5 Potenzfunktionen

24  Funktionen
5 Potenzfunktionen
Die Funktionen mit Gleichungen der Form y = xn heißen Potenzfunktionen.
Die Graphen der Potenzfunktionen mit den Gleichungen y = x2, y = x3,
y = x4 und allgemein y = xn für eine natürliche Zahl n > 1 haben folgende
Eigenschaften:
• Die Graphen aller dieser Funktionen verlaufen durch die Punkte
O(0 | 0) und P(1 | 1).
• Alle Graphen haben die Nullstelle x0 = 0. Der Punkt O(0 | 0) ist der
einzige Schnittpunkt mit der x-Achse.
• Die Graphen der Funktionen
mit y = x2 und y = x4 (allgemein: y = xn für gerades n)
heißen Parabeln. Sie fallen
bis zum Ursprung und steigen
danach.
• Der Graph der Funktion mit
y = x3 (allgemein: y = xn für
ungerades n) heißt Wendeparabel. Er steigt überall an.
Funktionen  25
Die Graphen der Potenzfunktionen mit y = x –1 = 1 und y = x –2 =
x
heißen Hyperbeln. Sie haben folgende Eigenschaften:
1
x2
• Der Definitionsbereich dieser Funktionen umfasst alle reellen Zahlen
außer 0.
• Die Graphen verlaufen durch den Punkt P(1 | 1).
• Die Hyperbeln bestehen aus zwei Teilen, den Hyperbelästen.
• Für sehr große und sehr kleine x-Werte schmiegen sich die Graphen
der x-Achse an.
• Für x-Werte, die sehr nahe bei 0 liegen, schmiegen sich die Graphen
der y-Achse an.
• Der Graph der
Funktion y = x–1
ist punktsymmetrisch
zum Ursprung O(0 | 0).
• Der Graph der
Funktion y = x–2
ist achsensymmetrisch
zur y-Achse.