Vektor, Linearkombination, Skalarprodukt

Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Die Hauptdarsteller
Vektor, Linearkombination,
Skalarprodukt
M.Gruber
13. Oktober 2006
Literatur
[1] G.Strang, Introduction to Linear Algebra, 3rd Edition, Wellesley
Cambridge Press, 2003.
1. Die natürliche Zahlen: N = {0, 1, 2, . . .}
Die ganzen Zahlen: Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Die rationalen Zahlen: Q = { pq | p, q ∈ Z, q 6= 0}
Die reellen Zahlen: R
Der (Vektor-)Raum der reellen n-komponentigen Vektoren
  

 x1 
n
.


. x1, . . . , xn ∈ R (n ∈ N, n 6= 0) .
R =


xn 2. n-komponentige Vektoren, deren Komponenten alle 0
sind, heißen ‘Nullvektoren”; für Nullvektoren schreibt man
einfach 0, wenn die Anzahl ihrer Komponenten aus dem
Zusammenhang klar ist.
– Typeset by FoilTEX –
– Typeset by FoilTEX –
1
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Vektoraddition, Skalarmultiplikation


u1
u + v =  ..  + 
un

1. Für a1, . . . , ak ∈ R, v1, . . . , vk ∈ Rn heißt
X


v1
u 1 + v1
..  = 
..
.
vn
u n + vn
eine Linearkombination (der v1, . . . , vn).
2. Für a ∈ R und u ∈ R ist die Skalarmultiplikation
erklärt durch


a i vi
1≤i≤k
n

WS 2006/2007, IFB1
Linearkombination, span
1. Für u, v ∈ Rn ist die Vektoraddition erklärt durch

Lineare Algebra
2. Für v1, . . . , vk ∈ Rn heißt die Menge aller Linearkombinationen (der v1, . . . , vk ),


span(v1, . . . , vn) =
aivi a1, . . . , ak ∈ R ,


1≤i≤k

 X

u1
au1
.
..  .



.
au = a
=
un
aun
der (in Rn) von den v1, . . . , vk aufgespannte Raum.
3. Wir vereinbaren: −v = (−1)v und u−v = u+(−v).
4. Es gilt 0u = 0 und 1u = u.
– Typeset by FoilTEX –
2
3. Für v 6= 0 stellt span(v) eine Gerade dar, für v, w 6= 0
stellt span(v, w) eine Gerade oder Ebene dar.
– Typeset by FoilTEX –
3
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Skalarprodukt (inneres Produkt)
Beispiel.
31
3 2
0
1
span @4 1 5 , 4 1 5A
1
0
02
=
=
=
Es ist
aber
8
<
9
3˛
3
2
0 ˛˛
1
=
a1 4 1 5 + a2 4 1 5˛˛ a1 , a2 ∈ R
:
;
1 ˛
0
9
82
3 2
3˛
˛
0
a1
=
<
˛
4 a1 5 + 4 a2 5˛ a1 , a2 ∈ R
˛
;
:
0
a2 ˛
9
82
3˛
˛
a1
=
<
˛
4 a1 + a2 5˛ a1 , a2 ∈ R .
˛
;
:
˛
a2
2
31
3 2
3
02
0
1
1
4 −1 5 ∈ span @4 1 5 , 4 1 5A
1
0
−2
2
2
3
02
3 2
31
1
1
0
4 1 5∈
/ span @4 1 5 , 4 1 5A .
1
0
1
1. Für v, w ∈ Rn ist das Skalarprodukt (inneres Produkt) erklärt durch
X
v·w =
vi w i .
1≤i≤n

 

4
−1
Beispiel.  2  ·  2  = 4·(−1)+2·2+0·1 = 0.
0
1


p1
Beispiel. p =  p2 seien Preise pro Mengeneinheit
p3

q1
dreier Produkte, q =  q2  die Produktmengen (qi > 0:
q3 
 

q1
p1
Verkauf, qi < 0: Einkauf).  p2  ·  q2  = 0 bep3
q3
deutet: Einnahmen=Ausgaben.
2. Für u, v, x, y ∈ Rn gilt
(u + v) · (x + y) = u · x + u · y + v · x + v · y .
– Typeset by FoilTEX –
4
– Typeset by FoilTEX –
5