Lösungshinweise

Aufgabenblatt 7 - Geometrie (HS) SS2009
Aufgabe 1:
Beweisen Sie: In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt.
Lösungshinweis: Jedes Dreieck ABC kann als Mittendreieck eines geeigneten
Umdreiecks A’B’C’ aufgefasst werden. Dieses erhält man durch Drehung von ABC
um 180° jeweils an seinen Seitenmitten. Die Trägergeraden der Höhen des
Ursprungsdreiecks ABC sind identisch mit den Mittelsenkrechten des Umdreiecks
A’B’C’. Diese schneiden sich bekanntermaßen in einem Punkt, dem
Umkreismittelpunkt des Umdreiecks.
Aufgabe 2:
a) Gegeben seien zwei sich schneidende Geraden. Stellen Sie experimentell mit
Hilfe von DynaGeo oder Geogebra eine Vermutung auf. wo alle Punkte liegen, die
von der einen Geraden denselben Abstand haben wie von der anderen.
Lösungshinweis: Die beiden Winkelhalbierenden, die sich im Schnittpunkt der
Geraden senkrecht schneiden. Oder auch die beiden Symmetrieachsen des
Geradenpaares, falls dieses sich nicht senkrecht schneidet. Falls es sich senkrecht
schneidet die beiden nicht mit einer der Geraden identischen Symmetrieachsen.
b) Gegeben sei eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt. Stellen
Sie experimentell mit Hilfe von DynaGeo oder Geogebra eine Vermutung auf. wo alle
Punkte liegen, die von der Geraden denselben Abstand haben wie von dem
gegebenen Punkt. (Abzugeben sind kommentierte Screenshots.)
Lösungshinweis: Parabel
Aufgabe 3:
a) Beweisen Sie: Die Menge aller Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden
gleichen Abstand haben, ist das Winkelhalbierendenpaar.
Lösungshinweis: Der Abstand d bzw. d’ eines Punktes P auf der Winkelhalbierenden
des Geradenpaares g, g’ ist durch die Strecke [PF] bzw. [PF’] bestimmt, wobei F und
F’ die Lotfußpunkte eines Lotes von P auf g bzw. g’ sind. Sei S der Schnittpunkt von
g und g’. Nach dem SWW-Satz sind die Dreiecke SPF bzw. SPF’ kongruent
(gemeinsame Seite [SP]; Halber Schnittwinkel, rechter Winkel).
Damit gilt: |PF|=|PF’|.
Umkehrung über SsW (Rechter Winkel, gleicher Abstand, identische Strecke PS)
b) Beweisen Sie: Die drei Innenwinkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt. (Hilfe: analog "Mittelsenkrechten").
Lösungshinweis: Auf der einen Winkelhalbierenden liegen alle Punkte, die von a und
b gleichweit entfernt sind, auf der zweiten alle, die von b und c gleichweit entfernt
sind. Der Schnittpunkt S (Er existiert immer, da die Innenwinkel stets keiner als 180°
sind! ) ist also von a und b und von b und c, sprich von allen drei Seiten gleichweit
entfernt. S ist damit der Inkreismittelpunkt.
c) Konstruieren Sie den Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks berührt.
Lösungshinweis: Zwei Winkelhalbierende schneiden sich in S. Lot von S auf eine
Seite fällen. Kreis um S durch den Lotfußpunkt!
Aufgabe 4:
Lösen Sie Teilaufgabe 4 der Examensaufgabe 2003:
4. a) Auf allen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden nach außen Halbkreise
aufgesetzt, deren Durchmesser der jeweiligen Seite des Dreiecks entspricht. Zeigen
Sie, dass der Flächeninhalt des Halbkreises mit dem größten Durchmesser gleich
der Summe der Flächeninhalte der beiden anderen Halbkreise ist!
Lösungshinweis: Summe bilden,  ausklammern und Pythagoras anwenden!
b) Überprüfen Sie, ob eine derartige Flächengleichheit auch vorliegt, wenn anstelle
der Halbkreise gleichseitige Dreiecke auf den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks
aufgesetzt werden!
Lösungshinweis: Analog vorgehen, Wurzel(3)/4 ausklammern und Pythagoras
anwenden!