1 Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
6. Übungsblatt
SS 2002
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage in Bezug auf den Preis für die
p4
Nachfragefunktion
x(p) =
.
2p  1
Interpretieren Sie die Preiselastizität für p0 = 3.
Lösungshinweis: x(3) =  73 .
2.
Approximieren Sie die Logarithmusfunktion f(x) = ln x im Intervall ]2, 4[ durch ein
Polynom 4. Grades, das um x0 = 3 entwickelt ist. Schätzen Sie die maximale Abweichung
mittels des LAGRANGEschen Restgliedes ab.
3.
Bestimmen Sie mittels der Regel von De L’HOSPITAL die folgenden Grenzwerte.
2x  6
2x  4
a.
b.
lim 2
lim
x 3 x  x  6
x  6  x
c.
1 x
x 1 ln x
Lösungshinweise:
4.
d.
lim
a.  25 ;
b. -2;
3x 2  4x  1
ex
x 
lim
c -1;
d. 0.
a. Bilden Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f (x)  x(ln x  1)  e 2x .
2
b. Bestimmen Sie die Elastizität der Funktion g(x)  e 2(x 2) . Interpretieren Sie die
Elastizität der Funktion g an der Stelle x = 3.
c. Bestimmen Sie mittels logarithmischer Ableitung die Elastizität der Funktion
x  1 x2
h(x)=
 e , D = R+ .
x
Interpretieren Sie die Elastizität von h an der Stelle x0 = 2.
Lösungshinweise:
5.
b. g(x) = 4x(x - 2), g(3) = 12;
1
 2x 2 , h(2) = 23
c. h(x) = 
.
3
x 1
Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktionen mit den
Funktionsgleichungen
a. f(x, y) = 2x3 - 3xy2 - 7y4
b. f(x, y, z) = -2x2y + 3zex - y z
2
6.
Die Abhängigkeit der Nachfrage nach einer bestimmten Ware vom Preis p1 dieser Ware und
vom Preis p2 einer ähnlichen Ware werden angenähert durch folgende Funktion
wiedergegeben: f: (p1, p2)  10 - p1 + p 22 .
Berechnen Sie die partiellen Nachfrageelastizitäten.
7.
Eine Gewinnfunktion lautet G (x, y) = 3x2 + 4xy - y2.
Berechnen Sie mit der Näherung dG von dem Niveau x = 20, y = 5 aus.
a. die Änderung des Gewinns, wenn x um 1 und y um 0,2 erhöht wird.
b. die Änderung des Gewinns, wenn x um 2% erhöht wird und y um 1% vermindert wird.
c. die Größe, um die sich x ändern muß, damit der Gewinn gleich bleibt, wenn y um 2%
erhöht wird.
Lösungshinweise: a. dG = 154; b. dG = 52,5; c. dx = -0,05.
8.
Der Spediteur Otto erhält von seinen Kunden für jeden gefahrenen km den Betrag p. Dem
stehen variable Kosten von 10 GE pro gefahrenem km sowie 300 GE fixe Kosten gegenüber.
Es gilt also:
1. E(x, p) = px
mit E = Erlös, K = Kosten,
2. K(x) = 10x + 300
mit x = gefahrene Kilometer,
3. G(x, p) = E(x, p) - K(x) mit p = Preis eines km Transportleistung.
Otto plant eine Fahrt über 1000 km, für die er mit seinem Kunden einen Preis von 12 GE pro
km vereinbart hat. Nun bietet dieser ihm an, er könne die Tour noch um 300 km ausdehnen,
wenn er im Gegenzug für die gesamte Fahrstrecke den Preis pro km auf 11,5 GE reduziere.
Soll Otto das geänderte Angebot akzeptieren?
a. Otto hält eine Approximation mit Hilfe des totalen Differentials für ausreichend.
Vollziehen Sie seine Rechnung nach!
Wie entscheidet er sich, wenn er an zusätzlichem Gewinn interessiert ist?
b. Ermitteln Sie die genauen Daten! Warum hat Otto sich falsch entschieden?
Lösungshinweise: a. Otto soll sich für das Zusatzgeschäft entscheiden;
b. das Zusatzgeschäft vermindert den Gewinn um 50 GE.
9.
An welchen Stellen hat die Funktion
a. z = f(x, y) = x2 + y2 - 4x
c.
b. z = g(x, y) = x3 + y3 - 9xy + 28
z = h(x, y) = 13 x3 + 4xy - 2y2
ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum?
Lösungshinweise: a. in (2, 0) relatives Minimum; b. in (0, 0) kein relatives Extremum, in
(3, 3) relatives Minimum;
c. in (0, 0) kein relatives Extremum und in (-4, -4) relatives
Maximum.
10.
Ein Monopolist stellt Rasierapparate und -klingen zu konstanten Stückkosten von 20 DM je
Apparat und 10 DM je Dutzend Klingen her.
1
2
Die Marktnachfrage je Jahr beträgt
106 Rasierapparate und
106 Dutzend Klingen,
p1p 2
p1p 2
wenn die Preise p1 (DM je Rasierapparat) und p2 (DM je Dutzend Klingen) sind. Wie groß
muß der Monopolist p1 und p2 wählen, um seinen Gesamtgewinn zu maximieren?
Lösungshinweis: p1* = 40, p*2 = 20.
3
11.
a. Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion
g(x, y) = x2 - x4 + 2y + 3
b. Berechnen Sie mittels der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktion
h(t) = g(x(t), y(t)) in t0 = 3
mit g(x, y) = 2x3 - 7xy + 3y2
x(t) = 2 - t, y(t) = t2 - 4t + 7
12.
Für ein Unternehmen, das ein Gut Z mit zwei Produktionsfaktoren X und Y herstellt, gelte
 die Produktionsfunktion
f(x, y) = 5x0,1 y0,9,
 die Gesamtkostenfunktion K(z) = z2 + 4,8z + 15,
 die Preis-Absatz-Funktion p(z) = 200 - 0,6z.
a. Bestimmen Sie die partiellen Produktionselastizitäten und interpretieren Sie die
Ergebnisse!
b. Stellen Sie die Erlösfunktion auf!
c. Bestimmen Sie den gewinnmaximalen Preis und die zugehörige Menge!
d. Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage in Bezug auf den Preis im
Gewinnmaximum?
Lösungshinweise: a. yf(x, y) = 0,9;
b. E(z) = 200z - 0,6z2;
c. Gmax = 5.938,60 GE, Pmax = 163,40 GE.
13.
a. Gegeben ist die Höhenlinie g(x, y) = x3y  xy 2  5xy  8x2  4  0 .
Welche Punkte (2, y) liegen auf dieser Höhenlinie. Bilden Sie in dem Punkt (2, y) mit dem
kleineren y-Wert die Tangente an die implizite Funktion, die in der Umgebung dieses
Punktes der Höhenlinie g(x, y) = 0 entspricht.
a. Untersuchen Sie die Funktion f(x, y) = 4x3 + xy - y + 2 auf relative Extremwerte unter
Beachtung der Nebenbedingung y = xy + 3x.
14.
Für die Produktion der neuen Mensaeinrichtung hat die Firma Studio-Line 500 Arbeitsstunden
eingeplant. Während für einen Super-Relax-Stuhl eine Stunde vorgesehen ist, nimmt die
Herstellung eines Tisches viermal soviel Zeit in Anspruch.
Wieviele Stühle (x) und wieviele Tische (y) müssen hergestellt werden, um einen maximalen
Gewinn zu erzielen, und wie hoch ist dieser, wenn die Gewinnfunktion
G(x, y) = xy + 4y lautet?
Lösungshinweise: Verwenden Sie zur Bestimmung des Gewinnmaximums die Reduktionsmethode. Wenn 248 Stühle und 63 Tische hergestellt werden, erzielt die Firma den maximalen Gewinn 15.876 GE.
B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
15.
Eine Tariffunktion f(x) ist durch folgende intervallweise Darstellung gegeben:
10
für
0  x < 500

f ( x )  5  0,01x
für 500  x < 1000

4
2

115  0,2x  10 x für 1000  x
4
a. Wie groß ist die Steigerung von f(x) absolut und relativ in den Punkten x1 = 800 und
x2 = 2000, wenn der x-Wert jeweils um 100 steigt?
b. Berechnen Sie die Elastizitäten des Tarifs in den einzelnen Intervallen!
c. Von welchem x-Wert an ist der Tarif im Intervall 1000  x elastisch?
Lösungshinweise:
16.
a. 7,7%;
b. 18,3%;
c. x > 1.072,38.
Bestimmen Sie mittels der Regel von De L’HOSPITAL die folgenden Grenzwerte.
a.
lim
x 2
2x 2  8
b.
x2  x  6
9x 2  4x  2
lim
2x 2  8x  8
x 2
x2  x  6
x2  1
4
x  
3x 2  7
x 1 x  1
Lösungshinweise: a. 85 ; b. 0; c. 3; d. 12 .
c.
lim
d.
lim
17.
Gegeben ist die Funktion f(x, y) = (x - 2)2 + (y + 1)2 - 2.
a. Zeichnen Sie die Höhenlinien f(x, y) =  für  = -1, 2, 7.
b. Zeichnen Sie die Vertikalschnitte senkrecht zur x-Achse für x = 0, 2, 5.
c. Zeichnen Sie die Vertikalschnitte senkrecht zur y-Achse für y = -3, -1, 1.
d. Schließen Sie aus den gezeichneten ebenen Schnitten auf den Graph der Funktion
z = f(x, y).
18.
Bestimmen Sie für jede der nachfolgenden Funktionen zweier unabhängiger Variablen die
größtmögliche Definitionsmenge
a. f1(x, y) = 3x - 2y + 27
b. f2(x, y) = 2(x - 3)2 - 4y2 + 5y - xy - 2
y
c. f3(x, y) = y 
d. f4(x, y) = ln x + y3 e 1 x
e. f5(x, y) = 1  x 2  y 2
2x
Lösungshinweise: D1 = R2, D2 = R2, D3 = (R\{0})R0, D4 = ]0, 1]R,
D5 = {(x, y)  R2 | x2 + y2  1}, d.h. D5 ist das Innere einer Einheitskreisscheibe um (0, 0).
19.
Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktionen mit den
Funktionsgleichungen
a.
f(x, y, z) = x  y  z  3x 2 e z
2
b. f(x, y) = 3xy3 - 2y3x2
20.
Berechnen Sie das totale Differential der Funktionen
a. f(x, y) = 2x2 - xy2 + 2y4
b. g(x, y) = 2x - 3x2y + x3y2
c. h(x, y, z) = xy + 2x2z - 3yz - z4
21.
Berechnen Sie
i. durch direkte Ableitung
die 1. Ableitung der Funktionen
a. h(t) = g(x(t), y(t))
in ta = 2 mit
b. H(t) = G(x(t), y(t), z(t)) in tb = 3, mit
Lösungshinweise:
a. h'(2) = 404;
ii. mittels der Kettenregel
g(x, y) = x2 + 2y3, x(t) = 2t + 1, y(t) = t2
G(x, y, z) = x + 2y + z2,
x(t) = t3, y(t) = 2t2, z(t) = t - 1.
b. H'(3) = 23 3 + 28.