Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Professur für

Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Professur für Wirtschaftsmathematik
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
___________________________________________________________
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
2. Übungsblatt
WS 2004/2005
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Die bezaubernde Scheichin Fatima aus dem fernen Orient ist stolze Besitzerin eines Harems
mit 100 Haremsherren.
a. Wie viele Möglichkeiten der nächtlichen Auswahl bestehen, wenn sie pro Nacht jeweils
fünf der Haremsherren in ihren Gemächern erwartet?
b. Die Haremsherren tragen farblich abgestufte Pantoffeln:
− Blaue Pantoffeln: 20 Herren
− Rote Pantoffeln: 30 Herren
− Gelbe Pantoffeln: 50 Herren.
Wie viele Möglichkeiten hat Fatima, wenn sie nacheinander zwei blaue, einen roten und
zwei gelbe “Pantoffelhelden” zu sehen wünscht?
c. Wie viele verschiedene (zumeist sinnlose) Wörter kann man durch Umstellen der
Buchstaben des Wortes “PANTOFFELHELDEN” erhalten?
Lösungshinweise:
2.
b. 6.982.500.
a. Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern der Zahl 471143
bilden?
b. Wie viele Teilnehmer kann ein Telefonnetz haben, wenn nur fünfstellige Telefonnummern
vergeben werden und die Ziffer 0 nicht an erster Stelle stehen darf?
c. Aus wie vielen Produkten i×j, i, j ∈ {1, 2,..., 9, 10}, besteht das “kleine Einmaleins”,
wenn wegen der Kommutativität der Multiplikation reeller Zahlen die Produkte i×j und j×i
als gleich angesehen werden?
Lösungshinweis:
3.
a. 75.287.520;
a. 180;
b. 90.000;
c. 55.
Bei einer Feier stößt jeder mit jedem der Anwesenden an. Die Gläser erklingen 120 Mal. Als
es zum Tanzen geht, sagt jemand: “Wenn jeder Herr mit jeder Dame einmal tanzt, so können
wir insgesamt 60 verschiedene Paare bilden”.
Wie viele Damen und Herren sind anwesend, wenn es mehr Damen als Herren sind?
Lösungshinweis: Es sind 10 Damen und 6 Herren anwesend.
4.
Die KFZ-Kennzeichen von England bestehen aus einem, zwei oder drei Buchstaben, denen
bis zu vier Ziffern folgen. Wie viele verschiedene Autokennzeichen sind möglich, wenn
Wiederholungen von Buchstaben und Ziffern erlaubt sind, die Zahl 0 aber nicht vergeben
wird?
Lösungshinweis: Möglich sind 182.761.722 Kennzeichen.
2
5.
a. Wie viele verschiedene vierstellige Autonummern gibt es, deren Quersumme 9 beträgt?
(Die Zahl 1 werde als 0001 geschrieben usw.)
b. Wie viele verschiedene vierstellige Autonummern gibt es, deren Quersumme 18 beträgt?
Lösungshinweis:
6.
b. 670.
Dipl.-Kff. K. Ombinutz findet in ihrem Hotelzimmer im Hotel Sunrise, Hongkong einen
Privatsafe mit einem sechsstelligen Zahlenschloss vor. Bei der Einstellung ihrer privaten
Geheimzahl erinnert sie sich mit Freude an die Mathematik-I-Veranstaltung im 1. Semester
ihres Studiums und spontan fallen ihr die folgenden Fragen ein:
a. Für jede Stelle kann sie eine Ziffer zwischen 1 und 6 wählen. Wie viele Geheimzahlen sind
dann einstellbar, wenn alle Ziffern verschieden sein sollen?
b. Für jede Stelle stehen die Ziffern 0 bis 9 zur Verfügung.
α. Wie viele Geheimzahlen sind möglich, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf?
β. Wie viele Geheimzahlen sind möglich, wenn Ziffern mehrfach vorkommen dürfen?
γ. Frau Ombinutz stellt ihre Geheimnummern (Typ β) ein und schließt den Safe, um zum
Dinner zu gehen. Als sie nach ihrer Rückkehr ins Hotelzimmer den Safe öffnen will,
bemerkt sie mit Schrecken, dass sie die Gehemnummer vergessen hat. Gott sei Dank
hatte sie aber die Quersumme dieser Zahl in ihrem Notizbuch vermerkt. Sie lautet 15.
Wie viele Zahlenkombinationen muss Frau Ombinutz maximal ausprobieren, bis sich
der Safe öffnet?
Lösungshinweise:
7.
a. 220;
a. 720;
b. α. 151.200, β. 1.000.000, γ. 13.992.
a. Herr K. Icker sitzt in seinem WM-Fernsehsessel und möchte den Finalsieg seines Teams
mit einem WM-Cocktail begießen. Dazu stehen ihm 7 Grundgetränke (einschließlich
Mineralwasser) zur Verfügung, von denen er aufgrund des begrenzten Glasvolumens nur
maximal 5 Einheiten zusammengießen kann. Dabei können auch mehrere Einheiten desselben Getränkes eingeschenkt werden.
Wie viele verschiedene Getränke (sowohl vom Bestandteil als auch von der Konzentration)
kann er sich mixen, wenn er als passiver Sportler mindestens 2 Einheiten Mineralwasser in
jedem Mix-Cocktail haben will und keine puren Getränke erlaubt sind (denn dann könnte
er ja gleich aus der Flasche trinken!)?
b. In der Halbzeitpause spielt Herr K. Icker Schach. Dabei will er 8 Bauern so auf dem 8×8
Felder großen Spielbrett verteilen, dass keiner der Bauern in einer Spalte oder Zeile mit
einem anderen steht. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat er?
c. Bei der großen Hitze in den USA erinnert er sich sehnsüchtig an die kühlen Temperaturen
während der olympischen Winterspiele in Lillehammer. Besonders Biathlon hatte es ihm
angetan, wo mit 5 Schuss 5 nebeneinander aufgestellte schwarze Scheiben fallen sollen.
Dabei erinnert er sich an das folgende Problem:
Wie viele unterscheidbare Möglichkeiten im Trefferbild gibt es, bei denen nach 5 Schuss
mindestens 3 der 5 Scheiben getroffen wurden?
d. Wie viele (auch sinnlose) Wörter können aus dem Begriff “FUSSBALL” gebildet werden,
bei denen das S nicht an erster Stelle stehen darf?
Lösungshinweise:
a. 116;
b. 40.320;
c. 16;
d. 7.560.
3
8.
Der weiße Nil wurde im Jahre 1958 bei Jebel Aulia durch einen Damm aufgestaut. Die
Wasseroberfläche des Stausees, die im Jahre 1958 nur 12 qkm betrug, wuchs in den nächsten
Jahren jährlich um 50%.
a. Wie groß war die Wasseroberfläche nach einem, nach zwei,..., nach n Jahren?
b. Wie viele Jahre dauerte es, bis die maximal erreichbare Wasseroberfläche von 200 qkm
erreicht war?
Lösungshinweis:
9.
Ein Vater hat zwei Möglichkeiten, sich gegen den Bankrott durch eine frühzeitige Heirat
seiner Tochter finanziell abzusichern:
i. Er zahlt ab 1.1.2006 zu Beginn jeden Monats 50,-- € bei einer Bank ein. Diese zahlt ihm
12% Zinsen p.a. bei monatlicher Abrechnung.
ii. Er schließt am 1.1.2006 eine Aussteuerversicherung in Höhe von 10.000,-- € mit einer
Laufzeit von 20 Jahren ab. Er zahlt hierfür eine monatliche Prämie von € 50,--. Die
Versicherungsgesellschaft rechnet ihm am Ende jeden Jahres 10% der bis dahin insgesamt
gezahlten Prämien als Gewinnanteil an. Die Gewinnanteile werden unverzinst zusammen
mit der Versicherungssumme (am Hochzeitstag) ausbezahlt.
Wie hätte sich der Vater entscheiden sollen,
a. wenn seine Tochter am 31.12.2015 heiratet?
b. wenn seine Tochter am 31.12.2025 heiratet?
Lösungshinweise:
10.
b. 7 Jahre.
a. Aussteuerversicherung;
b. Bank.
Herr B. legt ein Kapital von € 100.000,-- bei einem Zinsfuß von 10% am 1. Januar 2000 an.
Ab 2003 erhält er am Ende jeden Jahres eine Rente von r € bis zum 31.12.2010. Dann ist das
Kapital aufgebraucht.
Wie groß ist r? Wie groß wäre die Rente, wenn am Ende noch € 100.000,-- übrig bleiben?
Lösungshinweis: Die Rente beträgt 24.949 € bzw. 16.204 €.
11.
Der Geschäftsmann G vereinbart am 1. Januar 2001 mit dem Lieferanten L, eine ausstehende
Geldschuld dadurch zu begleichen, dass er ihm am Ende dieses und der nächsten 11 Jahre
jeweils € 1.570,-- zahlt. Im Dezember 2005 gewinnt G € 100.000,-- im Lotto und beschließt,
am Ende dieses Jahres die gesamte Restschuld bar zu bezahlen. Wie hoch ist dieser Betrag,
wenn bei obiger Vereinbarung ein Zinsfuß von 4% p.a. (Zinseszins) zugrunde gelegt wurde?
Lösungshinweis: Der Geschäftsmann G muss dann Ende Dezember 2005 einen Betrag von
€ 10.993,-- zahlen.
B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
12.
Ein Dominospiel besteht aus Steinen, die mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 beschriftet sind,
und zwar so, dass auf jedem Stein eine Zahlenkombination {i, j} steht. Aus wie vielen Steinen
besteht ein Dominospiel, wenn wir wissen, dass jede Zahlenkombination {i, j}, mit
i, j ∈ {0, 1,..., 6} einmal vorkommt?
Lösungshinweis: Ein Dominospiel besteht aus 28 Steinen.
4
13.
Für die Werbung eines Produkts kann der Werbetext in drei verschiedenen Schrifttypen, vier
verschiedenen Formaten und fünf verschiedenen Farben präsentiert werden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten ergeben sich?
Lösungshinweis: Es gibt 60 Möglichkeiten.
14.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, beim Zahlenlotto 6 aus 49
a. 6 Richtige,
b. 5 Richtige mit Zusatzzahl,
c. 5 Richtige ohne Zusatzzahl,
d. 4 Richtige,
e. 3 Richtige zu ziehen?
Lösungshinweise:
e. 1765 ⋅ 10-5.
15.
a. 7,15 ⋅ 10-8;
b. 42,9 ⋅ 10-8;
c. 1,8 ⋅ 10-5;
d. 96,84 ⋅ 10-5;
a. Wie viele Tonfolgen aus fünf Tönen mit gleicher Tonlänge lassen sich aus den sechs
Tönen c, d, f, g, a, h bilden, wenn
α. jeder Ton nur einmal klingen soll,
β. Töne sich wiederholen dürfen?
b. Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus drei Ziffern “1” und zwei Ziffern “2” bilden?
Wie viele dieser fünfstelligen Zahlen beginnen mit einer “1”?
Lösungshinweise: a. Es gibt α. 720 bzw. β. 7776 verschiedene Tonfolgen.
b. Es lassen sich 10 verschiedene Zahlenfolgen bilden, wovon 6 mit einer 1 beginnen.
16.
Zur Holzgewinnung wurden 1985 eine Schonung mit A = 12.000 m3, 1987 eine mit
B = 13.000 m3 und 1989 eine mit C = 14.000 m3 angelegt. 1995 wurde durch einen Waldbrand D = 6.000 m3 vernichtet. Wieviel m3 Holz standen 2000 zur Verfügung, wenn man eine
jährliche Zuwachsrate von 5% zugrunde legt?
Lösungshinweis: 65.747 m3.
17.
Herr Sparstrumpf eröffnet am 1.1.2000 ein Konto bei der Frankfurter Sparkasse. Er zahlt
sofort € 10.000,-- ein und verpflichtet sich, am Ende dieses und der nächsten 11 Jahre jeweils
weitere € 2.000,-- auf das Konto einzuzahlen. Die Sparkasse verzinst die auf dem Konto
stehenden Beträge mit 10%.
a. Wie hoch ist der Kontostand am 31.12.2016?
b. Wie viel € mehr hätte Herr Sparstrumpf am 1.1.2000 einzahlen müssen, um ohne die
weiteren jährlichen Zahlungen denselben Kontostand am 31.12.2016 zu erreichen?
c. Ab dem 1.1.2017 möchte Herr Sparstrumpf 12 Jahre lang eine gleichbleibende vorschüssige Rente beziehen. Wie hoch muss diese Rente sein, wenn das Konto nach der letzten
Rentenzahlung leer ist? (Die Sparkasse verzinst die auf dem Konto stehenden Beträge
weiter mit einem Zinsfuß von 10%).
Lösungshinweise:
a. S31.12.86 = 119.424 €;
b. K* = 13.627 €;
c. r = 15.934 €.