Cayleys Formel

Cayleys Formel
Söder Johannes
18.01.2015
Inhaltsverzeichnis
1 Arthur Cayley
2
2 Satz
2
3 Skizzen einiger Graphen
2
4 Definitionen
3
5 Beweis durch doppeltes Abzählen
3
1
1 Arthur Cayley
• *16.08.1821 Richmond (UK), †26.01.1895 Camebridge (UK)
• Anfänglich Rechtsanwalt und "Hobby-Mathematiker", später Professur in Camebridge
• Vorreiter in der Graphentheorie (Cayleygraph, Cayleyzahlen)
• Forschungstätigkeiten im Bereich Invariantentheorie
• Berühmt für die Einführung der abstrakten Gruppentheorie
2 Satz
Es gibt nn−2 verschiedene bezeichnete Bäume auf n Ecken
3 Skizzen einiger Graphen
Nachfolgend die Skizzen der Graphen G = (V, E) für |V | ∈ {1, 2, 3, 4}
2
4 Definitionen
Bezeichneter Baum: Zusammenhängender kreisfreier Graph G = (V, E), dessen
Ecken (= Knoten) eindeutig nummeriert sind
N = {1, 2, ..., n} Anzahl der Knoten
Tn sei die Anzahl der verschiedenen bezeichneten Bäume
Fn,k := {Wurzelwald mit k Zshgsk. auf n Ecken}
Fn,1 := {Wurzelwälder}
5 Beweis durch doppeltes Abzählen
Die Beweisidee durch doppeltes Abzählen ist neben dem Beweis durch Bijektionen und
durch Induktion die eleganteste Beweismöglichkeit. Sie stammt von Jim Pitman (*1897,
+1993), einem australischen Mathematiker. Nachstehend wird eine Beweisskizze hierzu
gegeben.
Es gilt für die Anzahl der Wurzelbäume: |Fn,1 | = n · Tn , da n mögliche Wurzeln gewählt werden können.
Nun betrachte Fn,k ∈ Fn,k als gerichteten Graphen, dessen Kanten von der Wurzel weg
zeigen.
Konstruiere jetzt die verfeinernde Kette F1 F2 ... Fk mit Fi ist Wald in Fn,i für Fi ⊃ Fi+1
und i ∈ {1, ..., k − 1}.
Definiere nun
N (Fk ) als die Anzahl der Wurzelbäume, die Fk enthalten
N ∗ (Fk ) sei die Anzahl der verfeinernden Ketten, die in Fk enden
Betrachte Wald Fk in Fn,k .
Zähle nun N ∗ (Fk ) beginnend bei F1 . Dann gilt: N ∗ (Fk ) = N (Fk )(k − 1)!
Beginne nun die Zählung der N ∗ (Fk ) bei Fk und zähle bis F1 .
Es ergibt sich: N ∗ (Fk ) = n(k−1) (k − 1)!
Also erhalten wir: N (Fk ) = n(k−1)
Mit k = n ist Fn nun Graph mit n isolierten Knoten. Somit ist N (Fn ) die Zahl aller
Wurzelbäume.
|F |
|Fn,1 | = nTn ⇒ Tn = nn,1 = nn−1 n−1 = nn−2
3