Lemma 3.7. Sei M ⊆ N mit g.g.T.(M) = 1. Dann lassen sich alle, bis

Lemma 3.7. Sei M ⊆ N mit g.g.T.(M ) = 1. Dann lassen sich alle, bis auf
endlich viele natürliche Zahlen als Linearkombination von Elementen in M und
mit Koeffizienten in N0 darstellen.
Proof. Wir überlegen uns zunächst, dass es zu M eine endliche Teilmenge F gibt
mit g.g.T(F ) = 1. In der Tat, setzen wir Fn := M ∩ {1, 2, ..., n} für jedes n ≥
min{m ∈ M } und betrachten die Abbildung n 7→ g.g.T.(Fn ), so ist letztere nicht
wachsend und fällt nur endlich oft. Deshalb gilt
k0 := max k ≥ 2 : g.g.T.(Fk ) < g.g.T.(Fk−1 ) < ∞.
Offenbar, ist Fk0 ⊆ M mit #Fk0 ≤ k0 < ∞ und g.g.T.(Fk ) ≤ 1.
Es genügt daher zu zeigen, dass es zu einer solchen endlichen Teilmenge F ⊆ M
mit g.g.T(F ) = 1 ein mF gibt, sodass jedes m ≥ mF als endliche Linearkombination von Elementen in F und mit Koeffizienten in N0 darstellbar ist. O.b.d.A.
nehmen wir an, F := {a1 , ..., an } sei eine solche Teilmenge mit n ≥ 2 und a1 , ..., an
verschiedene Elemente in M (für n = 1 folgt Q
unmittelbar, dass F = {1} und die
n
Behauptung wird trivial). Wir
setzen
m
:=
F
i=1 ai · (n − 1) =: ã · (n − 1). Sei
Pn m
nämlich m ≥ mF und m = i=1 ci ai eine Linearkombination mit Koeffizienten
m
cm
1 , ..., cn ∈ Z, dann gilt auch
cm
cm
cm
m
m
ã
ã
ã
n−1 an−1
2 a2
1 a1
c an−1
an−1
m = cm
1 − b ã c a1 a1 + c2 − b ã c a2 a2 ... + cn−1 − b
ã
+ cm
n +
ã
an
n−1
X
b
cm
i ai
ã c an .
i=1
Offenbar, sind die ersten (n − 1) Koeffizienten immer nicht-negative ganze Zahlen.
Das dies auch für den letzten Koeffizienten für alle m ≥ mF stimmt, überprüfen
wir leicht:
n−1
n−1
X cm a
X cm a
m
i
i
ã
ã
i
i
b
c
≥
c
+
cm
+
n
n
an
ã
an
ã − (n − 1)
i=1
i=1
=
1
an
m − (n − 1)ã ≥ 0.