1. Kursarbeit - bei heidingers.de
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Leistungskurs Mathematik 12/2 13.09.2012 1. Kursarbeit aus der Mathematik Aufgabe1: Begriffe Erläutere folgende Begriffe mit jeweils einem Satz: a) homogenes Gleichungssystem c) Linearkombination b) Lösungsmenge eines d) Nullzeile Gleichungssystems e) Übergangsmatrix Aufgabe 2: Verfahren Erläutere das Verfahren der Matrizenmultiplikation einer m x r - Matrix mit einer r x n Matrix. Beschreibe die Vorgehensweise als Text und gib die Berechnungsformel an. Aufgabe 3: Gleichungssysteme Bestimme die Lösungsmenge: 3x1 + 3x2 - 5x3 = 3r x1 + 6x2 - 10x3 = r 15x2 + 25x3 = 0 in Abhängigkeit vom Parameter r x1 + x2 + x3 + x4 = 4 x1 + x2 - 7x3 + 5x4 = 0 2x1 + 2x2 -4x3 + 5x4 = 5 2x3 - x4 = 1 Aufgabe 4: Anwendungen a) Populationsentwicklung Beim Maikäfer treten innerhalb eines Jahres vier Entwicklungsformen auf; Eier (E), einjährige Larven (L1), zweijährige Larven (L2) und fertige Käfer (K). Diese entwickeln sich jeweils in ungefähr einem Jahr zum nächsten Stadium: 1/3 der Eier wird zu Larven, 1/5 der einjährigen Larven wird zweijährig, 1/4 der zweijährigen Larven wird zum Käfer, der Käfer produziert im Schnitt t Eier (Vermehrungsrate). Zeichne ein Übergangsdiagramm. Erstelle das zugehörige Gleichungssystem und die Entwicklungsmatrix. Welche Vermehrungsrate t ist erforderlich, damit die Population nach vier Zyklen stabil bleibt ? Begründe durch Matrizenmultiplikation. b) chemische Reaktionsgleichung: Bestimme mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems für die Variablen kleine ganze Zahlen: x1 C6H12O6 + x2 O2 x3 CO2 + x4 H2O c) Bedarfsrechnung Der tägliche Nahrungsbedarf eines Erwachsenen beträgt pro kg Körpergewicht etwa 5g Kohlenhydrate, 0.9 g Eiweiß und 1 g Fett. Bei einem Überlebenstraining wird auf drei Sorten A, B, C Konzentratnahrung zurückgegriffen. Konzentrat A B C Eiweiß 5g 10 g 7g Kohlenhydrate 40 g 30 g 30 g Fett 5g 10 g 13 g Jeder Konzentratwürfel wiegt 50 g und wird in Wasser zerdrückt und angerührt. Wie kann ein Erwachsener (75 kg) damit seinen täglichen Nahrungsbedarf decken (400 g Kohlenhydrate, 70 g Eiweiß, 75 g Fett) ? Aufgabe 5: Richtig oder Falsch a) Jedes Vielfache der Lösung eines homogenen Gleichungssystems ist wieder Lösung des homogenen Gleichungssystems. b) Die Differenz zweier Lösungen eines inhomogenen Gleichungssystems ist Lösung des zugehörige homogenen Gleichungssystems c) Ein homogenes Gleichungssystem hat genau dann unendlich viele Lösungen, wenn die Dreiecksmatrix eine Nullzeile besitzt. d) Ein inhomogenes Gleichungssystem hat genau dann eine Lösung, wenn das zugehörige homogene System nur die Nulllösung besitzt.
