A
SoS 2016 — H. Kiechle
Die Lösungen zu mit ♣ gekennzeichneten Aufgaben sind direkt auf dem Bogen einzutragen!
Übungsaufgaben
1. ♣ Wahr oder falsch? Bitte ankreuzen! Keine Begründung nötig.
Achtung: Falsche Kreuze bringen Minuspunkte.
Wahr
Falsch
7 − 9i
1
= 4i −
2 − 2i
3
Sind (v1 , . . . , vr ) linear abhängig, so auch (v1 , . . . , vr−1 )
Für jede lineare Abbildung f : R3 → R2 gilt Kern f 6= {0}
Die Projektion auf eine Gerade im R3 ist eine injektive Abbildung
Die Matrixdarstellung der Spiegelung an der y-Achse in R2 ist
−1 0
0 −1
Spiegelungen R2 → R2 besitzen keine Umkehrabbildungen
Die Geraden a + Rv und b + Rw sind genau dann parallel, wenn
3
(v, w) linear abhängig ist.
Ist die lineare Abbildung f : R3 → R3 injektiv, so ist sie auch
surjektiv.
2. ♣ Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Geraden
 
 
1
1
g =  2  + R  1  mit der Ebene E : 2x − y + z = 3.
1
1
S=
3. Lösen Sie möglichst viele selbst erfundene lineare Gleichungssysteme.
4. ♣ Gegeben sei die komplexe Zahl z = − 21 −
(a) z̄ =
z3 =
√
3
2
i. Bestimmen Sie
|z| =
,
,
,
z2 =
,
z4 =
(b) die Darstellung von z in Polarkoordinaten:
5. Bestimmen Sie ein Polynom g mit f = x4 − x3 + 5x − 3 = g · (x2 + x − 1).
Zerlegen Sie f in Linearfaktoren.
6. Schreiben Sie — im Vektorraum RR — die Funktion sin x +
nation der Funktionen sin und cos.
π
2
als Linearkombi-
7. Zeigen Sie, dass jede Translation Geraden auf Geraden abbildet.
8. Zeigen Sie (−1) · x = −x für alle x in einem Vektorraum V .
9. Zeigen Sie 0x = 0 für alle x in einem Vektorraum V . Erläutern Sie kurz die unterschiedlichen Bedeutungen des Symbols 0 in diesem Ausdruck.
10. Gegeben seien die Vektoren a = (1, 3) und b = (4, 2). Sind die Vektoren linear
abhängig (jeweils mit Begründung), wenn
(a) a, b ∈ R2 , die Einträge also reelle Zahlen sind;
(b) a, b ∈ Z25 , die Einträge Elemente des Körpers Z5 sind?
11. Die Matrix A stelle diejenige lineare Abbildung auf R4 dar, die die kanonischen
Basisvektoren zyklisch vertauscht, d. h. e1 7→ e2 , e2 7→ e3 , e3 7→ e4 , e4 7→ e1 .
(a) Begründen Sie ohne Rechnung, dass A4 = I (I = Einheitsmatrix).
(b) Bestimmen Sie A, A2 , A3 , A4 .
(c) Begründen Sie warum G = {I, A, A2 , A3 } eine Gruppe ist.
12. Welche der Teilmengen Ui des Rn sind Untervektorräume?
(a) n = 1 : U1 = Q
(b) n = 2 : U2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 − x2 = 3x1 }
(c) n = 3 : U3 = {(x, x − 1, x + 2) ∈ R3 ; x ∈ R}
(d) n = 4 : U4 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x1 − x2 = x3 + x4 }
(e) n = 4 : U4 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x1 x2 = x3 x4 }
13. Bestimme in R2 die lineare Hülle von (4, 6), (2, 3).
14. Für welche a ∈ R sind die folgenden Vektoren aus R3 linear unabhängig:
((1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 0, a))
15. Gegeben seien die Vektoren v1 = (1, −1, 1)T , v2 = (2, 1, 1)T , v3 = (3, 0, 2)T in R3
und der Untervektorraum U = L(v1 , v2 , v3 ).
(a) Prüfen Sie ob (v1 , v2 , v3 ) linear abhängig ist. Stellen Sie dazu ein lineares
Gleichungssystem in der Form Ax = b auf und lösen Sie es.
(b) Bestimmen Sie den Kern von A und seine Dimension.
(c) Was hat U mit dem Bild von A zu tun?
(d) Prüfen Sie ob a = (1, 4, 5)T in U liegt. Welches lineare Gleichungssystem ist
dazu zu lösen?
16. Gegeben seien die Vektoren v1 = (1, 2, −1)T , v2 = (2, 0, 1)T , v3 = (1, −2, 2)T in
R3 und der Untervektorraum U = L(v1 , v2 , v3 ).
(a) Prüfen Sie ob (v1 , v2 , v3 ) linear abhängig ist. Stellen Sie dazu ein lineares
Gleichungssystem in der Form Ax = b auf und lösen Sie es.
(b) Bestimmen Sie den Kern von A und seine Dimension.
(c) Bestimmen Sie die Dimension von Bild A.
(d) Bestimmen Sie eine Basis von U .
(e) Prüfen Sie ob a = (3, 2, 1)T in U liegt indem Sie ein geeignetes lineares Gleichungssystem lösen.
17. ♣ Wahr oder falsch? Bitte ankreuzen! Keine Begründung nötig.
Achtung: Falsche Kreuze bringen Minuspunkte.
Wahr
Falsch
A = A−1 =⇒ A = I (I = Einheitsmatrix)
Die Spalten einer Matrix aus R5×6 sind immer linear abhängig
Die Projektion auf eine Ebene im R3 ist eine surjektive Abbildung
Eine Gerade g : ax + by = c ist genau dann ein R-Vektorraum, wenn
Im reellen Vektorraum R3 gibt es Untervektorräume U1 , U2 , U3 mit
U1 ∩ U2 ∩ U3 = ∅
die Gleichung ax + by = c homogen ist
Sind u, v, w linear unabhängige Vektoren eines Vektorraums, so gilt
dim L(u, v, w) = 2
Jede Ebene im R3 kann man in Hessescher Normalform darstellen
1 0
⊆ R2×2 ist linear abhängig
0 1
18. Gegeben sei die Matrizen A :=
−1 0
0 1
0 1
und B :=
1 0
(a) Berechnen Sie S := AB und T := ABA.
(b) Von welchem Typ (geometrisch) sind die vier Abbildungen fA , fB , fS , und
fT .
1 α
1
19. Gegeben seien A :=
und b =
.
2 −6
β
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b.
(a) Für welche Zahlen α und β besitzt es genau eine Lösung?
(b) Für welche Zahlen α und β besitzt es keine Lösung?
(c) Bestimmen Sie für alle übrigen Zahlen α und β die Lösungsmenge und geben
Sie die Dimension an.
(d) Wie hätte man diese Dimension allein aus der Kenntnis von A gewinnen können?
20. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung
2 0
−8 0
·X =
0 3
0 6
in der Unbekannten X ∈ R2×2 .
21. Gegeben sei das Gleichungssystem
x + y
2x
3x + y
+ z
− 2z
− z
=
=
=
0
3
3
(a) Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix für das System auf.
(b) Bringen Sie das System in Zeilenstufenform.
(c) Wie viele freie Variable hat das System (mit kurzer Begründung) ?
(d) Bestimmen Sie die Lösungsmenge L des Gleichungssystems.
(e) Wie lautet die Lösungsmenge Lhom des zugehörigen homogenen Systems?
22. Für ein beliebiges, aber festes t ∈ R sei folgendes Gleichungssystem gegeben:
x + y
x + ty
2x + 3y
− z
+ 3z
+ tz
= 1
= 2
= 3
(a) Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix für das System auf.
(b) Bringen Sie das System in Zeilenstufenform.
(c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems für die Spezialfälle
t = 1 und t = 2.
(d) Geben Sie (mit Begründung) alle t ∈ R an, für die das System nicht lösbar ist.
23. Gegeben seien die Gerade g und die Ebene E , wobei
 


 




1
−3
1
−2
−1
g :=  1  + R  0  und E :=  2  + R  0  + R  0 
0
0
3
3
−3
(a) Beweisen Sie, dass die Gerade g die Ebene E nicht schneidet.
(b) Zeigen Sie, dass der Richtungsvektor der Gerade g linear abhängig ist von den
Richtungsvektoren der Ebene E .


−3
(c) Verändern Sie den Richtungsvektor  0  der Geraden g so zu einem Rich0
tungsvektor v, dass die resultierende Gerade
 
1
h :=  1  + Rv
0
die Ebene E schneidet. Begründen Sie Ihre Angabe für v in Worten!
(d) Berechnen Sie den Schnittpunkt h ∩ E .
24. Gegeben seien die Geraden
−1
2
g : 2y − x = 1, h :=
+R
3
4
und k :=
0
1
+R
1
−3
.
(a) Geben Sie eine Parameterdarstellung von g an.
(b) Bestimmen Sie den Parameter zu dem Punkt (25, 13) ∈ g bezüglich Ihrer
Parameterdarstellung in (a).
(c) Geben Sie eine Koordinatendarstellung für h an.
(d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte g ∩ h, h ∩ k und g ∩ k .
(e) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform von k und berechnen Sie die Abstände der Punkte (0, 0) und (1, 1) von k .
Liegen die beiden Punkte auf der selben Seite bzgl. k ?
25. Formulieren Sie den Höhensatz und beweisen Sie ihn mit Hilfe des Skalarprodukts.
26. Formulieren Sie die Umkehrung des Höhensatzes und beweisen Sie sie mit Hilfe des
Skalarprodukts.
27. Formulieren Sie die Umkehrung des Satzes von Thales und beweisen Sie sie mit Hilfe
des Skalarprodukts.