1 Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Mathematik - Prof. Dr. H. Rommelfanger
Mertonstr. 17-23
Telefon (069) 798 - 23 609
15.05.2016
WIRTSCHAFTSMATHEMATIK
1. Aufgabenblatt
SS 01
1.
Schreiben Sie folgende Funktionen ohne Integralzeichen
x
a.
x
2
 t dt
b.
1
x
2
 t dt
c.
0
2
 t dt
x
d.
1
2
 t dt
2
und erläutern Sie an einer Skizze, wie die Graphen auseinander hervorgehen.
2.
Die untere Grenze d ist bei den folgenden Funktionen so zu bestimmen, daß der Graph durch
den angegebenen Punkt geht
x
a.
x
 dt, P  ( 3, 0)
b.
d
a. d = -3;
Berechnen Sie mit  x n dx 
4
a.
c.
 ( x4
2

 3x 2
 5x ) dx
x 3  2x 2  x  3
x
Lösungshinweise:
dx
a. 169,2;
x
c.
19
 t 2 dt, R  (3, 3 )
d
d
Lösungshinweise:
3.
 t dt, Q  ( 0,  2)
b. d = +2 oder d = -2;
c. d = 2.
x n 1
dx
 C, n  1 und 
 ln x  a  C die Integrale
n 1
xa
5
b.
d.
 ( x 2  1)2 dx
1

x2  x  1
dx
x2
b. 547,2.
4.
Ein Monopolist hat eine Grenzgewinnkurve G'(x) = 100 - 10x.
a. Bestimmen Sie seine Gewinnfunktion G(x) in Abhängigkeit der abgesetzten Menge x.
b. Wie läßt sich die Integrationskonstante C ökonomisch interpretieren, und welche Werte
kann C annehmen, wenn die Gewinnfunktion ökonomisch sinnvoll sein soll?
c. Wie groß ist C, wenn gilt G(5) = 200 ?
Lösungshinweise: b. -500  C  0; c. C = -175.
5.
Wenden Sie den Mittelwertsatz der Integralrechnung auf das Integral der Funktion
f: [-1, 1]  R,
x  f(x) = 1 - x2
an und bestimmen Sie alle Mittelwerte.
Lösungshinweis: z1 = 1 , z2 =  1 .
3
3
2
6.
Gegeben sind die Funktion f: x  f(x) = 18 ( x3  6x 2  32) und
g: x  g(x) = 12 ( x  2) .
die Gerade
a. Zeigen Sie, daß die Gerade durch den Wendepunkt des Graphen von f geht.
b. Welches sind die Koordinaten der beiden anderen Schnittpunkte?
c. Beweisen Sie, daß die beiden endlichen Flächenstücke, die von der Geraden und den
Graphen begrenzt werden, gleichen Flächeninhalt haben.
7.
Berechnen Sie mittels partieller Integration die Integrale
a.  x 2 ln x dx
b.  x 2 sin x dx
c.

2
 x cos x dx
d.
 cos x cos 3x dx
e.
 x 2 e  x dx
 (3x 2  2x ) ln x dx
f.
0
Lösungshinweise:
a. 13 x3 (ln x  13 )  C ;
d. 2  1 ,
c.  e  x (x 2  2x  2)  C ;
b. 2x sin x  (2  x 2 ) cos x  C ;
e. - 18 (3 cos x sin 3x  sin x cos 3x)  C ;
f. ( x3  x 2 ) ln x  13 x3  12 x 2  C .
8.
Berechnen Sie die Integrale
a.
 3 a  x dx

e.
 (3  x )4 dx
1
d.
9.
 1  x 2 dx
1
 
a. 43 3 ( a  x )4  C ;
e. 15 (3  x )5  C ;
f. 4 sin x  3  C .
2 cos x
dx
sin x  3
x
2
b. 3arc tan  C ; c. 12 e x  C ;
3
Berechnen Sie die Integrale
x dx
x
a. 
b. 
dx
2
2
(1  x )
1  x4
2
1
ln x dx
d. 
e.  x 3x 2  4 dx
x
0
3
2
(ln x ) 2
d. 3
a.
1
2
2(1  x )
2
 xe x dx
c.
2
1  x3
Lösungshinweise:
Lösungshinweise:
10.
dx
b.

f.
c.

d. 2 ;
dx
32  9x 2  12x
 C ; b. 12 arc sin x 2  C ; c. 13 arc sin( 12 x  13 )  C ;
.
 C ; e. 56
9
Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion F(x), die den Inhalt der Fläche angibt, die
begrenzt ist durch die y-Achse, die Funktion y = f(x) = x2 und eine Parallele zur x-Achse im
Abstand x2.
Lösungshinweis: F(x) = 23 x3 .
3
11.
Bestimmen Sie die nachfolgenden Integrale, in dem Sie den Integranden zunächst mittels
Partialbruchzerlegung vereinfachen.
1
0
3 4x 3  2x 2  4x  3
2( x 2  1)
1
a.  2
b.
c.
dx
dx
dx


x 2 ( x  1)2
1 ( x  1)( x  3)( x  2)
1
1 x  1
d.
1 2x 2  11x  15
dx

( x  2)3
1

e.
 2(3x  2 )
dx
x( x 2  1)
f.

x 2  4x  1
dx
( x  2)( x  1)x
b. ln 43 ; c. 14 ln 2  10 ln 3  3 14 ; d.  2 ln 3  2 94 ;
e. 4 ln x  2 ln( x 2  1)  6arc tan x  C ; f.  23 ln x  2  2 ln x  1  12 ln x  C .
Lösungshinweise:
12.
a. -;
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den nachfolgend angegebenen Funktionen
eingeschlossen wird:
a. y = f(x) = x2 + 1 und y = g(x) = 5
b. y = f(x) =  19 x 2  2 und y =g(x) = 4  x
Bei den Teilaufgaben weisen die relevanten Schnittpunkte nur ganzzahlige Koordinaten auf.
Lösungshinweise: a. 10, 6 ; b. 13 .
13.
Die Elastizität einer Nachfragefunktion x = f(p) sei gleichbleibend gleich  14 . Geben Sie die
Nachfragefunktion an.
Lösungshinweis: f(p) = C  p
1
4
, C > 0.
14.
Eine Investition in Höhe von 30.000,-- DM erzeuge in den nächsten 20 Jahren einen
konstanten Gewinn von 4.000,-- DM im Jahr.
a. Soll diese Investition getätigt werden, wenn alternativ investierte Beträge stetig mit 9% p.a.
verzinst werden?
b. Wieviele Jahre lang muß ein konstanter Gewinnstrom in Höhe von 4.000,-- DM pro Jahr
bei einer stetigen Verzinsung mit 8% p.a. mindestens fließen, damit sich die Investition
lohnt?
15.
Eine Unternehmung produziert 3.000 Stück eines Gutes am Tag. Die Grenzproduktivität für
zusätzliche eingesetzte Arbeitskräfte beträgt x' = 75 - r .
Wieviel Stück können produziert werden, wenn 10 zusätzliche Arbeitskräfte eingesetzt
werden?
Lösungshinweis: 3.729 Stück.
16.
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt (x0, y0) = (0, 2) und dem Radius 2 rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.
Lösungshinweis: Kreisgleichung: (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2, V  158.
4
17.
Das Geradenstück
G = {(x, y) | x  [-4, 6], y = f(x) = 3x + 3}
rotiert
a. um die x-Achse,
b. um die y-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Doppelkegels.
Lösungshinweise: a. V = 3487,17; b. V = 879,65.
18.
Der Graph der Funktion y = f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 2 hat ein Minimum M und einen
Wendepunkt W. Berechnen Sie das Flächenstück, das von der Sehne MW und der Kurve
begrenzt wird.
Lösungshinweise: 0,25 FE.
19.
1 2
Das zwischen der Parabel y  f ( x)  10
x , der x-Achse und der Parallelen zur y-Achse
x = 6 liegende Flächenstück soll durch eine Parallele zur y-Achse
a. halbiert,
b. im Verhältnis 1 : 7 (kleineres Stück am Ursprung) geteilt werden.
Lösungshinweise: a.  4,76; b. 3.
20.
Berechnen Sie das Volumen eines Fasses, dessen Form durch die Rotation einer Ellipse um
ihre große Achse entsteht, wobei die Polkappen des Rotationskörpers senkrecht zur Drehachse
abgeschnitten werden.
Die Höhe des Fasses sei 12 dm, sein größter Durchmesser 10 dm und der Durchmesser der
beiden Bodenflächen 8 dm.
x2
y2
Lösungshinweis: Gleichung der Ellipse in Normalform 2  2  1 ; V  829,38.
a
b
21.
Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz

 xe  x dx
a.
0
1

d.
0,5
4
g.
dx
1  x2
x dx
0 4x

Lösungshinweise:

0
1
e.

0

h.
a. 1;

 x 2e  x dx
b.
1
2
x
1  x2
dx
x dx
2
3
2 ( x  1)

b. 2;
1
c. 2e
;
f.
i.
d. 3 ;
Berechnen Sie die Doppelintegrale
a x 1
a a
a.  
b.  
dt dx
0 0 at
0 x
Lösungshinweise:
tx
a2  t 2
a. a(2ln 2a - 2ln a - 1);
dt dx
3
b. a3 .

2
x3

1

i. 6 .
22.
 xe  x dx
c.
dx
x2  1
dx
 4  9x
e. 1;
2
f. 2 3 ;
g. 32
;
3
1
h. 36
;