Lösung 4

Physik I
Übung 4 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
SoSe 2012
Stand: 09.05.2012
Aufgabe 1 Diskussion: Was transportiert der Golfstrom?
Der Hauptteil des Golfstroms, der Karibenstrom, kommt aus der 160 km breiten und durchschnittlich 1000 m tiefen Meerenge zwischen Key West (Florida) und Habaña (Cuba) mit
im Mittel etwa 5 km/h hervorgeschossen. Er bringt bis an die Rockall-Schwelle (zwischen
Schottland und Island) selbst im Januar Wasser von ca. 15 ◦ C, während man sonst in ähnlicher geographischer Breite um 0 ◦ C misst. Schätze die Wärmemenge ab, die der Golfstrom der
nordostatlantischen Region im Winter zuführt.
Lösungshinweise:
Wir machen zwei Annahmen für unsere Abschätzung: Was in der Karibik an Wasser in den
Golfstrom einfliesst wird auch bis zum Atlantik transportiert; und das Wasser gibt im Atlantik
seine gesamte Wärme ab.
Wir berechnen mit der Wärmekapazität des Wassers (c = 4.18 kgkJK ) und der transportierten
Wassermenge die vom Golfstrom zugeführte Wärmeleistung.
Das einfließende Wasservolumen pro Sekunde (der Volumenstrom) ist
dV
dt
5
3
= 1.6 × 10 m × 10 m ×
Das entspricht einem Massenstrom von
dm
dt
5 × 103 m
3.6 × 103 s
= 2.2 × 108 m3 /s
= 2.2 × 1011 kg/s.
Nun berechnen wir noch die abgegebene Wärmeleistung
P = c∆T
dm
dt
= 4.18
103 J
kgK
× 15 K × 2.2 × 1011 kg/s = 1.4 × 1016 W
Zum Vergleich: Das ist in etwa die Strahlungsleistung, die sich bei senkrechtem (!) Sonneneinfall auf die gesamte Fläche Europas ergibt. In Wirklichkeit muss man natürlich noch ein paar
andere Faktoren berücksichtigen, z.B., dass die meiste Energie im Ozean bleibt, es ist aber zumindest verständlich, dass der Golfstrom für ein, verglichen mit Gebieten auf gleicher Breite
in Nordamerika oder Asien (New York ist auf der gleichen Breite wie Neapel), mildes Klima in
Europa und insbesondere in der Atlantikregion sorgt.
Um auf die Wärmemenge zu kommen, kann man die Leistung noch mit der Zahl der Sekunden
im Winter multiplizieren (etwa π2 × 107 ). Man erhält Q = 4.4 × 1023 J
1
Aufgabe 2 Counting Moles
Little Red Baseballcap got a very arduous job: she signed up to count all the molecules left
in an evacuated tube. Make her job easier by calculating, rather than counting, the number
of molecules for her. The tube has a pressure of one micro-Pa and a volume of 10 cm3 . Its
temperature is 300 K and at such a low pressure, the remaining air behaves like an ideal gas.
Lösungshinweise:
It is all quite simple, madam: just apply the ideal gas law to get the number of moles in the
sample
n=
pV
RT
=
10−6 × 10−5
8.3 × 300
= 4 × 10−15
Then multiply by Avogadro’s number and there you have it!
nNA = 2.4 × 109
Of course, you can also use this new-fashioned Boltzmann’s constant instead, but a real gentleman always uses moles.
Aufgabe 3 Diskussion: Ausdehnung flüssig und fest
Diskutiert und versucht eine physikalisch einleuchtende Erklärung dafür zu geben, dass die
Thermischen Ausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeiten üblicherweise viel größer sind als die
von festen Körpern.
Lösungshinweise:
Ein einleuchtender Erklärungsansatz ist, dass man sich bei Flüssigkeiten im gleichen Potential
wie in Festkörpern befindet, allerdings bei höheren Energien. Da die Steigung des Potentials bei
großen Radien (rechts) kleiner wird ist die Radiusänderung bei einer weiteren Erhöhung der
thermischen Energie größer als in der Nähe des Minimums. Dies übersetzt sich in eine Änderung
des mittleren Abstandes weil die Steigung links weniger schnell flacher wird als rechts.
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dR
dR'
dE'=dE
dE
Aufgabe 4 Isobar und isotherm
Ein ideales Gas dehnt sich vom Ausgangsvolumen V0 auf ein Volumen V aus. Zu Beginn hat
es die Temperatur T0 und den Druck p0 . Wie groß ist die Arbeit, die das Gas leistet wenn die
Ausdehnung
a) isobar, also bei konstantem Druck erfolgt
b) isotherm, also bei konstanter Temperatur erfolgt?
Lösungshinweise:
Für ein ideales Gas kann man den Energiesatz wie folgt schreiben:
dQ = dU + pdV
Die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit ist nur der letzte Teil des Energiesatzes:
dW = pdV
a) Das muss man integrieren (von V0 bis V , p bleibt konstant).
W=p
ZV
dV
V0
W = p(V − V0 )
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b) Wieder integrieren, jedoch ist nun p abhängig von V . Dies bekommt man über die ideale
Gasgleichung.
pV = nRT
nRT
p(V ) =
V
W=
ZV
nRT
V
dV
V0
W = nRT ln
V
V0
Aufgabe 5 Diskussion: Das Caloricum
Anfang des 19. Jh. war die gängige Theorie, Wärme zu beschreiben, eine fließfähige Erhaltungsgröße (das Caloricum). In der Tat kann man etwa die Wärmeleitung oder auch Phänomene wie
das Abkühlen eines Gases bei Expansion gut mit der Vorstellung eines solchen Stoffs vereinbaren. Schlage ein Experiment vor, das zeigt, dass die Wärme keine Erhaltungsgröße sein kann.
Lösungshinweise:
Zunächst noch ein Kommentar zur Expansion eines Gases: Nach heutigen Begrifflichkeiten ist
bei adiabatischer Expansion ∆Q = 0, innere Energie wird also in Arbeit umgewandelt und das
Gas wird dabei kälter. Früher hätte man das so erklärt, dass das Caloricum verdünnt wird und
dadurch das Gas kälter wird.
Um das Caloricum zu widerlegen muss man ein Experiment haben, bei der Wärme zerstörungsfrei in eine andere Energieform umgewandelt wird (oder andersherum).
Unser Vorschlag ist die Reibung. Hier fließt keine Wärme irgendwo ab oder wird etwas zerstört,
sondern die Energie kommt aus mechanischer Bewegung.
Feuer ließe sich dagegen mit dem Caloricum erklären: da ein Stoff durch Verbrennen zerstört
wird, kann er es nicht mehr bei sich halten.
Aufgabe 6 Laborunfall
Kasimir arbeitet im Labor. Dabei passiert es ihm, dass er falsche Dinge mischt und durch eine
chemische Reaktion V = 437 cm3 eines Gases freigesetzt werden. Die Freisetzung findet bei den
Versuchsbedingungen p = 2.03 bar und T = 364◦ C statt. Nachdem sich das ausgetretene Zeug
auf Zimmertemperatur abgekühlt hat, stellt Kasimir fest, dass er m = 536.3mg hat entweichen
lassen.
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a) Welches der Gase He, H2 , N2 , O2 , CO2 oder CO könnte es gewesen sein?
b) Bestimme die Molmenge n des Gases.
c) Bestimme die Anzahl der Moleküle, die freigesetzt wurden.
Lösungshinweise:
a, b) Das geht am einfachsten, indem man die ideale Gasgleichung ansetzt und mit den gegebenen Werten die Molmasse bestimmt
pV
g
n=
= 32
RT
mol
Damit handelt es sich wohl um Sauerstoff.
c) N = nNA = 1022
Aufgabe 7 Was ist wie schnell?
Wir haben ein Gas (Stickstoff) mit der Temperatur T = 300K.
Wie wahrscheinlich ist es, dass einzelne Gasmoleküle Geschwindigkeiten zwischen v 1 =
900 m/s und v 2 = 1000 m/s haben?
Hinweis: Versucht euch zu überlegen, wie man das Integral in einem kleinen Bereich einfach
annähern könnte (z.B. durch ein Rechteck...)
Lösungshinweise:
Die Wahrscheinlichkeit bestimmt man über das Integral
W=
Zv 2
F (v )dv
v1
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p 3
πv w
Zv 2
v1
‚
v 2 exp
−
v2
v w2
Œ
dv
Die zweite Zeile ist eine Form der Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung
abhängig von der wahrp
scheinlichsten Geschwindigkeit in einem Gas (v w = 2kT /m).
Statt das Integral zu lösen, kann man es für ein genügend kleines Geschwindigkeitsintervall
durch ein Rechteck annähern. Man muss also einfach den Mittelwert aus v 1 und v 2 bilden
v −v
(v̄ = 2 2 1 , die Funktion an dieser Stelle auswerten und mit der Breite des Intervalls (v 2 − v 1 )
multiplizieren. Das ist zwar grob, aber in diesem Fall ok (siehe Hinweis). Es ergibt sich
‚
Œ
4v̄ 2
v̄ 2
4 × 9502 − 95022
2.25 × 2.252 −2.252
W = p 2 exp − 2 dv =
e 422 × 100 =
e
= 1.7 × 10−2
4.22
vw
1.77 × 4223
πv w
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