Lemma 3.7. Sei M ⊆ N mit g.g.T.(M) = 1. Dann lassen sich alle, bis

Lemma 3.7. Sei M ⊆ N mit g.g.T.(M ) = 1. Dann lassen sich alle, bis auf
endlich viele natürliche Zahlen als Linearkombination von Elementen in M und
mit Koeffizienten in N0 darstellen.
Proof. Wir überlegen uns zunächst, dass es zu M eine endliche Teilmenge F gibt
mit g.g.T(F ) = 1. In der Tat, setzen wir Fn := M ∩ {1, 2, ..., n} für jedes n ≥
min{m ∈ M } und betrachten die Abbildung n 7→ g.g.T.(Fn ), so ist letztere nicht
wachsend und fällt nur endlich oft. Da Fn ↑ M für n → ∞, ist
©
ª
k0 := max k ≥ 2 : g.g.T.(Fk ) < g.g.T.(Fk−1 ) < ∞.
Offenbar, ist Fk0 ⊆ M mit #Fk0 ≤ k0 < ∞ und g.g.T.(Fk ) ≤ 1.
Da genügt daher zu zeigen, dass es zu einer solchen endlichen Teilmenge F ⊆ M
mit g.g.T(F ) = 1 ein mF gibt, sodass jedes m ≥ mF als endliche Linearkombination von Elementen in F und mit Koeffizienten in N0 darstellbar ist. O.b.d.A.
nehmen wir an, F := {a1 , ..., an } sei eine solche Teilmenge mit n ≥ 2 und a1 , ..., an
verschiedene Elemente in M (für n = 1 folgtQunmittelbar, dass F = {1} und die
n
Behauptung wird trivial). Wir
mF := i=1 ai + (n − 1) =: ã + (n − 1). Sei
Psetzen
n
m
nämlich m ≥ mF und m = i=1 ci ai eine Linearkombination mit Koeffizienten
m
cm
1 , ..., cn ∈ Z, dann gilt auch
¡
¢
¡ m
¢
¡ m
¢
cm
cm
cm
ã
ã
ã
n−1 an−1
1 a1
2 a2
m = cm
c an−1
an−1
1 − b ã c a1 a1 + c2 − b ã c a2 a2 ... + cn−1 − b
ã
¡
+ cm
n +
ã
an
n
X
b
¢
cm
1 a1
ã c an .
i=1
Offenbar, sind die ersten (n − 1) Koeffizienten immer nicht-negative ganze Zahlen.
Das dies auch für den letzten Koeffizienten für alle m ≥ mF stimmt, überprüfen
wir leicht:
n−1
X cm a
X cm a
¡ n−1
¢
m
1
1
ã
ã
1
1
cm
+
b
c
≥
c
+
n
n
an
ã
an
ã − (n − 1)
i=1
i=1
≥
1
an
¡
¢
m − (n − 1)ã ≥ 0.
¤