NACHKLAUSUR

NACHKLAUSUR
Diskrete Strukturen I
0 1 . 10. 2003
9:00 - 11:00
Prof. Dr. Gunter Malle
Dr. Andreas Klein
Name:
Vorname:
Matr.–Nr.:
Bitte lassen Sie genügend Platz zwischen den Aufgaben
und beschreiben Sie nur die Vorderseite der Blätter!
Zum Bestehen der Klausur müssen 14 Punkte erreicht werden.
1)
2)
3)
4a)
Punkte:
4b)
Note:
Die Aufgaben 4a und 4b sind Wahlaufgaben. Sie müssen nur eine dieser Aufgaben bearbeiten. Wenn Sie beide Aufgaben bearbeiten, wird nur die bessere gewertet.
1
Aufgabe 1 (8 Punkte)
Acht frisch verheirate Paare wollen mit vier Booten einen Ausflug machen. Wie viel Möglichkeiten gibt es die 16 Personen auf die vier Boote zu verteilen
a) ohne weitere Einschränkung.
b) wenn kein Paar getrennt werden darf.
c) wenn in jedem Boot mindestens eine Person sitzen muß.
d) wenn in jedem Boot mindestens eine Frau sitzen muß.
Aufgabe 2: (8 Punkte)
Zeigen Sie:
a)
S(m + n + 1, m) =
m
X
kS(n + k, k)
k=0
b)
s(m + n + 1, m) =
m
X
(n + k)s(n + k, k)
k=0
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Geben Sie eine explizite Formel für die durch folgende Rekursionsgleichung definierte Folge
an:
an = 4an−1 − 4an−2 für n ≥ 2
und a0 = a1 = 1.
2
Aufgabe 4a: (6 Punkte)
a) Zeichen sie den (gerichteten) Graphen, der durch die folgende Adjazenzmatrix beschrieben
wird:


0 0 1 0 1
1 0 1 1 1



A=
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Wege der Länge 4 zwischen den Ecken A und E.
c) Zeigen Sie daß es keinen Weg von E nach A gibt.
Aufgabe 4b: (6 Punkte)
Ein Graph mit n Ecken heißt markierter Graph, wenn die Ecken mit den Zahlen von 1 bis n
numeriert sind. Im Gegensatz zu einem unmarkierten Graphen sind daher bei einem markierten
Graphen die Ecken unterscheidbar.
Beispiel:
4
a)
b)
c)
d)
5
3 e)
2
1
5
4
3 f)
2
1
5
4
1
2
3
Der Graph a) unterscheidet sich von den Graphen aus b) und c). Die in b) und c) abgebildeten
Graphen sind jedoch ununterscheidbar.
Die Graphen d) und e) sind auch als markierte Graphen ununterscheidbar. Sie unterscheiden
sich jedoch von dem Graphen f).
a) Bestimmen Sie alle verschiedenen unmarkierten Bäume mit 6 Ecken. (Zur Kontrolle: Es gibt
6 verschiedene Typen.)
b) Bestimmen Sie die Anzahl der markierten Bäume mit 6 Ecken.
3