Lösung 1
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Physik I Übung 1 - Lösungshinweise Moritz Kütt Stefan Reutter Franz Fujara WS 2011/12 Stand 22.12.2012 Aufgabe 1 Wer war das noch mal? Viele physikalische und mathematische Gesetze, Funktionen und Größen sind nach bekannten Physikern und Mathematikerinnen benannt. Möglicherweise sind sie auch nur deshalb bekannt, weil man etwas nach ihnen benannt hat. Kennst du die folgenden Namen auch? Ordne zu, und versuche, die Bedeutung Gesetze in der Übungsgruppe zu diskutieren. 1) Satz von Pythagoras a) F~ (~r) = 2) Coulomb-Gesetz b) ∞ P n=0 q1 q2 ~e 4πε0 r 2 r f (n) (a) n! (x − a)n 3) 2. Newtonsches Gesetz c) e iϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ) 4) 3. Keplersches Gesetz d) a2 + b2 = c 2 5) Taylor-Reihe 6) Eulersche Formel d~p e) F~ = dt 2 3 a T f) T1 = a1 2 2 Lösungshinweise: 1 – d Der Satz von Pythagoras beschreibt die Verhältnisse der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck, c ist dabei die Länge der Hypothenuse, a und b sind die Längen der Katheten. 2 – a Das Coulomb-Gesetz beschreibt die Kraft, die zwei Punktladungen q1 und q2 im Abstand ~r aufeinander ausüben, ~e r ist Einheitsvektor in Richtung des Abstandes, r der Betrag des Abstandes. 3 – e Das 2. Newtonsche Gesetz besagt, dass einen Kraft auf einen Körper dessen Bewegung verändert (Geschwindigkeit dargestellt durch Impuls ~p = m~a). 4 – f Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass das quadratische Verhältnis der Umlaufzeiten von zwei Planeten T1 und T2 gleich dem kubischen Verhältnis der großen Halbachsen a1 und a2 der Ellipsenbahnen sein muss. 5 – b Mit der Taylorreihe können unendlich differenzierbare Funktionen f dargestellt, oft genügt die Nutzung weniger Summationsterme als Vereinfachung für das Rechnen mit einer Funktion. 1 6 – c Die Eulersche Formel ist sehr nützlich beim Rechnen mit komplexen Zahlen und trigonometrischen Funktionen, sie lässt sich über Taylorreihenentwicklung beweisen. Aufgabe 2 Theoristen Physikalische Theorien sind entgegen der landläufigen Vorstellung keine unumstößlichen und in Stein gemeißelten Tatsachen - ganz im Gegenteil hat es in der Physik schon mehrfach gewaltige Umwälzungen gegeben. Die alten Griechen dachten beispielsweise, dass während einer Bewegung ständig eine Kraft nötig wäre, damit der Gegenstand nicht langsamer wird und schließlich stehen bleibt, was ja durchaus der Alltagserfahrung entspricht. Newton hat das dann über den Haufen geworfen und behauptet, dass ein Körper so lange seinen Bewegungszustand (seinen Impuls) beibehält, wie keine Kräfte auf ihn wirken. Ein Körper wird dadurch langsamer, dass er eine Reibungskraft erfährt. Im 20. Jahrhundert hat Einstein dann die Relativitätstheorie aufgestellt und mit ihr die sogenannte klassische Physik auf großen Längenskalen korrigiert. Andere Wissenschaftler, Bohr, Heisenberg, Schrödinger, usw. haben ungefähr zur gleichen Zeit die Quantenphysik formuliert, die die Physik auf winzigen Längenskalen innerhalb von Atomen und Atomkernen revolutionierte. Überlege dir für die genannten Übergänge jeweils ein Experiment, das mit der alten Theorie nicht zu erklären ist, mit der neuen aber schon. Lösungshinweise: Dies sollen nur einige Beispiele für Experimente sein: Griechen - Newton: Raumfahrt, Himmelsmechanik. Nicht funktioniert Glatteis o.ä., da die Griechen die Situation dort so interpretiert hätten, dass das Eis beim Schieben helfen würde. Relativität: GPS, Optischer Dopplereffek, Michelson-Morley-Experiment, Lebensdauer von Teilchen in der Atmosphäre, Gravitationslinse Quantenphysik: Photoeffekt, Nullpunktsenergie (Casimir-Effekt), Linienspektren Aufgabe 3 Ein Grabmal für die Ewigkeit Dein Pharao hat dir als Bauherr den Auftrag gegeben, eine Pyramide zu errichten, die seine Unsterblichkeit garantieren soll. Das Werk ist beinahe vollendet, jedoch musst du zur Krönung des Ganzen noch einen Stein bewegen, der ein Gewicht von 2 t hat. Du hast leider nur 20 Sklaven zur Verfügung, von denen jeder mit Hilfe eines Seils ein Gewicht von 50 kg ziehen kann. Die rettende Idee: du schüttest eine schiefe Ebene auf, die du den Stein hochziehen kannst (“du” heißt hier “deine Arbeiter”). Welchen Winkel darf die Ebene maximal haben, damit deine Untergebenen den Stein auf die Spitze ziehen können? Die Reibung soll vernachlässigt werden. Die Höhe der Pyramide beträgt 10 m 2 Lösungshinweise: Fk = mg sin α F⊥ = mg cos α Bedingung für Hochziehen: Fk ≤ FA Jeder Arbeiter kann ein Gewicht von mA = 50kg ziehen, es gibt NA = 20 Arbeiter. Damit ist FA = mA NA g Umformen und einsetzen ergibt α ≤ 30◦ Aufgabe 4 Mechanik a) Ein Massenpunkt, an dem drei Kräfte ziehen, bewegt sich auf a) einer geradlinigen Bahn. Zwei der Kräfte sind in der Skizze eingezeichnet: konstruiere und zeichne auch die dritte Kraft hinein. b) Ein Massenpunkt vollführt die gezeigte Sprungbewegung im Gravitationsfeld der Erde. Welche Beschleunigung wirkt jeweils an den Punkten A, B, C und D? Bewegungsrichtung C b) c) Betrachte ein konisches Pendel, das heißt, einen Massenpunkt, der an einem Faden hängt und im Kreis mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert. In welche Richtung zeigt die resultierende Kraft, die auf die Masse wirkt: A B D c) - nach oben - nach unten - in den Kreis hinein - aus dem Kreis hinaus - tangential zum Kreis - in Richtung des Aufhängepunkts - vom Aufhängepunkt weg Lösungshinweise: 3 a) Man kann einfach die Kräfte vektoriell addieren, etwa in einer Zeichnung. Dort erkennt man, dass es mehrere mögliche Lösungen gibt. b) Überall gleich g c) in den Kreis hinein Aufgabe 5 Wie schwer ist die Sahara? In der Sahara findet man sehr, sehr viel Sand, Sandkörner sind etwa kugelförmig mit einem durchschnittlichen Radius von 50 µm und bestehen aus SiO2 . Ein SiO2 -Würfel mit einem Volumen von 1 m3 wiegt etwa 2600 kg. a) Was ist das Gewicht von 1 m3 Saharasand, wenn die Sandkörner sich wie in der Zeichnung stapeln (stelle dir bitte die dritte Raumrichtung vor)? b) Schätze damit das Gewicht der Sahara ab. Ihre Fläche ist 9.4 × 106 km2 . Nimm eine plausible Tiefe des Sandes an. c) Was ist das Gewicht der Menge an Sandkörnern, die die gleiche Oberfläche haben wie der große Würfel? Lösungshinweise: a) Wenn der Sand wie vorgegeben gestapelt wird, kann man mit folgender Formel die Masse eines Kubikmeters berechnen: 4 3 MSand = ρNSand · πrSand kor n 3 Dabei ist ρ die SiO2 -Dichte (aus Text) und NSand die Zahl der Sandkörner im Kubikmeter (1012 , da bei einem Durchmesser von 100µm eben 100003 Sandkörner in den Kubikmeter passen. Es ergibt sich dann: MSand ≈ 1360 kg b) Wir haben eine Sandtiefe von etwa 100 m angenommen. VSahar a ≈ 1015 m3 MSahar a = 1.36 × 1018 kg c) Mit der Oberfläche des großen Würfels OW uer f el = 6m2 und der Oberfläche des Sandkorns 2 OKor n = 4πrSandkor n kann man die Masse berechnen über: MSand−2 = OWuer f el OKor n 3 · 43 πrSand ·ρ kor n = 0.26kg 4 Aufgabe 6 Kreuzungen und Kreuzprodukt Ein Auto transportiert die elektrische Ladung q. Es fährt zunächst mit konstanter Geschwindigkeit v 1 auf einer Straße parallel zur x-Achse. Es kommt an eine Ampel. Da sie rot ist, bremst das Auto nach der Funktion v 2 = v 1 − a1 t ab. Anschließend biegt es in eine Straße parallel zur y-Achse ein, dort fährt es wieder mit derGeschwindigkeit v 1 weiter. Wie groß ist die Kraft, die A ~ durch ein fiktives Magnetfeld B = B auf Auto und Ladung ausgeübt wird? C ~ ). Hinweis: Die Kraft wird beschrieben durch die Lorentzkraft F = q(~ v ×B Lösungshinweise: Parallel zur x-Achse, konstante v1 0 ~ v~ = 0 F = qv 1 −C B 0 Bremsen vor der roten Ampel: 0 v 1 − a1 t ~ 0 v~ = F = q(v 1 − a1 t) −C B 0 Parallel zur y-Achse, konstante Geschwindigkeit: 0 C ~ v~ = v 1 F = qv 1 0 −A 0 Aufgabe 7 Physiker messen und schätzen Für viele Probleme sind natürlich genaue Messwerte erforderlich. Manchmal reicht aber auch nur eine grobe Abschätzung. Schätze die Werte für die nachfolgenden Größen ab. Gib die Größen in den jeweiligen Basiseinheiten (kg, m, s, Hz) an. Lösungshinweise: Wir können die Werte für die Größen selbst zum Glück sehr genau abschätzen, daher haben wir keine Quellen für die einzelnen Zahlen angegeben. 5 Masse Länge Sonne Du Wal Mondradius Atom Erde-Sonne Proton Proton Übungsgruppenleiter Atomkern Erde Galaxie Bakterie Bakterie Zeit Sekunden im Jahr Alter des Universums Alter des Sitznachbarn Halbwertszeit Neutron Lebensdauer Stubenfliege Masse Beispiel Sonne 1.988 × 1030 kg Wal (Blau)Wal ca. 2 × 105 kg Atom 10−27 kg bis 10−25 kg Proton 1.673 × 10−27 kg Übungsgruppenleiter Erde 5.97 × 1024 kg Bakterie ca. 10−16 kg Frequenz sichtbares Licht WLAN Radio Schall Erdbebenwellen Länge Beispiel Du Mondradius 1.23 × 106 m Erde-Sonne 1.5 × 101 1 m Proton 8.768 × 10−16 m Atomkern ca. 10−15 m bis 10−14 m Galaxie ca. 1021 m Bakterie ca. 10−6 m Masse Länge Sekunden im Jahr 3.1536 × 107 s (ca. π · 107 ) Alter des Universums 4.3 × 1017 s Alter des Sitznachbarn 6 × 108 s Halbwertszeit Neutron 8.81 × 102 s Lebensdauer Stubenfliege 1.4 × 106 Zeit Frequenz sichtbares Licht 3.8 − 8 × 1014 Hz WLAN 2.4/5 × 109 Hz Radio UKW: 108 Hz Schall 10 Hzbis 105 Hz Erdbebenwellen 0,1 Hz bis 30 Hz Aufgabe 8 Der Einheitenzoo In der Physik gibt es einen ganzen Einheitenzoo, mit dem du dich bekannt machen musst. Dort gibt es viele illustre Tierchen wie die Seekuhnde, den molch, den Newton (eine weitere Molchart), den Långstrøm, den Kelfin, das Drometer, die Hertzmuschel, den Jougular, den Amperetiger, das Kuhlomb, den Kilogramt, den Wattwurm und den Volf. Leider ist der Zoo momentan wegen Teslaus-Befall in einem der Gehege geschlossen. Ordne die Tiere dem am besten zu ihnen passenden Gehege zu – keine Angst, sie sind alle auf einer strengen Planckton-Diät und fressen sich nicht gegenseitig auf. 6 Lösungshinweise: Manche Einheiten tauchen mehrmals auf, sie passen in mehrere ”Gehege”. Elektrik: Volf (Volt), Amperetiger (Ampere), Kuhlomb (Coulomb), Teslaus (Tesla), Jougular (Joule), Wattwurm (Watt) Mechanik: Newton, Hertzmuschel (Hertz), Jougular (Joule), Wattwurm (Watt), Kilogramt (Kilogramm) Fundamental: Långstrøm (Ångstrøm), Drometer (Meter), Jougular (Joule), Wattwurm (Watt), Kilogramt (Kilogramm), Kelfin (Kelvin), Seekuhnde (Sekunde). Darf nicht im Zoo sein: Molch (Mol). Hausaufgabe 1 Gold, Gold, Gold, Gold. Gold, Gold, Gold, Gold. Ein windiger Flohmarkthändler will dir einen Bilderrahmen mit echtem Goldüberzug für nur 500 Euro verkaufen. Der Rahmen ist rechteckig 2 m × 3 m groß, 2 cm dick und hat eine Rahmenbreite von 10 cm wobei nur die Rückseite nicht vergoldet ist. Schätze mit Hilfe des aktuellen Goldpreises ab, ob es sich dabei um ein gutes Geschäft handelt. Hinweis: Die Dichte von Gold und die Dicke von Blattgold kannst du im Internet nachschlagen Lösungshinweise: Beschichtete Fläche: A = [ab − (a − 2c)(b − 2c)] + 2ad + 2bd + 2(a − 2c)d + 2(b − 2c)d = 1.34m2 Goldvolumen (Dicke: 1µm): Gold-Masse (Dichte: 19.3g/cm3 ): V = 1.34 × 10−7 m3 m = 2.6g Gold-Preis pro Feinunze (31g) Rahmenpreis ca. 1200 € 101 € Das ist nicht wirklich ein gutes Geschäft... 7 Hausaufgabe 2 Opa Hinrichsens Getreidesilo Du hast wild auf Opa Hinrichsens Feld gecampt. Ein schwerer Fehler. Jetzt, am Morgen, kommt er wutschnaubend mit der Heugabel zum Angriff gesenkt auf dein Zelt zugestürmt. Zu deinem Glück fällt dir rechtzeitig ein, dass Hinrichsen gerade ein neues Silo bauen will. Um die Integrität deines edlen Hinterteils zu retten, bietest du ihm an, die günstigste Größe für sein Silo auszurechnen. Da Opa Hinrichsen selbst nicht gut rechnen kann kommt er ins Grübeln und entschließt sich, seinen Ansturm abzubrechen und auf dein Angebot einzugehen. Aus fertigungstechnischen Gründen kann die Silofirma “Stinkaum” nur zylinderförmige Silos herstellen, deren Preis sich nach der Oberfläche bemisst. Berechne das optimale Verhältnis von Durchmesser zu Höhe um das günstigste Silo für den Bauer zu finden. Hinweis: Ableiten um das Minimum zu finden. Lösungshinweise: Volumen Fläche Fläche abhängig von V V = πr 2 h A = 2πrh + 2πr 2 A = 2V + 2πr 2 r Für Minimum: dA dr =0= r3 = r= −2V r2 + 4πr 2V 4π V 2πr 2 = h 2 Hausaufgabe 3 Vom Experiment zur Theorie und zurück Physiker versuchen Phänomene und Zusammenhänge durch einfache Grundannahmen zu erklären. Dabei wird oft mit Theorien und Beschreibungen versucht, ein möglichst wirklichkeitsnahes Bild der Welt zu erstellen. In der Vergangenheit gab es dabei oft verschiedene Wege. Zumeist wurden zunächst Beobachtungen gemacht, die dann durch Theorien erklärt wurden. Es gab aber auch Fälle, bei denen mutige Physiker zunächst Theorien aufgestellt haben, die erst anschließend von Experiment bestätigt (oder auch widerlegt) wurden. Finde je zwei geschichtliche Beispiele für beide Vorgehensweisen und beschreibe sie kurz. 8 Lösungshinweise: Lösungsbeispiele für Experiment → Theorie Tycho Brahe hat für die Zeit sehr genau Beobachtungen der Planetenbahnen ermittelt (quasi ein Experiment). Johannes Kepler konnte daraus ableiten, dass die Planeten in elliptischen Bahnen um die Sonne kreisen. Walther Bothe und Herbert Becker entdeckten in einem Experiment beim Beschuss von Beryllium mit Alphateilchen um 1930 eine für sie unbekannte Strahlung. Andere Experimente zeigten ähnliche Ergebnisse. Erklärt wurden die Ergebnis durch James Chadwick, der die Strahlung als Neutronen identifizierte. Lösungsbeispiele für Theorie → Experiment Ein herausragendes Beispiel ist die Relativitätstheorie von Albert Einstein. So beschreibt beispielsweise die allgemeine Relativitätstheorie eine Ablenkung von Licht in durch Gravitation. Arthur Stanley Eddington und Frank Dyson beobachteten eine solche Ablenkung 1919 während einer totalen Sonnenfinsternis, und leisteten so einen wichtigen Beitrag der allgemeinen Relativitätstheorie. Das Higgs-Boson ist ein von der Theorie des Standardmodells vorhergesagtes Teilchen (benannt nach Peter Higgs). Bisher konnte es noch nicht durch ein Experiment nachgewiesen, die Experimente am Large Hadron Collider in Cern haben jedoch unter anderem die Entdeckung dieses Teilchens zum Ziel. Für beide Fälle sind natürlich viele weitere Beispiele denkbar! Hausaufgabe 4 Nuklearer Unfall in Fukushima Am 11.03.2011 haben ein schweres Erdbeben und ein Tsunami zu einem nuklearen Unfall in den Kernkraftwerken im japanischen Fukushima geführt. Neben anderen radioaktiven Stoffen wurde bei diesem Unfall auch das Gas 137 Cs freigesetzt. Die Menge des freigesetzten Gases waren etwa 2 × 1025 Atome. In einem ungünstigen Fall könnte man annehmen, dass Winde und Strömungen diese Atome gleichmäßig in der Erdatmosphäre verteilen. Versuche abzuschätzen, wie viele dieser Atome unter dieser Bedingung in 1 m3 Atmosphäre enthalten sind. Bonus: Wie viele dieser Atome atmet man dann möglicherweise pro Tag ein? Hinweis: In einem vereinfachten Modell kannst du annehmen, dass die Erdatmosphäre aus einem idealen Gas besteht, und bis zu einer Höhe von 10 km die gleiche Dichte hat. Die Erde hat einen Radius von ca. 6400 km. In 22.4 L eines idealen Gases sind 6.022 × 1023 Atome enthalten. Lösungshinweise: Atmosphären-Volumen berechnen (Volumen der 10 km Kugelschale): VAt ≈ 5 × 1018 m3 9 Mit der Zahl der freigesetzten Cäsium-Atome NCs ergibt sich die Zahl der Atome pro Kubikmeter: 1 NCs = 4 × 106 3 VAt m Ein Erwachsener atmet rund 8 L pro Minute. Pro Tag wird folgende Zahl Cäsium-Atome eingeatmet: 8 L · 24 h NCs = 4.6 × 1010 min VAt Anmerkung: Wenn man Atome zählt, kommen scheinbar sehr große Zahlen zustande. In Relation zur Gesamtzahl der Atome ist diese Menge jedoch eher gering. 10
