1 Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
5. Übungsblatt
SS 2002
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) mit
für 0  x  50
 x  K f
2
K(x) =  1
 10 x  2  8 für 50  x  100
a. Wie groß müssen die fixen Kosten Kf sein, damit die Kostenfunktion K(x) stetig in
[0, 100] ist? (Die Stetigkeit ist für alle Punkte zu begründen!)
b. In welchen Punkten x  ]0, 100[ ist K(x) (mit Kf gemäß der Teilaufgabe a.) differenzierbar? Zur Überprüfung der Differenzierbarkeit in x1 = 50 ist der Differentialkoeffizient zu
bilden.
(Die Grenzkosten müssen nicht berechnet werden!)


Lösungshinweise: a. K f = 7
2.
b. K ist in x1 = 50 nicht differenzierbar.
für x < -3
2x  5
Ist die Funktion f(x) =  2
x  4x  4 für - 3  x
in x0 = -3 differenzierbar? Die Überprüfung der Differenzierbarkeit soll durch Bildung der
Differentialquotienten erfolgen!
Lösungshinweis: f '(x) = -2
3.
Untersuchen Sie die Funktionen
a. f ( x )  x 3  3x 2  6 x  8
c.
p( x) 
2
b.
g ( x )   x 3  12 x 2  36 x  25
d.
q ( x) 
x4  7 x2  6x
x2  1
x2  2 x  3
auf Stetigkeit (Art der Unstetigkeitsstellen angeben), Differenzierbarkeit, Verhalten für
x  , Monotonie, relative Extrema, Wendepunkte, Konvexität, Konkavität. Begründung!
(evtl. anhand eines Variationsdiagramms). Skizzieren Sie den Kurvenlauf jeder Funktion.
(Hinweis: Prüfen Sie, ob sich die rationalen Funktionen durch Kürzen vereinfachen lassen).
Lösungshinweise:
a. rel. Max. (1 - 3 ; 10,4), rel. Min. (1 + 3 ; -10,4), Wendepunkt (1,
0); b. rel. Min. (2, -7), rel. Max. (6, 25), Wendepunkt (4, 9);
c. rel. Max. (0, 2),
Wendepunkte ( 13 3 , 23 ) und (  13 3 , 23 ) ;
4.
Fa. K. Lebefix hat Kosten in Höhe von
d. weder rel. Extrema noch Wendepunkte.
K( x )  4x 2  12 x  16 (GE),
wenn x EH pro Tag produziert werden.
a. Berechnen Sie die minimalen durchschnittlichen Kosten dieses Unternehmens.
2
b. Bestimmen Sie die Angebotsfunktion der Fa. Lebefix bei vollständiger Konkurrenz.
(Hinweis: Die Fa. Lebefix wird so anbieten, daß bei gegebenem Marktpreis p ihr Gewinn
maximal wird!)
Lösungshinweise:
a. durchschnittliche minimale Kosten 16,5 GE;
b. Angebotsfunktion x(p) = 18 ( p  12 ) für p > 16,5.
5.
Ist p der Verkaufspreis und x die Menge der pro Tag produzierten und abgesetzten Einheiten
einer Ware, so läßt sich die wirtschaftliche Situation des Monopolisten, der diese Ware
produziert, beschreiben durch
22  p 2
die Preisabsatzrelation x ( p ) 
und
2
die Kostenfunktion
K( x )  2  74 x  14 x 2 .
a. Geben Sie das größtmögliche Preisintervall an.
b. Stellen Sie die Kosten-Preis-Funktion K(p) auf.
c. Für welchen Verkaufspreis nehmen die Grenzkosten K'(p) den Wert Null an?
d. Welchen Preis soll der Monopolist verlangen, wenn er seinen Gewinn maximieren will?
Lösungshinweis:
d. p = 4.
6.
Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung der Funktionen
2
a.
f(x) = e x (3x  2)
b. g(x) = 2x ln(1 - x2)
c.
h(x) = 2x+1
d. p(x) = 3x 10log(x + 4)
2
2
a. f '(x) = (6x2 + 4x + 3) e x , f ''(x) = (12x3 + 8x2 + 18x + 4) e x ;
4 x ( x 2  3)
4 x2
2
b. g'(x) = 2 ln(1 - x ) , g''(x) =
;
(1  x 2 ) 2
1  x2
Lösungshinweise:
c. h'(x) = 2x+1ln2, h''(x) = 2x+1(ln 2)2;
3x
3
12

).
d. p'(x) = 3 10log(x + 4) +
, p''(x) = ln110 (
x  4 ( x  4) 2
(x + 4)ln10
7.
Bilden Sie mittels der logarithmischen Ableitung die 1. Ableitung der Funktion
2
( x  3) 3 2 x 2  1
a. f1 ( x ) 
b. f 2 ( x )  x x
c. f3 ( x )  e x ln x
e
2x  1
8.
Bestimmen Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion f,
a. die durch den Punkt (0, -4) geht und im Punkt (2, 4) ein relatives Maximum hat.
b. deren Graph durch den Punkt (1, 8) geht und die im Punkt (3, -4) ein relatives Minimum
hat.
Lösungshinweise:
a. f(x) = -2(x - 2)2 + 4;
b. f(x) = 3(x - 3)2 - 4.
9.
Ein monopolistischer Markt werde durch die Preis-Absatz-Relation x(p) = 81 - (p + 1)2 im
Preisintervall D = [0, 8] beschrieben.
a. Bestimmen Sie die Absatzelastizität an der Stelle p1 = 5 und interpretieren Sie die
Ergebnisse.
b. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion p(x) der Preis-Absatz-Relation. Geben Sie den
Definitionsbereich von p(x) an.
3
c. Bestimmen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge xc und den dazugehörigen Preis
pc = p(xc) (d.h. den COURNOTschen Punkt), falls für die Kostenfunktion gilt:
K(x) = 600 - 66 81  x - x.
(Hinweis: den Nachweis des Vorliegens eines relativen und absoluten Maximums ist am
leichtesten über die Monotonieeigenschaften von G'(x) zu erbringen!)
Lösungshinweise:
a. x(5) = -1,875;
c. xc = 32, pc = 6.
B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
10.
Gegeben sei die reelle Funktion f: [0, 10]  R
1 x  b
für 0  x  4
2

mit
f(x) =  ( x  6)2  10 für 4  x  8

für 8  x  10
ax  10
a. Sei b = 6 und a = -1. Wo ist diese Funktion stetig? Begründung! Liegt an den
Unstetigkeitsstellen rechts- bzw. linksseitige Stetigkeit vor?
b. Bestimmen Sie a und b so, daß die Funktion f in [0, 10] stetig ist.
c. Untersuchen Sie die stetige Funktion f auf Differenzierbarkeit im Intervall ]0, 10[. Bilden
Sie, soweit möglich, die 1. Ableitung von f.
Lösungshinweis:
11.
b. Mit a =  12 , b = 4 ist f stetig in [0, 10].
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion
a. f(x) = 2x 3  4x 2  x  2
in x 0  1
1 4 1 3
b. g(x) = 12
x  3 x  2x  13
in x1  3
4
2x - 3
c. h(x) =
in x 2  5
x+4
Lösungshinweise:
a. y = -x + 2;
b. y = -2x + 1;
c. y = 11x + 68.
12.
Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = 3x2(x - 1) und die Preisabsatzrelation
p(x) = -2x + 11. Man bestimme
a. die Durchschnittskostenfunktion,
b. die Grenzkostenfunktion,
c. die Erlösfunktion,
d. den COURNOTschen Punkt und den maximalen Gewinn.
13.
Eine Brotfabrik hat Gesamtkosten von
1 2 1
( 80
x  2 x  45) DM,
wenn x Brote pro Tag
hergestellt werden. Der feste Marktpreis - es herrsche vollständige Konkurrenz - ist p DM.
Wie hoch ist der niedrigste Preis, der die Gesamtkosten deckt?
Lösungshinweis: p0 = 2 DM.
14.
Gegeben ist die Kostenfunktion [0, 5]  R
 2 x  2 für 0  x  2
K( x )   2
ax  4 für 2  x  5
4
a. Für welche x  [0, 5] ist f stetig, wenn a = 3 gewählt wird? Begründung! Liegt an der (den)
Unstetigkeitsstelle(n) rechts- bzw. linksseitige Stetigkeit vor?
b. Bestimmen Sie a so, daß K(x) in [0, 5] stetig ist. Ist die so bestimmte Funktion stetig
differenzierbar in ]0, 5[ ? Bilden Sie - soweit möglich - die erste Ableitung von K(x).
c. Für welchen Output x sind die Stückkosten der stetigen Funktion minimal? Die Lösung ist
nicht durch Berechnung, sondern mittels einer Zeichnung zu ermitteln. Beachten Sie dabei,
daß die Stückkosten dann minimal sind, wenn das Verhältnis K am kleinsten ist.
x
Lösungshinweise:
15.
b. a = 0,5;
c. für x = 3 sind die Stückkosten minimal.
Bilden Sie jeweils die 1. und 2. Ableitung der Funktionen
2x  1
a. f ( x )  2 x 4  3x 3  12 x  7
b. g ( x ) 
5  3x
3 x
c. h ( x )  e
d. p ( x )  ln ( x 2 )
1
 100
e. q ( p ) 
f. u ( x )  ( 2 x  3) 5
10 p  3
x
g. 4
h. w( x ) 5 log( x 3 )
Lösungshinweise:
a. f '(x)=8x3 - 9x2 + 12, f ''(x) = 24x2 - 18x;
42
7
b. g'(x) =
, g''(x) =
;
c. h'(x) = -3e-3x, h''(x) = 9e-3x;
( 5  3x ) 3
( 5  3x ) 2
2
10
200
2
d. p'(x) = , p''(x) = 
;
e. q ' ( p ) 
, q''(p) =
2
2
x
x
(10 p  3)
(10 p  3) 3
f. u'(x) = 10 (2x - 3)4, u''(x) = 80 (2x - 3)3;
3
3
h. w'(x) =
, w''(x) =
.
2
x ln 5
x ln 5
16.
g. v'(x) = ln4  4x, v''(x) = (ln4)2  4x;
Bilden Sie jeweils die 1. und 2. Ableitung der Funktionen
2x 2 + 1
2
a. f(x) = (2x - 1)(1 - 3x )
b. g(x) =
x3  2
d. p(x) = 6 (3- x 2 )7
q(x) = x2 + ln (x + 3)
e.
x
x 1
c.
h(x) =
f.
v(x) = 2x - x e  x
2
Geben Sie dabei stets die Definitionsmenge der Funktion und ihrer 1. und 2. Ableitung an.
Lösungshinweise:
a. f '(x)= -18x2 + 6x + 2; f "(x)= -36x + 6; stets ist D = R,
-2x 4 - 3x 2 - 8x
4x 6 + 12x 4 + 56x 3 + 12x + 16
b. g'(x) =
; g"(x)=
; jeweils ist D =
( x3  2)2
( x3  2)3
R\{ 3 2 },
c. h'(x) =
x2
2 ( x  1) 3
, h"(x) =
x  4
4 ( x  1) 5
d. p'(x) =  73 x 6 3  x 2 , p"(x) =
e. q'(x) = 2x +
; jeweils D = ]-1, +[,
7( 4 x 2  9 )
9  6 ( 3  x 2 )5
, jeweils D = [- 3, 3 ],
1
1
, q"(x) = 2 , jeweils D = ]-3, +[,
x3
( x  3) 2
5
2
2
f. v'(x) = 2xln2 - e  x (1 - 2x2), v"(x) = 2x (ln2)2 - e  x (4x3 - 6x), jeweils D = R.