II-Blatt6SS04 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK II FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
6. Übungsblatt
SS 2004
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Bestimmen Sie mittels der CRAMERschen Regel eine Lösung des linearen Gleichungssystems.
3x1  x 2  2x3  13
x 2  2x3  13
x1
 x3  7
Lösungshinweise: (x1, x2, x3) = (2, 3, 5)
2.
Warum ist das folgende Gleichungssystem nicht nach der CRAMERschen Regel lösbar?
 1 0  2 0  x1 
 -1
 2 0 1 5  x 
 8

  2 =  
 1 0 1 3  x 3 
 5
 0 3 0 0  x 4 
 6
Besitzt dieses Gleichungssystem überhaupt eine Lösung?
3.
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrizen
  2 2  3
8  4
A  
a.
b.

D   2 1  6
 6  2
 1  2 0 
a. 1 = 4, a'1 = (1, 1)c1, 2 = 2, a'2 = ( 23 , 1)c2, c1, c2  R;
b. 1,2 = -3, d'1 = (-2, 1, 0)c1, d'2 = (3, 0, 1)c2, 3 = 5, d'3 = (-1, -2, 1)c3, c1, c2, c3  R;
Lösungshinweise:
4.
Untersuchen Sie die folgenden quadratischen Formen auf Definitheit:
 2 1  x1 
 1 - 1  x1 
 
 
(x1, x 2 )
a. ( x1, x 2 )
b.
 - 1 1   x2 
 1 3  x 2 
c.
x2 + 6xy - 2y2
d. -2x2 + 4xy - y2
e.
2xz - y2 + 4yz - 8z2 - 2x2
f.
Lösungshinweise:
e. negativ definit;
5.
-2x2 - 3y2 - 2z2 + 2xy - 4xz + 2yz
a. positiv definit; b. positiv semidefinit;
f. negativ semidefinit.
a. Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
 3
A= 
 2
c. indefinit;
d. indefinit;
2
.
2
Schließen Sie aus den Eigenwerten auf die Definitheit von A. Bestimmen Sie für den
betragsmäßig größten Eigenwert den zugehörigen Eigenvektor.
2
b. Überprüfen Sie die quadratische Form
Q(x, y, z) = 2xz - y2 - 4yz - 3z2
auf Definitheit.
c. Überprüfen Sie die quadratische Form Q(x) = xAx mit
 x1 
 2 5 1 
 
x   x 2  und A   1  3  4 auf Definitheit.


x 
 1 2  1
 3
Schreiben Sie Q(x) auch in skalarer Schreibweise.
6.
Überprüfen Sie, ob die Funktion
f(x, y, z) = 2x2 - xz2 + y3 - 12y + 4z2 - 17
an den Stellen
a. P1 = (0, 2, 0)
b. P2 = (0, 2, 4)
c. P3 = (4, 2, 4)
ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum besitzt.
Lösungshinweis: f hat in P1 ein relatives Minimum.
7.
Der Student P. Lanlos muss eine Mathe II-Klausur bestehen. Ein Freund erzählt ihm, dass es
seit neuestem Pillen geben würde, welche die mathematischen Fähigkeiten eines Menschen
exorbitant vergrößern würden. P. Lanlos findet in der Apotheke 3 Mittel: Rommilin, OhsoPax und Gauß-o-forte. Der Apotheker verrät ihm, dass die in einer Klausur erreichbaren
Punkte von der Einnahme dieser 3 Mittel abhängen und zwar gelte der folgende funktionale
Zusammenhang:
P(x, y, z) =  13 x3  4xy  17x  52 y2  3yz  25y  ( z  2)3  21z  262
,
3
wobei x die Anzahl der Rommilin-Pillen, y die Anzahl der Ohso-Pax-Pillen und z die Zahl der
Gauß-o-forte-Pillen angibt, die er einnehmen würde.
Nachdem er 2 Ohso-Pax-Pillen geschluckt hat, fraß sein Hund Plexsim die Schachtel, so dass
er nur noch Rommilin und Gauß-o-forte zur zusätzlichen mathematischen Leistungssteigerung
verwenden kann. Was ist die maximale Anzahl von Punkten, die P. Lanlos in der Klausur
erreichen kann, und wie viele Pillen muss er dafür schlucken?
Lösungshinweis: Durch Einnahme von (x, y, z) = (5, 2, 5) erreicht Lanlos 44 Punkte.
8.
Bestimmen Sie mittels der LAGRANGEschen Multiplikator-Methode und Satz 7.10 die
relativen Extrema der Funktion
f(x, y) = x2 + y2
unter Beachtung der Nebenbedingung 9x2 + 4y2 = 36.
Lösungshinweis: f hat u.B.d.Nb. in P1  (  19 , 2, 0) und in (  19 ,  2, 0) relative Minima
und in P3  (  14 , 0, 3) sowie in P4  (  14 , 0,  3) relative Maxima.
9.
Bestimmen Sie mittels der LAGRANGEschen Multiplikator-Methode und Satz 7.10 die
relativen Extrema der Funktion
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
unter Beachtung der Nebenbedingungen
x + y = 1 und y + z = 1.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie zusätzlich die Reduktionsmethode anwenden.
3
Lösungshinweis: Relatives Minimum in P  ( 13 , 23 , 13 ) mit      23 .
10.
Überprüfen Sie mit der LAGRANGEschen Multiplikator-Methode, ob die Funktion
f(x, y, z) = xz + y + z2
unter Beachtung der Nebenbedingungen x + 2z = 13
und
x + 3y =  13
in P* = (  23 , 19 , 12 ) ein relatives Extremum besitzt.
Lösungshinweis: f hat u.B.d.Nb. in P* ein relatives Maximum.
11.
Verleihnix, ein bekannter Fischhändler, eröffnet zwei Filialen. Seine Gewinne sind abhängig
von den investierten Sesterzen in den einzelnen Filialen. x1 und x2 seien die jeweils
eingesetzten Sesterzen. Die Gewinne der beiden Filialen lauten:
G1 = 8  x1
und
G2 = 6 x 2 .
Verleihnix hat 1.000 Sesterzen zur Verfügung, mit denen er seinen Gewinn maximieren will.
a. Wie lautet die optimale Aufteilung für seine Sesterzen? (Benutzen Sie dazu die
LAGRANGEsche Multiplikator-Methode und Satz 7.10.)
b. Wie hoch ist sein Gesamtgewinn?
c. Interpretieren Sie den Wert des LAGRANGEschen Multiplikators!
Lösungshinweis: Gewinnmaximum bei 316 Sesterzen in (x1, x2) = (640, 360).
B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
12.
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrizen
 1 2 - 1
a. B   4  2 
b. C =  - 3 1 8 
c. F =  - 2 3 1 
- 3 8 1 
 2 7 
 4 7 - 1


a. 1 = 8, b'1 = (  12 , 1)c1, 2 = 3, b'2 = (2, 1)c2,
c. 1,2 = 0, f 1 = (5, 1, 7)c1, 3 = 5, f  3 = (0, 1, 2)c3, c1, c3  R.
Lösungshinweise:
13.
c1, c2  R;
a. Schreiben Sie in skalarer Schreibweise die quadratische Form Q(x) = xAx mit
x = (x1, x2, x3)
und
 3 2 4 
A =   2 2  3 .
 4  3 11 


Was kann man über die Definitheit von Q(x) sagen?
b. Schreiben Sie die folgende quadratische Form in Matrizenschreibweise (mit einer
symmetrischen Matrix).
Q(x1, x2, x3) =  5x12 + 4x1x2 - x 22 + 2x1x3 - 2x2x3 - 3x 32
Lösungshinweise:
a. positiv definit;
b. negativ definit.
4
14.
Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion
f(x, y, z) = 1 (z - 2)4 + 2y2 + 6xy + 9x2 - 2y - 4z + 1
8
Lösungshinweis: f hat in (  13 , 1, 4) ein relatives Minimum.
15.
Überprüfen Sie, ob die Funktion
f(w, x, y, z) = w2x + wx2 + 13 x 3 - 4x - 12 y2 + y - z2 + 2z
in den Punkten P1 = (-2, 0, 1, 2) bzw. P2 = (2, -4, 1, 1) relative Extrema besitzt. Wenn ja,
liegt ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum vor?
Lösungshinweis: f hat in P2 ein relatives Maximum.
16.
Bestimmen Sie mittels der LAGRANGEschen Multiplikator-Methode und Satz 7.10 die
relativen Extrema der Funktion
f(x, y, z) = -3x + 4y + z
unter Beachtung der Nebenbedingung
g(x, y, z) = x3 + y4 - z = 0.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie diese Aufgabe auch mit der Reduktionsmethode
lösen.
Lösungshinweis: In P1 = (1, -1, 2) mit 1 = 1 liegt ein relatives Minimum.
17.
Die Kosmetikfirma G. Lack-Meiert stellt unter Verwendung der Inputfaktoren X, Y und Z die
Schönheitscreme O´lala her. Die Produktionsfunktion genügt der Gleichung
w = P(x, y, z) = x  y  z,
wobei x die Mengeneinheiten (ME) des Faktors X, y die ME des Faktors Y, z die ME des
Faktors Z und w die ME des Outputs angibt.
Die Preise für die Inputfaktoren betragen pro ME 2 Geldeinheiten (GE) für X und für Y,
während eine ME von Z nur 1 GE kostet.
Berechnen Sie die kostenminimale Faktorkombination für einen Output in Höhe von
w = 54 ME mit Hilfe der LAGRANGEschen Multiplikator-Methode und Satz 7.10.
Lösungshinweis: Kostenminimum in P = (3, 3, 6) mit  =  19 .
18.
Überprüfen Sie mittels der LAGRANGEschen Multiplikator-Methode und Satz 7.10, ob die
Funktion
f (x, y) = 10x2 y + 54 y2
an der Stelle (x*, y*) = (1, 4) ein relatives Extremum besitzt bei Beachtung der Nebenbedingung
g(x, y) = 52 x 2 y2 -10xy = 0 .
Lösungshinweis: f hat in (1, 4) ein relatives Minimum bei Beachtung der Nebenbedingung.