Aufgabenblatt 1 - Wiwi Uni

Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Professur für Wirtschaftsmathematik
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
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MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
1. Übungsblatt
WS 2006/2007
A. Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) mit
x + Kf
für 0 ≤ x < 50
⎧⎪
K(x) = ⎨ 1
2
⎪⎩( 10 x + 2 ) + 8 für 50 ≤ x ≤ 100
a. Wie groß müssen die fixen Kosten K f sein, damit die Kostenfunktion K(x) stetig in
[0, 100] ist? (Die Stetigkeit ist für alle Punkte zu begründen!)
b. In welchen Punkten x ∈ ] 0, 100 [ ist K(x) (mit K f gemäß der Teilaufgabe a.) differenzierbar? Zur Überprüfung der Differenzierbarkeit in x1 = 50 ist der Differentialkoeffizient zu
bilden.
(Die Grenzkosten müssen nicht berechnet werden!)
Lösungshinweise: a. K f = 7 b. K ist in x1 = 50 nicht differenzierbar.
2.
Fa. K. Lebefix hat Kosten in Höhe von
K( x ) = 4x 2 + 12 x + 16 (GE),
wenn x EH pro Tag produziert werden.
a. Berechnen Sie die minimalen durchschnittlichen Kosten dieses Unternehmens.
b. Bestimmen Sie die Angebotsfunktion der Fa. Lebefix bei vollständiger Konkurrenz.
(Hinweis: Die Fa. Lebefix wird so anbieten, dass bei gegebenem Marktpreis p ihr Gewinn
maximal wird!)
Lösungshinweise: a. durchschnittliche minimale Kosten 16,5 GE;
b. Angebotsfunktion x (p) = 1 ( p − 1 ) für p > 16,5.
8
3.
2
Ein monopolistischer Markt werde durch die Preis-Absatz-Relation x (p) = 81 − (p + 1) 2 im
Preisintervall D = [0, 8] beschrieben.
a. Bestimmen Sie die Absatzelastizität an der Stelle p1 = 5 und interpretieren Sie die
Ergebnisse.
b. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion p ( x ) der Preis-Absatz-Relation. Geben Sie den
Definitionsbereich von p ( x ) an.
c. Bestimmen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge x c und den dazugehörigen Preis
p c = p ( x c ) (d.h. den COURNOTschen Punkt), falls für die Kostenfunktion gilt:
K ( x ) = 600 − 66 81 − x − x .
(Hinweis: den Nachweis des Vorliegens eines relativen und absoluten Maximums ist am
leichtesten über die Monotonieeigenschaften von G'(x) zu erbringen!)
c. x c = 32 , p c = 6 .
Lösungshinweise: a. εx(5) = – 4 ;
3
2
4.
Ist p der Verkaufspreis und x die Menge der pro Tag produzierten und abgesetzten Einheiten
einer Ware, so lässt sich die wirtschaftliche Situation des Monopolisten, der diese Ware
produziert, beschreiben durch
22 − p 2
und
die Preisabsatzrelation x ( p ) =
2
K( x ) = 2 + 74 x + 14 x 2 .
die Kostenfunktion
a.
b.
c.
d.
Geben Sie das größtmögliche Preisintervall an.
Stellen Sie die Kosten-Preis-Funktion K(p) auf.
Für welchen Verkaufspreis nehmen die Grenzkosten K'(p) den Wert Null an?
Welchen Preis soll der Monopolist verlangen, wenn er seinen Gewinn maximieren will?
Lösungshinweis: d. p = 4.
5.
Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage in Bezug auf den Preis für die
p+4
Nachfragefunktion x(p) =
.
2p + 1
Interpretieren Sie die Preiselastizität für p0 = 3.
Lösungshinweis: εx(3) = − 73 .
6.
a. Bilden Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f (x ) = x (ln x − 1) + e 2 x .
2
b. Bestimmen Sie die Elastizität der Funktion g( x) = e 2 ( x − 2 ) . Interpretieren Sie die
Elastizität der Funktion g an der Stelle x = 3.
c. Bestimmen Sie mittels logarithmischer Ableitung die Elastizität der Funktion
x + 1 x2
h(x)=
⋅ e , D = R+ .
x
Interpretieren Sie die Elastizität von h an der Stelle x 0 = 2 .
Lösungshinweise:
7.
b. εg(x) = 4x(x – 2), εg(3) = 12;
1
+ 2x 2 , εh(2) = 23
.
c. εh(x) = −
3
x +1
Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktionen mit den Funktionsgleichungen
a.
f ( x, y) = 2x 3 − 3xy 2 − 7 y 4
c.
f(x, y, z) = x ⋅ y ⋅ z − 3 x 2 e z
2
b.
f ( x, y, z) = −2 x 2 y + 3ze x − y z
d.
f ( x, y) = 3xy 3 − 2 y 3 x 2
8.
Die Abhängigkeit der Nachfrage nach einer bestimmten Ware vom Preis p1 dieser Ware und
vom Preis p2 einer ähnlichen Ware werden angenähert durch folgende Funktion wiedergegeben: f (p1 , p 2 ) a 10 − p1 + p 22 .
Berechnen Sie die partiellen Nachfrageelastizitäten.
9.
Eine Gewinnfunktion lautet G ( x, y) = 3x 2 + 4 xy − y 2 .
Berechnen Sie mit der Näherung dG von dem Niveau x = 20, y = 5 aus.
a. die Änderung des Gewinns, wenn x um 1 und y um 0,2 erhöht wird.
b. die Änderung des Gewinns, wenn x um 2 % erhöht wird und y um 1% vermindert wird.
3
c. die Größe, um die sich x ändern muss, damit der Gewinn gleich bleibt, wenn y um 2 %
erhöht wird.
Lösungshinweise: a. dG = 154; b. dG = 52,5; c. dx = –0,05.
10.
Der Spediteur Otto erhält von seinen Kunden für jeden gefahrenen km den Betrag p. Dem
stehen variable Kosten von 10 GE pro gefahrenem km sowie 300 GE fixe Kosten gegenüber.
Es gilt also:
1. E(x, p) = px
mit E = Erlös, K = Kosten,
2. K(x) = 10x + 300
mit x = gefahrene Kilometer,
3. G(x, p) = E(x, p) – K(x) mit p = Preis eines km Transportleistung.
Otto plant eine Fahrt über 1000 km, für die er mit seinem Kunden einen Preis von 12 GE pro
km vereinbart hat. Nun bietet dieser ihm an, er könne die Tour noch um 300 km ausdehnen,
wenn er im Gegenzug für die gesamte Fahrstrecke den Preis pro km auf 11,5 GE reduziere.
Soll Otto das geänderte Angebot akzeptieren?
a. Otto hält eine Approximation mit Hilfe des totalen Differentials für ausreichend.
Vollziehen Sie seine Rechnung nach!
Wie entscheidet er sich, wenn er an zusätzlichem Gewinn interessiert ist?
b. Ermitteln Sie die genauen Daten! Warum hat Otto sich falsch entschieden?
Lösungshinweise: a. Otto soll sich für das Zusatzgeschäft entscheiden.
b. Das Zusatzgeschäft vermindert den Gewinn um 50 GE.
B. Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten Bearbeitung
11.
Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = 3x2(x – 1) und die Preisabsatzrelation
p(x) = –2x + 11. Man bestimme
a. die Durchschnittskostenfunktion,
b. die Grenzkostenfunktion,
c. die Erlösfunktion,
d. den COURNOTschen Punkt und den maximalen Gewinn.
12.
Eine Brotfabrik hat Gesamtkosten von
13.
Gegeben ist die Kostenfunktion [0, 5] → R
⎧ 2 x + 2 für 0 ≤ x < 2
K( x ) = ⎨ 2
⎩ax + 4 für 2 ≤ x ≤ 5
1 2 1
x + x + 45) €, wenn x Brote pro Tag
80
2
hergestellt werden. Der feste Marktpreis - es herrsche vollständige Konkurrenz - ist p €.
Wie hoch ist der niedrigste Preis, der die Gesamtkosten deckt?
Lösungshinweis: p 0 = 2 € .
(
a. Für welche x ∈ [0, 5] ist f stetig, wenn a = 3 gewählt wird? Begründung! Liegt an der
(den) Unstetigkeitsstelle(n) rechts- bzw. linksseitige Stetigkeit vor?
b. Bestimmen Sie a so, dass K(x) in [0, 5] stetig ist. Ist die so bestimmte Funktion stetig
differenzierbar in ]0, 5[ ? Bilden Sie - soweit möglich - die erste Ableitung von K(x).
4
c. Für welchen Output x sind die Stückkosten der stetigen Funktion minimal? Die Lösung ist
nicht durch Berechnung, sondern mittels einer Zeichnung zu ermitteln. Beachten Sie dabei,
dass die Stückkosten dann minimal sind, wenn das Verhältnis K am kleinsten ist.
x
Lösungshinweise: b. a = 0,5; c. für x =
14.
8 sind die Stückkosten minimal.
Eine Tariffunktion f(x) ist durch folgende intervallweise Darstellung gegeben:
für
0 ≤ x < 500
⎧10
⎪
f ( x ) = ⎨5 + 0,01x
für 500 ≤ x < 1000
⎪⎩115 − 0,2 x + 10 −4 ⋅ x 2 für 1000 ≤ x
a. Wie groß ist die Steigerung von f(x) absolut und relativ in den Punkten x1 = 800 und
x2 = 2000, wenn der x-Wert jeweils um 100 steigt?
b. Berechnen Sie die Elastizitäten des Tarifs in den einzelnen Intervallen!
c. Von welchem x-Wert an ist der Tarif im Intervall 1000 ≤ x elastisch?
Lösungshinweise: a. 7,7%; b. 18,3%; c. x > 1.072,38.
15.
Gegeben ist die Funktion f ( x, y) = ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 − 2 .
a.
b.
c.
d.
16.
Zeichnen Sie die Höhenlinien f(x, y) = γ für γ = –1, 2, 7.
Zeichnen Sie die Vertikalschnitte senkrecht zur x-Achse für x = 0, 2, 5.
Zeichnen Sie die Vertikalschnitte senkrecht zur y-Achse für y = –3, –1, 1.
Schließen Sie aus den gezeichneten ebenen Schnitten auf den Graph der Funktion
z = f ( x , y) .
Bestimmen Sie für jede der nachfolgenden Funktionen zweier unabhängiger Variablen die
größtmögliche Definitionsmenge
a. f1 ( x , y) = 3x − 2 y + 27
y
c. f 3 ( x , y) = y −
2x
b. f 2 ( x, y) = 2( x − 3) 2 − 4 y 2 + 5y − xy − 2
d. f 4 ( x , y) = ln x + y 3 e 1− x
e. f 5 ( x, y) = 1 − x 2 − y 2
Lösungshinweise: D1 = R2, D2 = R2, D3 = (R\{0})×R0, D4 = ]0, 1]×R,
D 5 = {( x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1} , d.h. D 5 ist das Innere einer Einheitskreisscheibe um (0, 0).
17.
Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktionen mit den Funktionsgleichungen
a.
18.
f(x, y, z) = x ⋅ y ⋅ z − 3 x 2 e z
2
b. f(x, y) = 3xy3 – 2y3x2
Berechnen Sie das totale Differential der Funktionen
a.
f ( x, y) = 2x 2 − xy 2 + 2 y 4
b.
g ( x, y) = 2x − 3x 2 y + x 3 y 2
c.
h ( x, y, z) = xy + 2x 2 z − 3yz − z 4
Lösungshinweise: a. df = (4x − y 2 ) dx + (−2 xy + 8y 3 ) dy ;
b. dg = (2 − 6 xy + 3x 2 y 2 ) dx + (−3x 3 + 3x 3 y) dy
c. dh = ( y + 4xz) dx + ( x − 3z) dy + (2x 2 − 3y − 4z 3 ) dz