5. Übung Automatentheorie

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, Dipl. Inf. F. Abu Zaid
SS 2017
5. Übung Automatentheorie
Aufgabe 1
Sei Γ ein Alphabet und sei S ein Semiring. Ein lineares Gleichungssystem über ShhΓ∗ ii ist ein
Tupel von Gleichungen der Form

Xi = ri +
n
X

si,j Xj 
j=1
,
1≤i≤n
wobei r1 , . . . , rn ∈ ShΓ∗ i und s1,1 , s1,2 , . . . , sn,n ∈ ShΓ∗ i mit si,j (ε) = 0.
Eine Lösung des Gleichungssystems ist ein Tupel (t1 , . . . , tn ) ∈ (ShhΓ∗ ii)n mit
ti = ri +
n
X
si,j tj
j=1
für alle 1 ≤ i ≤ n.
Wir wollen zeigen, dass eine Potenzreihe genau dann realisierbar ist, wenn sie die erste Komponente einer Lösung eines linearen Gleichungssystems ist. Beweisen Sie dazu die folgenden
Hilfssätze über lineare Gleichungssysteme:
(a) Jedes lineare Gleichungssystem besitzt höchstens eine Lösung.
(b) Jedes lineare Gleichungssystem besitzt eine Lösung aus realisierbaren Potenzreihen.
(c) Jede realisierbare Potenzreihe ist die erste Komponente einer Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Hinweis: Orientieren Sie sich bei Ihren Beweisen an den analogen Ergebnissen für reguläre
Sprachen (siehe z.B. Vorlesung ASK WS 2016/17, Folien 118ff).
Aufgabe 2
Sei S ein endlicher Semiring. Geben Sie Algorithmus an, welcher folgendes Problem entscheidet:
Eingabe:
Frage:
gewichtete Automaten A, B über S
||A|| = ||B||?
Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.
Hinweis: Geben Sie zunächst ein Verfahren an, welches aus einem gewichteten Automaten A
und einem a ∈ S einen DFA Aa konstruiert mit L(Aa ) = {w ∈ Γ∗ | ||A||(w) = a}. Verwenden
Sie hierzu eine ähnliche Konstruktion wie für Aufgabe 3 auf Übungsblatt 2.
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