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Klausur A
MUSTERLÖSUNG ZUR KLAUSUR MATHEMATIK II
FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
vom 02.08.2004
1.
a. f (10, y)   400  30 y  100  40 y  4 y 2
 4 y 2  10 y  300  0
5
300
y2  y 
 75
2
4
2
5
25  75  16 5 2 (1  48)


y   
4
42
42

5 57
30
y1  
 10
y2  
 7,5
4
4
4
Die Punkte P1  (10,10) und P2  (10,  7,5) liegen auf der Höhenlinie f(x, y) = 0
f x  8x  3y  2( x  2 y)
f y  3x  2( x  2 y) (2)
y' (10)  
 80  30  20
1
30  40
Tangente in P1 : t ( x )  1( x  10)  10  x
b. dx = +0,4, dy = –1
f  dx  (16  6  4)  0,4  (6  8)  (1)  14
 0
,4  14  19,6

5,6
2.
L(, , x, y, z)  4x  6 y  4z   ( x 2  y 2  4)   (3x  3z  3)
L  x 2  y 2  4  0
L  3x  3z  3  0
L x  4  2x  3  0
L y  6  2y  0     3
IV
L z  4  3  0
V

y
4
3
V in L x : 4  2x  4  0  2x  0  x  0 , da wegen L y gilt   0
L
 3z  3  0  z  1
L
 y 2  4  0  y1  2 oder y 2  2
IV
 1   3
2
2   3
2
2
Zwei stationäre Stellen P1  ( 3 , 4 , 0, 2,1) und P2  ( 3 , 4 , 0,  2,1)
2 3
2 3
0
0

L (  ,  , x , y, z )   2 x
 2y
0

0 2x 2 y
0 3 0
3 2 0
0 0 2
3 0 0







0
3
0
0
0
Es liegt Fall C vor!
0
0
3 4
Da L ( , , 0, 2,1)  0
2 3
4
0

0 0
0 3
3 3
0 0
3 0
4
0
0
3
0
3  3(1) 4  2
0
3
0  3(1) 2  5
0
0
0
0
4
0
0 0
3 3
0 0
3 0
4
0
3
0
0 0 4
0  3 0  9 [3  4  4]  0
4 0 3
d. h. f hat u. B. d. Nb. in P1 ein relatives Maximum.
3.
Px  x 2  4y  17 
Py  4x  5y  3z  25 
in (7, 8, 1)
in (5, 2, 5)
– 49 + 32 + 17 = 0
–25 + 8 +17 = 0
28 – 40 + 3 – 25 =  34  0
20 – 10 + 15 – 25 = 0
Pz  3y  3(z  2) 2  21 
6 – 27 +21 = 0
 P hat in (7, 8, 1) keine stationäre Stelle und als nach allen Variablen partiell differenzierbare Funktion dort kein relatives Extremum.
P hat in (5, 2, 5) eine stationäre Stelle.

P( x, y, z)  


 2x
4
0
4
5
3
0


3

 6(z  2) 
 10 4
0
Da P (5, 2, 5)  4  5 3  50  18  90  18  4 2  18 (50  5  16)  0
0
3  18
 10 4
 50  4 2  0 ,
4 5
H1  10  0
ist P(5, 2. 5) negativ definit.
 P hat in (5, 2, 5) ein relatives Maximum.
Damit hat der Physiotherapeut Recht.
3
4.
a. X  B  3X  XA  F  A' B
X  (B  3E  A)  F  A' B
X  (F  A' B)  (B  3E  A) 1
 2 2 1 0  0 1   1 1 
BEA 
  3



 0 1 0 1  1 2   1  4
 6 3   0  1  2 2   6 4 
F  A' B  

  0 1    0  3
 2 1  12
  

 0 1
2 4


–1
1
1
0
1
–4
0
1
1
–1
–1
0
0
–3
1
1
1
0
4
1
0
1
X
5.

1
3
3
1

3
3
1

3
 4 1
 1
3  1 1
10 
 28
6 4   4 1
 28 10    3  3 
1
 

3   3  3   1
0  3   1 1
1 


VI. v  x  5  0
VII. w  y  6  0
x  v5
y  w6
z  4  ( v  5)  3( w  6)  4v  3w  20  18  4v  3w  38
z  4v  3w  38
I.
( v  5)  3( w  6)  42
v  3w  42  5  18  19
v  3w  x1  19
II.
3( v  5)  ( w  6)  10
3v  w  10  15  6  11
ist immer erfüllt für v, w  0
III.
( v  5)  7( w  6)  28
v  7w  28  5  42  19
ist immer erfüllt für v, w  0
IV.
2( v  5)  ( w  6)  30
2v  w  30  10  6  14
2v  w  x 2  14
4
( v  5)  ( w  6)  18
V.
v  w  18  5  6  7
v  w  x3  7
z
v
w
x1
x2
x3
RS
1
x1
x2
–4
–3
0
0
0
38
1
2
3
1
1
0
0
1
0
0
19
14
x3
1
1
0
0
1
7
Als Pivotelement kommt a 21  2 oder a 31  1 in Betracht.
6.
 7 0 0  x
a. Q ( x, y, z)  ( x, y, z)   0 1  2    y 
 0  2 5  z

  
7 0
0
0 1    2  (7  )  (1  )  (5  )  4  (7  )
0
2 5
 (7  )[5  6  2  4]  0
1  7  0
2  6  1  0
(  3) 2  9  1  8
2  3  8  0
3  3  8  0
 Q(x, y, z) ist positiv definit.
x1
x2
x3
RS
0
0
0
0
0
–6
–2
0
0
–2
–2
0
0
–4
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 2 1
6 1 3
b. B  7 
0 5 2
4.Spalte
0 1 1
3
4
 (1)1 4
0
5
1
x   0   t1
0
 
t1  R
Das LP-System ist in
Phase 2.
1

v  Min 19 , 14 , 7  7
2 1
5

7  (6)  (1) 2 1
2 1 3
5 2 0
1 1  5
  42 [20  15  (6  25)]
  42 [5  31]   42  26  1.092
Da B  0 , hat B den Rang 5.
7.
a. Der direkte Bedarf an Einzelteilen pro Halbfertigware wird beschrieben durch die Matrix
4
3
EH  
1
0

2
5
3
0
0
2 
.
6
4 
Der direkte Bedarf an Einzelteilen pro Uhr wird beschrieben durch die Matrix
2
1
EU  
0
0

0
1
3
0
1
0 
.
2
7 
Der direkte Bedarf an Halbfertigwaren pro Uhr wird beschrieben durch die Matrix
 2 1 2
H U   2 4 5 
1 1 1


b. Der Gesamtbedarf an Einzelteilen pro Uhr setzt sich zusammen aus dem direkten und
indirekten Bedarf:
B  EU  EH  H U
2
1
B
0
0

0
1
3
0
1  12
0  18

2  14
7   4
12
25
19
4
18  14
33  19

23  14
4   4
12
26
22
4
19 
33 
25 
11 
c. Zur Herstellung des Produktionsprogramms x' = (100, 300, 200) werden benötigt
8.
- an Halbfertigmodulen
 2 1 2   100   900  H1
H U  x   2 4 5    300    2.400  H 2
 1 1 1   200   600  H3

 
 

- an Einzelteilen
14
19
Bx  
14
4

12
26
22
4
19 
 8.800  E1
 100  

33  
16.300  E 2
  300   
25  
13.000  E3
200  

11  
 3.800  E 4
a. d lässt sich als Linearkombination von a, b, c darstellen, wenn ax1  bx 2  cx 3  d eine
Lösung hat.
6
b. P ist regulär, wenn die Vektoren a, c, d linear unabhängig sind, d. h. wenn
ay1  cy 2  dy 3  0 nur die triviale Lösung besitzt.
c. Q  x  q ist nicht für jedes q  R 3 lösbar, wenn das Gleichungssystem az1  bz 2  dz 3
eine nicht triviale Lösung aufweist.
a
3
0
0
3
0
0
1
0
0
1
0
0
b
1
6–s
4
–3
4–s
1
–1
4–s
1
0
0
1
c
4
2
4
0
0
1
0
0
1
1
s–4
1
d
4 + 3t
4+t
4
3t
2+t
1
t
2+t
1
t+1
t+s–2
1
zu a. d lässt sich auf eindeutigem Weg als Linearkombination von a, b, c darstellen, wenn:
4s  0  s  4
t kann dann eine beliebige reelle Zahl sein.
Ist s = 4, dann lässt sich d nur dann als Linearkombination von a, b, c darstellen, wenn:
2  t  0  t  2
zu b. P ist regulär, wenn 2  t  0  t  2 .
zu c. Q  x  q ist nicht für jedes a  R 3 lösbar, wenn t  s  2  0 .
9.
wahr
Sind alle Elemente auf der Hauptdiagonalen von A negativ, dann ist die
quadratische Form Q(x) = xAx negativ definit.
Eine mn-Matrix A hat stets den Rang r(A) = min(m, n).
Hat ein Gleichungssystem Ax = 0 nur die triviale Lösung, so ist A regulär.
Ist A eine reguläre Matrix, so folgt aus Ax = Ab stets x = b.
Zu einem einfachen Eigenwert gehört genau ein Eigenvektor.
Sind die Spaltenvektoren einer mn-Matrix linear unabhängig, so lässt sich
jeder Vektor des Rn als Linearkombination dieser Spaltenvektoren darstellen.
Gilt für Matrizen A, B, C: A  B und B  C , dann kann nie gelten A < C.
Ein 3-dimensionaler Vektorraum ist stets wohlgeordnet.
Die allgemeine Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems lässt sich
stets darstellen als Summe aus der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems und einer beliebigen Lösung des inhomogenen Systems.
Eine nach allen Variablen partiell differenzierbare Funktion f(x, y, z) kann
nur dann ein relatives Extremum an einer Stelle ( x, y, z ) besitzen, wenn
gilt: grad f ( x, y, z ) = 0.
falsch
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7