Der Paragraph 12 im Powerpoint

Kapitel III. Elementare Theorie
der Vektorräume
Die grundlegenden Begriffe
„Lineare Unabhängigkeit(*)“,
„Erzeugendensystem“ und
„Basis“
werden eingeführt und studiert.
Diesen Begriffen liegt der Begriff der „Linearkombination“ zugrunde.
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(*)Wer „Lineare Unabhängigkeit“ begriffen hat, der hat die Lineare Algebra verstanden.
Folie 1
§12 Linearkombination und Erzeugendensystem
Im folgenden ist K stets ein Körper und V, W, ... sind Vektorräume
über K .
Zur Motivation des Begriffes Linearkombination noch ein Beispiel:
(12.1) Beispiel: Es sei Cn(I) der in 10.11 eingeführte R-Vektorraum
der n-mal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf dem
Intervall I.
Unter einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten versteht man
#
f  an1f
(n)
(n1)
 ...  a1f   a0 f  0 .
Dabei sind die ak Koeffizienten aus R, also konstante reelle Zahlen,
und die f(k) sind die k-fachen Ableitungen, also
(0)
(k 1)
(k)
f : f und f : (f ) .
Folie 2
Kapitel III, §12
Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine
Funktion f aus Cn(I) , die die Gleichung # in jedem Punkt aus I erfüllt.
Die wesentliche Aussage, die hier vorgestellt werden soll, ist:
Sind f1, f2, ..., fm Lösungen der Differentialgleichung und s1, s2, ... , sm
reelle Zahlen, so ist die „Linearkombination“
f  s1f1  s2 f2  ...  sm fm  μ 1 s μ fμ
μ m
ebenfalls eine Lösung.
(n)
Das liegt daran, dass der „Operator“ L : C (I)  C(I) , definiert durch
L(f) : f  an1f
(n)
die Eigenschaft
(n1)
L(μ 1 s μ fμ ) 
μ m
 ...  a1f   a0 f ,
 s L(f )
μ m
μ 1
μ
μ
hat. („L ist linear.“)
Das gilt wegen (f  g)  f   g und (sf)  sf  für differenzierbare f und
g sowie s aus R.
Folie 3
Kapitel III, §12
Daher ist die Menge der Lösungen ein Untervektorraum von Cn(I) ,
also insbesondere überhaupt ein Vektorraum über R.
(12.2) Definition: Sei V ein K-Vektorraum.
1o Für Vektoren a1, a2, ..., am aus V und s1, s2, ... , sm aus K ,
heißt
μ m
s1a1  s2a2  ...  smam  μ 1 s μ a μ
Linearkombination der a1, a2, ..., am .
2o Für eine Teilmenge A aus V heißt
μ m
Span(A) :  μ 1 s μ a μ : s  K und a  V für   1,2, ... ,m
die lineare Hülle von A .
3o Eine Teilmenge A aus V heißt Erzeugendensystem (des
Vektorraums V), wenn Span(A) = V gilt.
Folie 4
Kapitel III, §12
(12.3) Bemerkungen, Beispiele: Sei V ein K-Vektorraum, A aus V .
1o Die Quintessenz unseres Führungsbeispiels 12.1 ist:
Jede Linearkombination von Lösungen der Differentialgleichng # ist
wieder eine Lösung.
2o Entsprechend dem Kriterium für Untervektorräume (vgl.
10.4) gilt: Eine Teilmenge U von V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie abgeschlossen gegenüber Linearkombinationen ist,
das heißt, wenn für alle s   K und a   U ,   1,2, ... ,m , stets
μ m
μ 1 sμ a μ  U gilt. Daher:
3o A ist genau dann Untervektorraum, wenn Span(A) = A .
4o Span(A) ist immer ein Untervektorraum von V .
5o Span(Span(A)) = Span(A) , und A liegt in Span(A) .
6o Für b aus V gilt Span({b}) = Kb .
7o V erzeugt V .
Folie 5
Kapitel III, §12
8o Die leere Menge wie auch die Menge {0} erzeugen {0}.
9o Die Standardeinheitsvektoren {e1, e2, ... , en} erzeugen Kn.
Im R3 werden diese Einheitsvektoren z.B. auch mit ex, ey, ez
bezeichnet.
10o Ebenso: Die Menge {  a : a  M } erzeugt K(M).
11o Ebenso: {Tk : k aus N} erzeugt den Vektorraum K[T] der
Polynome.
12o K[T] wird auch von den Monomen M := {sTk : k aus N
und s aus K} erzeugt (M ist nicht gleich K[T]).
(12.4) Bemerkung: Die jeweiligen Linearkombinationen in den
Beispielen 9o- 11o sind eindeutig, dh. die erzeugten Vektoren werden
eindeutig dargestellt. Diese Eigenschaft liegt daran, dass in den
genannten Beispielen die erzeugende Menge linear unabhängig ist.
Folie 6