Klausur Mathematik für Informatiker

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Klausur Mathematik für Informatiker
Semester:
Bearbeitungszeit:
AI5
SS 06,
21.7.2006
90 Minuten Hilfsmittel: A ohne prog. C
Punkteangaben ohne Gewähr
Aufgabe 1 (7 Punkte)
∈P
N P -vollständig
∈ NP
entscheidbar
halbentscheidbar
Sprache
Entscheidungsvariante von TSP
rekursiv
aufzählbar
unentscheidbar
In folgender Tabelle sollen Entscheidungsprobleme (Sprachen) bezüglich ihrer Eigenschaften
charakterisiert werden. Kreuzen Sie alle Felder an, die zutreffen. Bei Eigenschaften, die nach
dem aktuellen Stand der Wissenschaft unbekannt sind, ist das Feld mit einem Fragezeichen zu
markieren.
Entscheidungsvariante von HC
Reguläre Sprachen
wahre Formeln der Prädikatenlogik 1.
Stufe
syntaktisch korrekte von C-Programme
zusammengesetzte natürliche Zahlen
invertierbare Matrizen
Aufgabe 2 (24 Punkte, (12,3,2,3,4))
Mit der Methode der kleinsten Quadrate sollen die Koeffizienten c, d der Funktion
f (x) = c + dex/2
anhand von den gegebenen Punkten (1, 2), (3, 6), (6, 8), (9, 8.2) bestimmt werden.
a) Stellen Sie die Normalgleichungen auf.
b) Berechnen Sie die Koeffizienten c, d.
c) Zeichnen Sie f im Intervall (0, 9) zusammen mit den Punkten in ein Diagramm.
d) Um eine noch bessere Approximation der Kurve an die Punkte zu erreichen, soll
f (x) = c + deλx
verwendet werden. Welches Problem tritt auf?
e) Beschreiben Sie ein Vorgehen, das unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate
die drei Koeffizienten c, d, λ so bestimmt, dass die Summe der Fehlerquadrate minimiert
wird.
Aufgabe 3 (10 Punkte (4,6))
Gegeben ist folgendes Mathematica-Programm, das den linearen Kongruenzgenerator
xn = (axn−1 + b)
mod m
mit a = 7141, b = 54773 und m = 259200 implementiert:
x[0] = Random[Integer, {0,259199}]
x[n_] := Mod[7141 x[n-1] + 54773, 259200]
a) Welche Probleme treten bei Anwendung dieses rekursiven Programms auf?
b) Ändern Sie nun das Programm so in ein zweizeiliges (höchstens dreizeiliges) nichtrekursives Programm mit dem Namen LinKon[] ab, dass dieses Problem nicht mehr auftritt.
Verwenden Sie eine globale Variable mit dem Namen x zum Zwischenspeichern des aktuellen Wertes.
Aufgabe 4 (8 Punkte, (4,4))
a) Bestimmen Sie die Konditionszahl der Matrix A =
1 2
2 5
.
=
b) Für dieses A und eine feste rechte Seite b sei der relative Fehler der rechten Seite ||∆b||
||b||
0.01. Was wissen Sie dann über den relativen Fehler der Lösung x des Gleichungssystems
Ax = b?
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