Lösung 5

Physik II
Übung 5 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
SoSe 2012
Stand: 18.05.2011
Aufgabe 1 Diskussion: Beim Bremsen heißgelaufen
Beim Herunterfahren von einer Passstraße langweilt ein LKW-Fahrer sich leicht. Zum Zeitvertreib könnte er abschätzen, wie heiß seine Bremsen wohl werden. Er legt eine Höhendifferenz
von 200 m zurück und die Anfangs- ist gleich der Endgeschwindigkeit.
Nimm vernünftige Werte für Wärmekapazität und Masse der Bremsen, etc. an und tu so, als ob
die Bremsen ihre Wärme nicht loswerden könnten um die Erwärmung der Bremsen abzuschätzen.
Mache das gleiche für ein ständig beschleunigendes und bremsendes Formel-1-Auto mit CarbonBremsen. Machen alle Annahmen Sinn?
Lösungshinweise:
Die Wärmekapazität von Stahl beträgt etwa cS = 500 J kg−1 K−1 , die von Carbon etwa cC =
700 J kg−1 K−1 . Die potentielle bzw. kinetische Energie muss komplett in Wärme umgewandelt
werden, also
E = M gh = mcS ∆T
Für den LKW nehmen wir eine Masse von M = 30 t an wobei vielleicht größenordnungsmäßig
m = 500 kg auf die Bremsscheiben entfallen. Damit ist
∆T =
M gh
mcS
=
3 × 104 × 10 × 200
500 × 500
K = 240 K
Ein Formel-1-Auto wiegt (mindestens) M = 640 kg, die Bremsen haben eine Masse von nur
einigen hundert Gramm ()m = 500 g). Wir nehmen für die Geschwindigkeit mal 100 m/s an.
∆T =
Mv 2
2mcS
=
7 × 102 × 104
2 × 5 × 10−1 × 7 × 102
K = 10000 K
Dass das deutlich zu hoch ist liegt hauptsächlich daran, dass die Bremsen in Wirklichkeit ihre
Wärme abgeben, und zwar in erster Linie durch Wärmestrahlung. Formel-1-Bremsen können
aber tatsächlich bis zu 1000 ◦ C heiß werden
1
Aufgabe 2 Diskussion: Bestimmung von molaren Massen
Du willst die Molmasse eines unbekannten Gases bestimmen. Das kann man z.B. machen, indem
man mit einem Kolben einen konstanten Druck p (der größer als der Außendruck ist) in einem
Gasvolumen erzeugt, das durch eine kleine Öffnung mit der Außenwelt verbunden ist. Misst
man die Zeit, die benötigt wird, um das gesamte Gas herauszudrücken, kann man die Molmasse
bestimmen. Überlege dir, wie das funktioniert, bzw. wie man aus einer Messung der Zeit die
Masse erhält.
Lösungshinweise:
Hier braucht man die Bernoulli-Gleichung (mit der Austrittsgeschwindigkeit des Gases w)
1
p = p0 + ρw 2
2
Das herausgeströmte Volumen ist gegeben durch das Integral über den Volumenstrom
V=
Zt
V̇ d t 0 = wAt
0
Wobei A die Fläche des Lochs ist. Die Dichte ρ hängt mit der Molmasse und dem Volumen
zusammen
ρ=
nm M
V
Fasst man zusammen
1
p = p0 + nA2 V m M t 2
2
Den Faktor nA2 V kann man durch Kalibrierung mit Hilfe eines anderen Gases bekannter Molmasse (z.B. H e oder H2 ) bestimmen oder auch berechnen. Eine Kalibrierung ist vom experimentellen Standpunkt her aber sinnvoller.
Aufgabe 3 Diskussion: Die Eisheiligen, das Obst und Väterchen Frost
Auch noch im späten Frühjahr / frühen Sommer kann es in Obstanbauregionen vereinzelt zu
frostigen Nächten kommen. Dies kann die Blüten der Pflanzen schädigen. Findige Menschen
haben sich jedoch Abhilfe ausgedacht: Bei frostigen Nächten werden die Felder mit Wasser
besprüht, welches dann an den Pflanzen gefriert.
Wieso kann das helfen?
Lösungshinweise:
2
Bei der Kristallisation von Flüssigkeiten zu Festkörpern wird die sog. Kristallisationswärme frei.
Die Kristallisationswärme ist die gleiche Energie, die auch für das Auftauen des Festkörpers
aufgewendet werden muss. Bei beiden Vorgängen verändert sich die Temperatur nicht (latente
Wärme)!
Durch das Besprühen der Pflanzen mit Wasser kann daher die Temperatur der Blüten bei rund
0 ◦ C gehalten werden, selbst wenn die Außentemperatur tiefer sinkt. Das reicht aus, um ein Einfrieren der in den Blüten befindlichen Flüssigkeiten zu verhindern (Wasser mit Zusatzstoffen).
Das Ganze funktioniert aber nur für kurze Zeit (z.B. Nachtfrost). Am nächsten Tag sollte das
über Nacht entstandene Eis wieder abtauen.
Es gibt noch zwei weitere Effekte, die aber eine geringere Rolle spielen dürften: Erstens kondensiert aus der kalten Luft Wasser heraus, dadurch wird ählich wie bei der Kristallisationswärme
Energie frei, die an die Blüte abgegeben werden kann. Zweitens erhöht das zusätzliche Wasser
die Wärmekapazität, was die Auskühlung der Blüten verzögert.
Aufgabe 4 Kühlung in Fukushima
In Kernreaktoren wird auch nach einer Abschaltung der nuklearen Kettenreaktion weiter Wärme freigesetzt (Nachzerfallswärme). Diese Wärme entsteht durch den radioaktiven Zerfall von
während des Betriebs erzeugten Spaltprodukten. Die enstehende Energie muss auch noch lange
nach der Abschaltung weiter abgeführt werden.
Der Reaktorblock 2 des Kernkraftwerks Fukushima, Japan, war am 11.03.2011 mit einer thermischen Leistung von rund 2300 MW in Betrieb. Nach dem Erdbeben wurde er abgeschaltet. Ein
Jahr später wird durch die Nachzerfallswärme noch eine Leistung von rund 5 MW frei. Welche
Menge Wasser (T0 = 20◦ C) kann mit einer solchen Leistung pro Stunde verdunstet werden?
Lösungshinweise:
Die Materialeigenschaften:
Spezifische Wärmekapazität
c
Verdunstungswärme
Siedepunkt
λv
Tb
kJ
4.185 kgK
kJ
2256 kg
373 K
Eine Leistung von 5 MW entspricht einer Energiezufuhr von 5 MJ pro Sekunde. Damit wird in
einer Stunde eine Energie von
Eh = 3600 · 5 MJ
zugeführt.
Für die Verdampfung von Wasser der Masse m ist folgende Energie nötig:
E = cm∆T + λv m
3
Umgestellt nach m ergibt sich
m=
E
c∆T + λv
m =6950 kg
Pro Stunde müssen ein Jahr nach Reaktorabschaltung rund 7 Tonnen Wasser verdunstet werden
um die Nachzerfallswärme abzuführen.
Aufgabe 5 Bleigießen mal anders!
Statt das Blei zum Bleigießen mit einer Kerze zu erwärmen, kann man auch Folgendes machen:
Man schießt eine Kugel Blei gegen eine sehr stabile Wand. Wie schnell muss eine Bleikugel (Temperatur bei Abschuss Ta = 30◦ C sein, damit sie nach dem Auftreffen vollständig schmilzt? Nimm
dabei an, dass die gesamte kinetische Energie der Kugel in innere Energie des Bleis umgewandelt
wird.
Recherchiere benötigte Materialeigenschaften von Blei selbst!
Lösungshinweise:
Die Materialeigenschaften:
Spezifische Wärmekapazität
c
Schmelzwärme
Schmelzpunkt
λs
Ts
kJ
0.13 kgK
kJ
23.4 kg
600 K
Energieerhaltung für die Geschwindigkeit:
1
mv 2 =(Ts − Ta )cm + λs m
2
p
v = 2 (Ts − Ta )c + λs
v =278 m/s
Aufgabe 6 Isochore Erwärmung
2 mol eines einatomigen idealen Gases werden bei konstantem Volumen um 10 K erwärmt.
a) Wie groß ist die vom Gas verrichtete Arbeit?
b) Wie groß ist die übertragene Wärmemenge ∆Q?
c) Wie groß ist die Änderung der inneren Energie?
d) Wie groß ist die Änderung der mittleren kinetischen Energie pro Atom?
Lösungshinweise:
a) Da sich das Volumen nicht ändert ist ∆W = 0
b), c) ∆Q = ∆U = ncV ∆T = n 32 R∆T = 250 J
d) ∆ Ekin = 32 kB ∆T = 2 × 10−22 J
4
Aufgabe 7 Isobare Erwärmung und Ausdehnung
Einem idealen Gas mit Raumtemperatur werden bei konstantem Druck von 1 atm eine Wärmemenge von 21 J zugeführt. Dabei ändert sich das Volumen von 45 cm3 auf 75 cm3 .
a) Wie groß ist die Änderung der inneren Energie?
b) Wie groß ist C p ?
c) Wie groß ist Cv ?
Lösungshinweise:
a)
∆U = ∆Q − p∆V = 21 J − 105 Pa × 3 × 10−5 m3 = 18 J
b)
Cp =
∂Q
∂T
=
p
∆Q
∆T
Die Temperaturdifferenz erhält man mit der idealen Gasgleichung ∆T =
10−3 mol die man aus dem Gasvolumen von 24.5 L/mol bestimmen kann)
C p = nR
c) Cv = C p − nR = 0.1
∆Q
p∆V
= 0.12
p∆V
nR
(mit n = 2.1 ×
J
K
J
K
Aufgabe 8 Kalorimeter kühlt Kupferklotz
Eine heiße Kupferkugel der Masse mKu = 50 g und Temperatur T wird in ein mit mW = 250 g
Wasser gefülltes Kupferkalorimeter der Masse mKa = 150 g geworfen. Man stellt fest, dass
dabei mV = 1 g Wasser verdampft sind und der Rest des Kalorimeters sich von T1 = 20 ◦ C auf
T2 = 30 ◦ C erwärmt hat. Bestimme T .
Lösungshinweise:
Man rechnet am besten in Wärmemengen. Man muss mV zunächst von Zimmertemperatur auf
TV = 100 ◦ C erwärmen, dann verdampfen. Außerdem muss man den Rest des Wassers sowie
den Kupferblock auf T2 erwärmen. Dem entgegen kühlt man die Kupferkugel von T auf T2 ab.
Insgesamt kommt keine Wärme raus.
Spezifische Wärmekapazität von Wasser
cW
Spezifische Wärmekapazität von Kupfer
cK
Verdunstungswärme
Siedepunkt
λv
TV
4.19 kgkJK
0.385 kgkJK
kJ
2260 kg
373 K
5
mV λv + mV cW TV − T1 + mW − mV cW T2 − T1 + mKa cK T2 − T1 + mKu cK T2 − T = 0
Stellt man nach T um ergibt sich
T = T2 +
1
mV λv + mV cW TV − T1 + mW − mV cW T2 − T1 + mKa cK T2 − T1
mKu cK
= 30 C + 5.2 × 10−2 (2300 + 300 + 10400 + 600) K
◦
= 740◦ C
Aufgabe 9 Kritisch - Van-der-Waals
Für ein Van-der-Waals Gas beträgt das Volumen am kritischen Punkt Vk = 3b, die Temperatur
8a
a
Tk = 27Rb
und der Druck pk = 27b
2.
Leite diese Zusammenhänge aus der Van-der-Waals-Gleichung her!
Hinweis: Am kritischen Punkt besitzt die Funktion p(V ) für konstantes T einen Wendepunkt mit
waagerechter Tangente!
Lösungshinweise:
Zunächst die Van-der-Waals-Gleichung nach p umstellen:
Œ
‚
n2 a
nRT = p + 2 (V − nb)
V
p=
nRT
V − nb
−
n2 a
V2
Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung einer Gleichung 0 sein, für waagerechte Tangente die erste.
!
0=
dp
n2 a
+2 3
(V − nb)2
V
nRT
n2 a
!
0= 2 =2
−6 4
V
dV
(V − nb)3
dV
d2 p
=−
nRT
Auch wenn pk und Tk gesucht sind, ist es am einfachsten zunächst das ganze nach V aufzulösen und einzusetzen. Dafür ist es praktisch, durch Multiplikationen bei beiden Gleichungen die
Brüche zu eliminieren.
0 = − nRT V 3 + 2n2 a(V − nb)2
0 =nr T V 4 − 3n2 a(V − nb)3
6
Nun kann man die erste Gleichung noch mit V multiplizieren und beide addieren:
0 = 2n2 aV (V − nb)2 − 3n2 a(V − nb)3
0 = 2V − 3V + 3nb
V = 3nb
Durch Einsetzen in eine der Gleichungen erhält man nun Tk .
0 = − nRT (3nb)3 + 2n2 a(3nb − nb)2
0 = − 27RT n4 b3 + 8n4 ab2
8a
T=
= Tk
27Rb
Nun kann man V und Tk in p(V ) einsetzen, um pk zu bestimmen:
pk =
8a
nR 27Rb
−
n2 a
3nb − nb (3nb)2
4a
a
=
−
27b2 9b2
a
=
27b2
7