Begriffe zu Graphen

U NIVERSIT ÄT KONSTANZ
L EHRSTUHL F ÜR P RAKTISCHE I NFORMATIK
Prof. Dr. D. Wagner / Annegret Liebers
September 1998
Grundlagen: Begriffe zu Graphen
Das erste Lehrbuch zur Graphentheorie war [Kön36]. (Der Nachdruck [Kön50] ist in der Unibib vorhanden.) Unter den vielen modernen“ Graphentheoriebüchern gibt es mehrere algorithmisch orientierte.
”
Empfehlenswert ist [Jun94].
!
$ & $ % $ Ein (endlicher, einfacher, ungerichteter) Graph ist ein Tupel
, wobei eine endliche Menge
(o.B.d.A.
) und
eine Teilmenge der zweielementigen Teilmengen von
ist. Die
Elemente
heißen die Knoten (auch Ecken, engl. vertices oder nodes), die Elemente
die Kanten
(engl. edges) von . Werden Knoten- oder Kantenmenge nicht mehr als endlich vorausgesetzt, spricht man
von einem unendlichen Graphen. Sind Kanten der Form
(Schlingen) oder mehrere Kanten
mit
und
(Mehrfachkanten, parallele Kanten) erlaubt, ist der Graph nicht mehr
, sondern Paare
, so
einfach. Sind die Kanten nicht zweielementige Teilmengen von
ist der Graph gerichtet. Die folgenden Definitionen und Aussagen beziehen sich auf endliche, einfache,
ungerichtete Graphen, lassen sich jedoch leicht auf nicht einfache oder auf gerichtete Graphen übertragen.
$ $ & % (& ) *
"# $% '& % $ &) +,
.-/01#2-/43 !3
5 -/ 5 6#7-843 !3
:9 ;<1=' <-/>9: @?A
1=
B
8
F
1
=
CEO D Q I *3
5 ; D \
8
M
P
CGDIH
J DLK 9 % 9 9NDH : % LDLK R:9TS :U WV(X7V % EVZY[V
D viele verschiedene Möglichkeiten, Kanten zwischen Knoten zu setzen oder nicht
Offenbar gibt es ]
zu setzen; es gibt also gerade ebenso viele verschiedene Graphen auf (numerierten oder markierten, d.h.
unterschiedenen) Knoten. Viele dieser Graphen
unterscheiden
sich1 jedoch
in der Numerierung
_
lediglich
^
'
ihrer Knotenmenge:
Zwei
Graphen
und
heißen
isomorph,
in Zeichen
%
%
%
%P` , falls es eine Bijektion a -I %Pb gibt, so daß gilt: :9 dc :a 9 e a f .
und eine Kante "h in einem Graphen ij1=' sind inzident zueinander, falls
Ein Knoten g
die einen gemeinsamen Endknoten haben, heißen ebenfalls
zueinander. Zwei
Gk" . Zwei Kanten,
heißen
.inzident
adjazent,
verbunden
oder
benachbart,
falls
Die
Nachbarschaft
eines
Knoten 9 E :
9
*-/ :9k m3 9 n der Nachbarn von .
Knotens G
ist die Menge l p-8F3 l 3 eines Knotens q zählt die Kanten, die in dem Graphen zu
Knotengrad. Der Grad o inzident sind. Wir schreiben or , wenn wir betonen wollen, daß sich der Grad auf den Graphen
Die Anzahl der Knoten eines Graphen wird als die Ordnung von bezeichnet, die wir durchweg mit
notieren. Die Anzahl seiner Kanten bezeichnen wir mit
. Für eine
Kante
werden die Knoten und ihre Endknoten oder Endpunkte genannt. Das Komplement
eines Graphen
ist
. Ein Graph
ohne Kanten heißt auch leer oder
trivial. Sein Komplement, der Graph
, heißt vollständig und hat
Kanten. Ein
Graph
heißt
vollständig bipartit.
bezieht. Da jede Kante an ihren beiden Endpunkten einen Beitrag von 1 zu deren Grad liefert, gilt
s o = ]L5 :t u (1)
Daß auf einem Empfang gerade viele Gäste ungerade vielen anderen Gästen die Hand schütteln ist die
Knobelversion der leichten
Übung Ein Graph hat eine gerade Anzahl von Knoten ungeraden Grades.
1
o =
! G o heißt isoliert. In
C D 6# -regulär.
-/
\Ein
3-
o
G n
6# -/ \o *- W p
i
+
Adjazenzmatrix.
6#( S/U V SeiX YnV , mit ein Graph. Dann heißt die folgende symmetrische Matrix Ein Graph heißt r-regulär, falls
für alle
. Ein Knoten
mit
ist
einem trivialen Graphen sind also alle Knoten isoliert, der vollständige Graph
regulärer Graph heißt auch kubisch. Der maximale Grad in einem Graphen wird mit
, der minimale mit
bezeichnet.
S6J U -/ X Y G
falls
sonst
S X
o
t:u o ]A5
%
k
+
7% <<
ein Graph. Die Adjazenzlisten von bestehen aus Folgen (Listen),
Adjazenzlisten. Sei
einer für jeden Knoten. Die Adjazenzliste für den Knoten enthält alle Knoten aus l .
Subgraphen.
eines Graphen
( ' 7 heißt (schwacher) Subgraph (oder-2auch
^ 1 r ' r Ein , inGraph
Teilgraph)
r existiert,
Zeichen
,
falls
eine
injektive
Abbildung
daß
a
b
' & "! Aa 9 e a f r . Insbesondere ist also jeder Graph mit # sor und
gilt
9
%$ )(+* r Subgraph von . Ein Subgraph eines Graphen heißt durch , induziert, falls
- 9 r - 9 ,
er
die beide Endpunkte in haben, d.h. falls
alleW Kanten
$ & ( von
* r . enthält,
in einem Graphen induzierten
/ Den von einer Knotenmenge .
G ZSubgraphen
G6# .
bezeichnen wir mit .10 . Ein Subgraph eines Graphen heißt aufspannend, falls heißt Clique in einem Graphen , falls
Cliquen und unabhängige Mengen.
Eine Knotenmenge 2
heißt unabhängig oder sta/
der von 2 induzierte Subgraph 20 vollständig ist. Eine Knotenmenge .
/
bil, falls keine zwei Knoten aus . benachbart sind, d.h. falls der von . in induzierte Graph .10 6trivial
# , die
ist. Die Größe einer kardinalitätsmaximalen Clique in einem Graphen heißt die Cliquenzahl 354
Größe6#
einer kardinalitätsmaximalenm
unabhängigen
die Stabilit
äts- oder Unabhängigkeits offenbar eineKnotenmenge
zahl 6
. Da eine Knotenmenge 2
Clique
in
einem
Graphen
ist genau dann, wenn
6# 6 . Für den vollständigen
sie
im
Komplementgraphen
stabil
ist,
gilt
also
Graphen C D auf
7
3
4
Knoten gilt beispielsweise 354 CWD 4 und 6 C!D . Sei ein Graph und ein Knoten
in einer
3 3 V 6# folgt
kardinalitätsmaximalen Clique 2 von . Wegen l die Adjazenzmatrix von . Die -te Zeilen- oder Spaltensumme von ist also gerade
; die Anzahl
der Einsen in ist
. Wir beobachten ferner, daß zwei Graphen
und
der Ordnung
genau dann isomorph sind, wenn es eine
Permutationsmatrix gibt, so daß für die zugehörigen
Adjazenzmatrizen gilt:
.
. .
7V354 1# V 6#98 . V 3 . A3 8 3 . C3 B 1#
(2)
?.
Wenn dagegen
eine (inklusions-) maximale stabile Menge ist, dann ist jeder Knoten in
zu
einem Knoten aus adjazent (denn sonst könnte man ihn zu hinzufügen und erhielte eine noch größere
stabile Menge) und daher gilt
. Es folgt
oder
( . ;O :=< ?u >
6#8
l @\
V 3 . 3 V6 6# V (3)
Gleichheit gilt in (2) bzw. (3) jeweils z.B. beim trivialen bzw. beim vollständigen Graphen, aber nicht im
allgemeinen.
2
]
Knoten, 5 Kanten, 3 ] Zusammenhangskomponenten,
Abbildung 1: Dieser
Graph hat
354 und Unabhängigkeitszahl 6 . Der Maximalgrad ist , der Minimalgrad ist
Cliquenzahl
. Der durch
die Knoten 1 bis 6 induzierte Teilgraph ist zusammenhängend und hat Radius 2 und
Durchmesser 3. Der Graph ist planar, aber die hier gezeigte Darstellung ist keine planare Einbettung.
% ) =
R S
ZV X V
X i LS LS % % V0X V
I
S
= D
%
% 9 9
9 Z
Übung Jeder 9 - -Weg mit 9 enthält einen 9 - -Pfad.
Ein kürzester 9 - -Weg ist ein 9 - -Pfad.
@ bezeichnen wir den Abstand (die Distanz) zweier Knoten 9 , im Graphen , wobei
Mit
@oRX o 9 X 9 definiert
die Länge eines kürzesten 9 - -Pfades in — falls es keinen 9 - -Pfad in
gibt,
@ 9 P-/
ist als. Ein
so sei oX
Graph heißt zusammenhängend, wenn zwischen je zwei Knoten 9 h
ein 9 - -Weg in existiert. Die zusammenhängenden Subgraphen eines Graphen mit inklusionsmaximalen Knotenmengen heißen seine (Zusammenhangs-)Komponenten. Offenbar gehört
Knoten zu genau
6# jeder
einer Komponente; verschiedene Komponenten wiederum
sind
knotendisjunkt.
3
bezeichne
1#= genau dann, wenn zusammenhängt.dieDieAnzahl
der Komponenten
eines
Graphen
.
Es
ist
also
3
Relac oRX @ 9 bildet eine Äquivalenzrelation auf , ihre Äquivalenzklassen sind gerade
tion 9 ` die Knotenmengen der Zusammenhangskomponenten von .
1# eines zusammenhängenden Graphen ist als die Länge eines längsten
Der Durchmesser oRX 5
6#,-8%
"! J t:u oX @# 9 . Der Radius C o 6# eines zukürzesten Weges in
definiert, d.h. oRX 5 1# -/
$! u t:u oX @# 9 .
sammenhängenden Graphen ist hingegen o
% % Q in einem Graphen heißt geschlossen oder Zykel, falls
Zykeln
und Kreise. Ein Weg Der
. Ein Zykel mit 4& , bei dem die Knoten % M ('M% paarweise verschieden sind, heißt Kreis.
Kreis der Länge wird mit 2 D notiert. Der Kreis 2&) ` C ) heißt auch Dreieck.
6# (engl. girth) eines Graphen bezeichnet die Länge eines kürzesten Kreises in ,
Die Taillenweite *
Wege, Pfade, Zusammenhang. Ein Weg
(engl. walk) ist eine Folge
von (nicht notwendig
verschiedenen) Knoten
, wobei entweder
, oder so daß für
gilt:
. Seine Länge ist die Anzahl der Kanten, die er enthält. Ein Weg
,
mit
oder bei dem (falls
) alle Knoten
, paarweise verschieden sind, heißt Pfad
(engl. path). Ein Pfad auf
Knoten wird mit
bezeichnet und hat die Länge
. Der Pfad , der
nur aus einem einzigen Knoten besteht, heißt trivial. Der Knoten
heißt der Anfangsknoten des Pfades
und sein Endknoten; alle anderen Knoten heißen die inneren Knoten des Pfades
. Ein - -Pfad ist ein Pfad mit Anfangsknoten und Endknoten (mit
falls
).
1
bzw. ist als
definiert, falls
5 = kreisfrei ist.
+
9 +
9 3 + + + +
+
5
G 2>G1#
+
o = +
,.-0RY/214O 3658795;:=<?,.-0>/21F@BKLZADCFCPE9OQSG R[,.-0/21FKO\C]L^Q ZL C$OX_`5
H
,
I
J
/
F
1
M
K
N
L
P
C
O
S
Q
T
R
V
A
W
U
X
L
,HI- /J1FKMLNCPabQSc
,H-I/J1FKMLNCPOQedf,.-0/21FKO\C]abQ LNC$OC]ag_ 5
Bäume und Wälder. Ein zusammenhängender Graph , der keinen Kreis enthält, heißt Baum und hat
viele Kanten. Für zwei Knoten
in gibt es genau einen - -Pfad in . Ist kreisfrei, aber
nicht unbedingt zusammenhängend, so heißt Wald und es gilt
. Ist ein Baum Teilgraph
eines Graphen mit
, dann heißt aufspannender Baum von . Ein Knoten in einem
Wald mit
heißt Blatt.
1 Die
Distanzabbildung
gilt
für alle
definiert eine Metrik auf der Menge der Knoten eines Graphen [es
(Definitheit),
für alle
(Symmetrie) sowie
(Dreiecksungleichung)].
3
-]
-- ] -- ] ] -- ]
Abbildung 2: Die Adjazenzmatrix und die Adjazenzlisten zum Graphen in Abbildung 1
Abbildung 3: Zwei planare Einbettungen desselben Graphen mit jeweils 4 Facetten
Abbildung 4: Die kleinsten nicht planaren Graphen sind
4
C
und
C) J ) + 4
+ o L= G 9X :9 9
A 9 X
G Ein Wurzelbaum (engl. Out-tree oder rooted tree) ist ein Baum
zusammen mit einem ausge, der Wurzel (engl. root) von . Abweichend von obiger Definition wird in
zeichneten Knoten
einem Wurzelbaum i.a. nicht als Blatt aufgefaßt, auch wenn
.
heißt Nachfolger von
,
wenn es einen - -Pfad gibt, der enthält, und wenn
. Wenn zusätzlich
, heißt direkter
Nachfolger von . Wenn (direkter) Nachfolger von ist, dann heißt (direkter) Vorgänger von . Die
-te Schicht eines Wurzelbaums besteht aus allen
mit dist
.
9
X
9
>1=' 9 Einbettungen und planare Graphen. Ein Graph
wird auf natürliche Weise durch eine Einbettung in die Ebene dargestellt, indem Knoten durch (paarweise verschiedene) Punkte und Kanten durch
ihre Endpunkte verbindende Linien dargestellt werden. Wenn ein Graph so dargestellt werden kann, daß je
zwei Linien zu Kanten ohne gemeinsamen Endpunkt sich nicht schneiden, so heißt der Graph planar. Eine
planare Einbettung eines (planaren) Graphen teilt die Ebene in Gebiete (oder Facetten) ein. Für die Anzahl
der Facetten gilt
(Euler
a
5 8 a ]
5 V e
Daraus folgt eine obere Schranke für die Kantenzahl eines planaren Graphen:
(für
` “ von Graphen ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Graphen.
”
. Man finde den (einzigen) selbstkompleÜbung Ein Graph heißt selbstkomplementär, falls `
Übung Die Isomorphie
mentären Graphen auf 4 und die beiden auf 5 Knoten.
]
]
Übung Jeder Graph mit
Knoten hat zwei Knoten desselben Grades.
Bestimme Graphen auf
Knoten, die
verschiedene Grade haben.
Übung Ein kubischer Graph hat gerade viele Knoten.
Es gibt kubische Graphen der Ordnung für jedes gerade
.
o 6# V oRX 5 6 # V ] o 1#e
Übung Für jeden zusammenhängenden Graphen
gilt:
Man finde für jede dieser Ungleichungen Graphen, bei denen Gleichheit gilt.
Übung Mindestens einer der Graphen
und
ist zusammenh ängend.
5 $ D 'Q % ( ist zusammenhängend.
6# V ] ist die disjunkte Vereinigung von Kreisen und Pfaden.
Übung Ein Graph mit Übung Ein Graph mit
5
Literatur
[Jun94] Dieter Jungnickel. Graphen, Netzwerke und Algorithmen. BI-Wissenschaftsverlag, 1994. Unibib
KN: kid 114/j96a(3), kid 604/j96, lbs 840/j96.
[Kön36] Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Kombinatorische Topologie der
Streckenkomplexe. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1936.
[Kön50] Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Kombinatorische Topologie der
Streckenkomplexe. Chelsea, New York, 1950. Unibib KN: mat 9:ko26/t42. Reprint of the 1936
edition by Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig.
6