Lineare Algebra I - Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
- 7.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Wegen des Feiertags am Montag 03.10.:
Lösungen zum 3. Übungszettel werden
in der großen Übung (Do 29.09.) besprochen!
Klausurtermine: 14.12.16 und 10.02.17
Probeklausur: vor. am Sa. 5.11.
Freitags-Übungen finden trotzdem statt.
Übungsblätter zu zweit abgeben!!!
dass
✓
z
x
y
z = |z|
= |z|
+i
|z|
|z|
|z|
◆
= |z| (cos(↵) + i sin(↵)) .
den Additionstheoremen
der trigonometrischen
Funktionen
ManAus
nennt
↵ auch das Argument
von z und schreibt
↵ = arg(z). Das Argument
bezeichnet den Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor z in der Gauß’schen
Zahlenebene.cos(↵ + ) = cos(↵) cos( ) sin(↵) sin( )
(2) In der Analysis wird ferner die Eulersche Formel bewiesen
sin(↵ + ) = sin(↵)
i↵ cos( ) + cos(↵) sin( )
e
= cos(↵) + i sin(↵) ,
Man kann also jede komplexe Zahl z 6= 0 eindeutig schreiben als
erhält man
z = |z|ei arg(z) .
(3) Aus den Additionstheoremen der trigonometrischen Funktionen folgt
ei↵ ei
= (cos(↵) + i sin(↵)) (cos( ) + i sin( ))
= (cos(↵) cos( ) sin(↵) sin( )) + i (cos(↵) sin( ) + sin(↵) cos( ))
= cos(↵ + ) + i sin(↵ + ) = ei(↵+ ) .
3.3. Die komplexen Zahlen
Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene
veranschaulichen (siehe Abbildung 4).
4
Vektorräume
4
äume
4.1 Vektorr
Definition
4.Vektorräume
Definition 4.1. Sei K ein Köper. Ein Vektorraum über K (oder auch K-Vektorraum) ist
4.1
Definition
eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Verknüpfung
Definition 4.1. Sei K ein Köper. Ein Vektorraum über K (oder auch K-Vektorraum) ist
· : K mit
⇥ V einer
!Verkn
V üpfung
eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen
(k, v) 7 ! k · v
·:K ⇥V
! V
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind:
(k, v) 7 ! k · v
(V1) k · (l · v) = (k l) · v für alle k, l 2 K, v 2 V .
so
dass
die1-Element
folgenden aus
Axiome
erfüllt trivial
sind: auf V , d.h. 1 · v = v für alle v 2 V .
(V2)
Das
K operiert
(V1)
· (lalle
· v) k,
= l(k2l)K,
· vv,für
alle
l 2 K, v 2 V .
(V3) kFür
w2
V k,
gilt
(V2) Das 1-Element aus K operiert trivial auf V , d.h. 1 · v = v für alle v 2 V .
(k +v,l)w· 2
v=
·v + l·v,
k · (v + w) = k · v + k · w .
(V3) Für alle k, l 2 K,
V kgilt
+ wird auch die Vektorraum-Addition
skalare
(k + l) · v = k · v + l · genannt,
v,
k und
· (v +· die
w) =
k · v +Multiplikation.
k ·w.
(Achtung: die Symbole ‘+’ und ‘·’ werden hier jeweils für zwei unterschiedliche Operationen
+
wird auchzum
die einen
Vektorraum-Addition
und · im
dieKskalare
verwendet:
für die Addition und genannt,
Multiplikation
örper KMultiplikation.
und zum anderen für
(Achtung:
die Symbole ‘+’
und
werdenMultiplikation
hier jeweils fürauf
zwei
Operationen
die Vektorraum-Addition
und
die‘·’skalare
V . unterschiedliche
Welche Operationen
gemeint
verwendet:
zumsich
einen
für dieauf
Addition
Multiplikation
im Körper
K und zum anderen für
sind erschließt
daraus,
welche und
Objekte
sie angewendet
werden.)
die Vektorraum-Addition und die skalare Multiplikation auf V . Welche Operationen gemeint
Beispiel
4.2. sich daraus, auf welche Objekte sie angewendet werden.)
sind
erschließt
(1) Sei K ein Körper, dann ist die Menge K n aller n-Tupel mit der folgenden Addition
Beispiel
und 4.2.
skalaren Multiplikation ein Vektorraum:
(1) Sei K ein Körper, dann ist die Menge K n aller n-Tupel mit der folgenden Addition
(x1 , . . . , xein
(y1 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
und skalaren Multiplikation
Vektorraum:
n) +
k · (x1 , . . . , xn ) = (k x1 , . . . , k xn ) ,
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
wobei hier x1 , . . . , xkn ,·y(x
=K.
(k x1 , . . . , k xn ) ,
1 ,1.,....,.y,nx, nk) 2
4.1.Vektorräume
ist
Vektorraum.
(4)allgemeiner
Dieein
komplexen
C
ein Vektorraum
R.ein:=Teilk
(5) Sei
K ein Zahlen
Körper,(k,
V fsind
ein
und über
L⇢
örper,
so ist
) 7 K-Vektorraum
! k·f,
(k
· fK
)(x)
k f (x)
,
ist
Vektorraum.
(4)auch
Die
komplexen
Zahlen
einVVektorraum
über R. und L ⇢ K ein Teilk
Seiein
allgemeiner
K einCKsind
örper,
ein K-Vektorraum
V(5)
ein
L-Vektorraum.
(4)
Die
komplexen
Zahlen
sind ein
über R. und L ⇢ K ein Teilkörpe
(5) ist
Sei
allgemeiner
K ein C
Körper,
V Vektorraum
ein K-Vektorraum
Vektorraum.
V ein
auch
ein L-Vektorraum.
Bemerkung
4.3.
In einem
Veingelten
dieüber
folgenden
(5)
Sei
allgemeiner
KK-Vektorraum
ein C
Körper,
V Vektorraum
K-Vektorraum
L ⇢ K ein Teilkörper,
V auch
ein
L-Vektorraum.
(4) Die
komplexen
Zahlen
sind ein
R. undRegeln:
(1)Bemerkung
0(5)
0 , für
alle
vIn
V Körper,
4.3.
einem
K-Vektorraum
V geltenund
dieLfolgenden
Regeln:
K ·v
V =auch
ein
L-Vektorraum.
Sei
allgemeiner
K2 ein
V ein K-Vektorraum
⇢ K ein Teilk
örper, so
4.3.
In
K-Vektorraum
V gelten die folgenden Regeln:
(2)Bemerkung
k(1)
·0V
=
,· v
für=
alle
2 einem
K
0K0auch
0L-Vektorraum.
, kfür
alle v 2
V
ein
4.3.
In alle
einem
K-Vektorraum
V 0gelten
die
folgenden Regeln:
(1)
·0v=v=2
0
,
f
ür
v
2
V
(3)Bemerkung
f(2)
ür k 0k2K·K,
V
hat
man
k
·
v
=
0
)
(k
=
_
v
=
0)
0 , für
alle
k K-Vektorraum
2K
Bemerkung
4.3.
In
einem
V gelten die folgenden Regeln:
(1)
0
·
v
=
0
,
f
ür
alle
v
2
V
(4) ((2)k)k·Kv· 0== 0(k, ·für
v) alle k 2 K
(3)
für
k==
200,K,
valle
2 Vkv2
hat
man k · v = 0 ) (k = 0 _ v = 0)
(1)
0
·
v
,
f
ür
alle
2
V
(2)
k
·
0
f
ür
K
K
(3) (1)
für0k 2
K,
v 2+V0 hat
man
k··vv+=00 ·)
(k =der
0_
v = 0)
Beweis.
·
v
=
(0
)
·
v
=
0
v.
Aus
Gruppeneigenschaft
von (V, +)
(4)
(
k)
·
v
=
(k
·
v)
K
K
K2 K
K · v = 0 K) (k = 0 _ v = 0)
(2)
k
·
0
=
0
,
f
ür
alle
k
(3)
f
ür
k
2
K,
v
2
V
hat
man
k
(4)· v(= k)
· v = (k · v)
folgt 0(4)
0.
K
(3) f(ürk)
k2
v2
V· v)
hat man k · v = 0 ) (k = 0 _ v = 0)
· vK,
=
(k
Beweis.
(1)
0
·
v
=
+k 0· K
)+· v0)==0kK··0v ++k0·K0,· v.
Aus
der folgt
Gruppeneigenscha
K fest k ·(0
K
(2) Analog
stellt
man
0
=
(0
und
daraus
k · 0 = 0.
Beweis.
v=
(0K + 0K ) · v = 0K · v + 0K · v. Aus der Gruppeneigenschaft
vo
(4) ( k)(1)
·v 0
=K · (k
· v)
1
1
1
folgt
0
·
v
=
0.
Beweis.
0K ·kv6==0.(0Dann
)·v =
0K(k· v +
v.kAus(kder
von
(3) Sei
k · 0v K=· (1)
0 aber
folgt
v=
k)0·Kv ·=
· v)Gruppeneigenschaft
= k · 0 = 0.
K + 0K
folgt
K v = 0.
Beweis.
(1)
0v0.
· v(kman
=+(0( Kfest
+ 0·Kk
) ··=v0(k
=
++
00)
· vv.
der
Gruppeneigenschaft
von
(V,
K=
K
(2)
Analog
stellt
=0kKk)
·· v(0
==Aus
k 0.
· 0Es
+folgt
k · 0,
und
daraus
folgt
k
folgt
0
·
v
=
(4) (k
·
v)
+
(
k)
·
k))
v
·
v
=
0
·
(
k)
·
v
=
(k
·
v).
K
(2)
Analog
stellt
man
fest
k
·
0
=
k
·
(0
+
0)
=
k
·
0
+
k
·
0,
und
daraus
folgt
k
·
0
=
1
1
1
folgt
0
·
v
=
0.
Kk · v
(3)
Sei
=00aber
aberkfest
k6=6=k0.0.
v==
vk=
(k
·=v)kfolgt
=1 ·k0k =
0==0
(2)
Analog
stellt
man
· Dann
0 Dann
= k ·folgt
(0folgt
+ v0)=
k (k
·10k)+·k)
kv ·=0,
und
· 0· 0.
1k daraus
(3)
Sei
k
·
v
=
(k
(k
·
v)
(2) Analog
man
· Dann
0(= k))
k ·folgt
(0
+=
=(k
k ·k)
10 + k · 0, und
1 daraus folgt
1 k · 0 = 0.
(3)
Sei
kv)· v+stellt
=
0k)
aber
kfest
6=(kk0.+
v0)=
k)
·
v
=
k
(k
·
v)
=
k
· 0( =k)0.· v =
(4)
(k
·
(
·
v
=
·
v
(k
·
v
=
0
·
v
=
0.
Es
folgt
1· v = 0 · v =
1 0. Es folgt1 ( k) · v =
(4)
(k
·
v)
+
(
k)
·
v
=
(k
+
(
k))
·
v
=
(k
k)
(k
(3)
Sei
k
·
v
=
0
aber
k
=
6
0.
Dann
folgt
v
=
(k
k)
·
v
=
k
(k
·
v)
=
k
·
0
=
0.
(k · v) + ( k) · v =
(k + ( k)) · v = (k k) · v = 0 · v = 0. Es folgt ( k) · v = (k · v
4.2 (4)
Untervektorr
äume
(4) (k · v) + ( k) · v = (k + ( k)) · v = (k k) · v = 0 · v = 0. Es folgt ( k) · v = (k · v).
Definition 4.4. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge W ✓ V heißt Untervektorraum
4.2
Untervektorräume
äume
von V
falls gilt
4.2
Untervektorr
Untervektorr
äume
(1)4.2
W
=
6
;
4.2 Untervektorr
äume
Definition
4.4.
Sei
V
einK-Vektorraum.
K-Vektorraum.
Eine
Teilmenge
WVunter
✓heißt
V heißt
Unterv
4.4.
Sei
V2 W
ein
Eine
Teilmenge
W ✓
Untervekt
(2)Definition
v,
w
2
W
)
v
+
w
(Abgeschlossenheit
der
Addition)
Definition
4.4. Sei
SeiVV ein
einK-Vektorraum.
K-Vektorraum.Eine
EineTeilmenge
Teilmenge
W✓ ✓
Vheißt
heißt
Untervektor
Definition
4.4.
W
V
Untervektorrau
von
V
falls
gilt
VW,falls
falls
gilt
(3)von
v 2V
k 2gilt
K ) k·v 2W
(Abgeschlossenheit unter der skalaren Multiplikation)
von
von
falls
(1)V W
W
6=gilt
;
=
6
;
(1)
W 6=
6=
; Sei W ✓ V ein Untervektorraum.
Bemerkung
4.5.
(1)
W
;
(2) v,
v,w
w2
W)
)vvv+++
2WW
(Abgeschlossenheit
unter
v,
w
22W
W
)
ww
2W
(Abgeschlossenheit
unter
der
Ad
(2)
w
2
(Abgeschlossenheit
unter
der
Add
(1) Dann
ist
WWmit)der
Einschr
änkung von + und · selber
Vektorraum, unter der Additio
(2) v,
w
2
v
+
w
2
W
(Abgeschlossenheit
(3)
v
2
W,
k
2
K
)
k
·
v
2
W
(Abgeschlossenheit
unter
der
skalaren
M
v
2
W,
k
2
K
)
k
·
v
2
W
(Abgeschlossenheit
unter
der
skalaren
Multip
(3)
v
2
W,
k
2
K
)
k
·
v
2
W
(Abgeschlossenheit
unter
der
skalaren
Multiplik
(2) und
+).
(3) (W,
v 2 +)
W, ist
k 2Untergruppe
K ) k · v 2von
W (V, (Abgeschlossenheit
unter der skalaren Multiplikatio
Bemerkung
4.5.
Sei
WW✓✓✓
VV
ein
Untervektorraum.
Bemerkung
4.5.Sei
SeiW
ein
Untervektorraum.
Bemerkung
4.5.
ein
Untervektorraum.
Beispiel
4.6.
Bemerkung
4.5.
Sei W
✓ VV ein
Untervektorraum.
4.1.
Vektorräume
(1) ist
Dann
ist
W
mit
der
Einschr
änkung
vonvon
und
· selber
Vektorraum,
Dann
istW
Wmit
mitder
der
Einschr
änkung
+ und
· selber
Vektorraum,
(1)
Dann
ist
Einschr
änkung
von
++und
· selber
Vektorraum,
(1) {0}
Untervektorraum
eines
jeden
Vektorraums.
folgt
· ··vvv==
0.(k
1 ( k) · v = 1 (k · v).
(4)(4)
(k · (v)
+
(·0vKk)
+ ( kk))
·0.
v=
(k folgt
k) · vv==0(k
· v 11=k)0.· Es
folgt
k)Sei
=
(k
· aber
v)
(3)
k
=
0
=
6
Dann
v
=
k
v) =
= kk 1 ·· 00 =
= 0.
0.
1 (k
(3)
Sei k · vstellt
= 0 man
aber fest
k 6=k0.· 0Dann
folgt
v=
= k(k· 0 +
k) k· v· 0,=und
k (k
·· v)
(2)
Analog
=
k
·
(0
+
0)
daraus
folgt
k
·
0
=
0.(k · v).
(4)
(k
·
v)
+
(
k)
·
v
=
(k
+
(
k))
·
v
=
(k
k)
·
v
=
0
·
v
=
0.
Es
folgt
(
k)
·
v
=
(4) (k · v) + ( k) · v = (k + ( k)) · v = (k k)1· v = 0 · v =1 0. Es folgt 1( k) · v = (k · v).
Beweis.
(0K k+6=0K0.) Dann
· v = folgt
0K · vv +
0K · k)
v. ·Aus
von (V, +)
(3) (1)
Sei k0K
· v· v
==
0 aber
= (k
v = kder(kGruppeneigenschaft
· v) = k · 0 = 0.
4.2.
Untervektorräume:
( k))
· v = (k k) · v = 0 · v = 0. Es folgt ( k) · v = (k · v).
folgt 0K(4)· v(k=· v)0.+ ( k) · v = (k +
4.2
Untervektorräume
(2) Analog stellt man fest k · 0 = k · (0 + 0) = k · 0 + k · 0, und daraus folgt k · 0 = 0.
4.2
Untervektorr
äume
äume
Definition
V ein
K-Vektorraum.
(3) Sei 4.2
k · v4.4.
=Untervektorr
0Sei
aber
k 6=
0. Dann
folgtEine
v =Teilmenge
(k 1 k) · vW=✓kV 1heißt
(k · v)Untervektorraum
= k 1 · 0 = 0.
4.2
Untervektorr
äume
von
gilt
4.4.
Sei
V (ein
K-Vektorraum.
V heißt
(4) V(kfalls
·Definition
v)
+
(
k)
·
v
=
(k
+
k))
· v = (k k) Eine
· v =Teilmenge
0 · v = 0. W
Es ✓
folgt
( k)Untervektorraum
· v = (k · v).
Definition 4.4. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge W ✓ V heißt Untervektorraum
(1) W von
6= ;V falls 4.4.
gilt
Definition
von
V falls gilt Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge W ✓ V heißt Untervektorraum
(1)
6= gilt
;v + w 2 W
(2) v, w
2 VWW
)
(Abgeschlossenheit unter der Addition)
von
falls
(1) W 6= ;
2; W
(Abgeschlossenheit
unter der Addition)
(3) v 2 (2)
W, W
kv,2w6=K
))
k·v+
2w
W 2 W(Abgeschlossenheit unter
der skalaren Multiplikation)
(1)
(2) v, w 2 W ) väume
+w 2W
(Abgeschlossenheit
unter
der Addition)
Abgeschlossenheit
unter
+Multiplikation)
4.2 Untervektorr
(3)
v
2
W,
k
2
K
)
k
·
v
2
W
(Abgeschlossenheit
unter
der
skalaren
(2)
w W,
2Sei
Wk W
)
W
(Abgeschlossenheit
unter derMultiplikation)
Addition)
Bemerkung
✓v +
V)wein
(3) v,
v4.5.
2
2K
k2 ·Untervektorraum.
v2W
(Abgeschlossenheit
unter der skalaren
.
(3)
v
2
W,
k
2
K
)
k
·
v
2
W
(Abgeschlossenheit
unter
der
skalaren
Multiplikation)
Abgeschlossenheit
unter
Definition
Sei4.5.
V ein
Eine
W ✓ V heißt Untervektorraum
Bemerkung
SeiK-Vektorraum.
W ✓
V ein von
Untervektorraum.
(1) Dann
ist4.4.
W mit
der
Einschr
änkung
+ undTeilmenge
· selber Vektorraum,
Bemerkung
4.5.
Sei der
W ✓ V einänkung
Untervektorraum.
(1)
Dann
W Sei
mit
von + und · selber Vektorraum,
von
falls
Bemerkung
4.5.
W ✓ Einschr
V ein
(2) Vund
(W,gilt
+) istist
Untergruppe
von
(V,Untervektorraum.
+).
(1) Dann
Dann ist
ist+)
W ist
mitUntergruppe
der Einschränkung
von
+ und · selber Vektorraum,
von (V,
(1)
W mit
der Einschränkung
von+).
+ und · selber Vektorraum,
(1) W (2)
6= ;und (W,
(2)
(W, +)ist
ist Untergruppevon
von
Beispiel (2)
4.6.und (W,
(V,(V,
+).+).
(2) v,Beispiel
w 2und
W 4.6.
) +)
v + wUntergruppe
2W
(Abgeschlossenheit unter der Addition)
(1) {0} ist Untervektorraum eines jeden Vektorraums.
(3)Wie
vBeispiel
2(1)
W,{0}
k 4.6.
24.6.
KUntervektorraum
) kann
k · v 2man
W Ceines
(Abgeschlossenheit
unter der
skalaren
Multiplikation)
Beispiel
ist
jeden
Vektorraums.
(2)
bereits
gesehen
als
R-Vektorraum
ansehen.
Dann
ist R ⇢
C ein
(1)
{0}
ist
Untervektorraum
eines
jeden
Vektorraums.
(1) {0}
Untervektorraum
einesman
jeden
(2)
Wieistbereits
gesehen kann
C Vektorraums.
als R-Vektorraum ansehen. Dann ist R ⇢ C ein
R-Untervektorraum.
Bemerkung
4.5.
Sei
W
✓
V
ein
Untervektorraum.
(2) Wie
Wie bereits
bereits gesehen
gesehenkann
kannman
manC C
als
R-Vektorraum
ansehen.
Dann
ist⇢ RC ⇢einC ein
(2)
als
R-Vektorraum
ansehen.
Dann
ist
R
R-Untervektorraum.
(3)
V ein
K-Vektorraum
und 0änkung
6= v 2 Vvon
. Dann
ist ·Kselber
· v := Vektorraum,
{k · v | k 2 K} ✓ V ein
(1)Sei
Dann
ist
W
mit
der
Einschr
+
und
R-Untervektorraum.
R-Untervektorraum.
(3) Sei V ein K-Vektorraum und 0 6= v 2 V . Dann ist K · v := {k · v | k 2 K} ✓ V ein
Untervektorraum.
(2) und
ist
Untergruppe
Sei+)
ein2K-Vektorraum
K-Vektorraumvon
und0(V,
0 +).
6=
v V2. VDann
. Dann
· v {k
:=· {k
(3)(W,
Sei
VV ein
und
6=
v2
ist ist
K ·K
v :=
v | k· v2| k
K}2 ✓
V ✓
einV ein
2K}
Untervektorraum.
(4) W := {(x, y) 2 R | ax + by
=
0}
ist
f
ür
alle
a,
b
2
R
ein
Untervektorraum
von
R
.
2
2
Untervektorraum.
Untervektorraum.
(4)
W
:=
{(x,
y)
2
R
|
ax
+
by
=
0}
ist
f
ür
alle
a,
b
2
R
ein
Untervektorraum
von
R
.
Beispiel
(5) Sei (4)
K4.6.
ein
K
örper
und
eine
nicht-leere
Menge.
Wir
hatten
bereits
gesehen,
dass
2X
2
2
2
W
{(x,
y)
2örper
0}0}
istnicht-leere
fürfür
allealle
a, bMenge.
Untervektorraum
vongesehen,
R
. R .dass
W :=
:=
{(x,
y)
2RR| ax
|und
ax++byXby=eine
=
ist
a,2bR2ein
RWir
ein
Untervektorraum
von
(5)
Sei
K
ein
K
hatten
bereits
:=(5)Abb(X,
K)
ein
K-Vektorraum
ist.
Sei
nun YMenge.
✓ X eine
nicht-leere
Teilmenge,
und
(1)V{0}
istSei
Untervektorraum
eines
jeden
Vektorraums.
K
ein
K
örper
und
X
eine
nicht-leere
Wir
hatten
bereits
gesehen,
dass dass
(5) Sei
K
ein
K
örper
und
X
eine
nicht-leere
Menge.
Wir
hatten
bereits
gesehen,
V
:=
Abb(X,
K)
ein
K-Vektorraum
ist.
Sei
nun
Y
✓
X
eine
nicht-leere
Teilmenge,
und
:= {f
2
Abb(X,
K)
|
f
(y)
=
0
8
y
2
Y
}
die
Teilmenge
derjenigen
Abbildungen
von
(2)WWie
bereits
gesehen
kann
man
C
als
R-Vektorraum
ansehen.
Dann
ist
R
⇢
C
ein
VW
Abb(X,
K)
ein
K-Vektorraum
ist.
Sei
nun
Y
✓
X
eine
nicht-leere
Teilmenge,
und
V :=
:=
Abb(X,
K)
ein
K-Vektorraum
ist.
Sei
nun
Y
✓
X
eine
nicht-leere
Teilmenge,
und
:=
{falle
2 yAbb(X,
K)0| 2
f (y)
= 0 8 y 2 Dann
Y } dieistTeilmenge
derjenigen
Abbildungen von
XR-Untervektorraum.
nach W
K,:=
die{f
2 Y auf
K=abbilden.
W ✓ derjenigen
V ein
Untervektorraum.
2
Abb(X,
K)
|
f
(y)
0
8
y
2
Y
}
die
Teilmenge
Abbildungen
von von
W nach
:= {fK,
2 die
Abb(X,
0 8Ky abbilden.
2 Y } die Teilmenge
Abbildungen
X
alle yK)
2 |Yf (y)
auf =
02
Dann ist Wderjenigen
✓ V ein Untervektorraum.
K,
K2
abbilden.
Dann
ist
V✓{k
ein
(3) Sei V X
einnach
K-Vektorraum
0 06=20 v2
Vabbilden.
. Dann
ist
KW
· v✓W
:=
v | kUntervektorraum.
2 K} ✓ V ein
X
nach
K,die
diealle
alley y2und
2Y Yauf
auf
K
Dann
ist
V ·Untervektorraum.
ein
Untervektorraum.
(4) W := {(x, y) 2 R2 | ax + by = 0} ist für alle a, b 2 R ein Untervektorraum von R2 .
(5) Sei K ein Körper und X eine nicht-leere Menge. Wir hatten bereits gesehen, dass
4.2. Untervektorräume
V := Abb(X, K) ein K-Vektorraum ist. Sei nun Y ✓ X eine nicht-leere
Teilmenge, und