Geometrie und Topologie von Flächen

SoSe 2016
Prof. Dr. Thomas Vogel
Dr. Jonathan Bowden
Geometrie und Topologie von Flächen
Aufgabenblatt 11
Aufgabe 1. Seien R, R1 , R2 ⊂ S kompakte, zusammenhängende Teilmengen mit nichtleerem Inneren
R̊1 , R̊2 6= ∅ in einer Fläche so dass R1 ∪ R2 = R, R̊1 ∩ R̊2 = ∅ und der Rand von R1 , R2 , R in S
die Vereinigung von stückweise glatten Kurven ist. Nehme an, dass R1 ∩ R2 aus Randkomponenten
besteht. Beweise
χ(R1 ) + χ(R2 ) = χ(R)
auf zwei Wegen:
a) Verwende geeignete Triangulierungen.
b) Nutze den Satz von Gauß-Bonnet.
R
Aufgabe 2. Ein Polygon C ⊂ 2 ist eine kompakte Teilmenge deren zusammenhängender Rand aus
3 ≤ n < ∞ Strecken (den Kanten) besteht, so dass der Schnitt je zweier dieser Strecken höchstens
aus einem gemeinsamen Endpunkt (einer Ecke) enthält und kein Punkt Endpunkt von mehr als zwei
Strecken ist. Sei C ein Polygon mit n Kanten.
a) Zeige, dass (n − 2)π die Innenwinkelsumme von C ist.
b) Wir betrachten nun eine Zerlegung von C in Polygone C1 , . . . , Cf so dass Ci ∩ Cj für i 6= j
entweder leer, eine gemeinsame Kante oder eine gemeinsame Ecke ist. Sei e, k, f die Anzahl der
Ecken, Kanten, Polygone sowie e0 , k 0 die Zahl der Ecken und Kanten der Zerlegung die nicht in
∂C liegen. Betrachte die Innenwinkelsumme der Polygone Ci , i = 1, . . . , f, und C, um zu zeigen,
dass
e0 − k 0 + f = 1.
c) Folgere, dass e − k + f = 1.
d) Zeige, dass es höchsten 3e − n − 3 Kanten gibt.
R
Aufgabe 3. Sei K ⊂ 3 ein konvexes, kompaktes Polyeder in
die Anzahl der Ecken, Kanten, Seitenflächen.
R3 mit endlich vielen Ecken. Sei e, k, f
a) Drücke den Flächeninhalt eines Polygons1 auf S 2 = {x2 + y 2 + z 2 = 1} durch die Innenwinkelsumme aus.
b) Verwende das Ergebnis, um e − k + f = 2 zu zeigen.
1 Ein
Polygon auf S 2 ist definiert wie ein Polygon in der Ebene, man ersetze zu Beginn von Aufgabe 2
Wort Strecke durch Segment eines Großkreises.
1
R2 durch S 2 und das
Aufgabe 4. Wir betrachten weiter ein konvexes kompaktes Polyeder K wie in Aufgabe 3. Sei fn , n ≥ 3,
die Anzahl der Seitenflächen mit n Kanten und em , m ≥ 3, die Zahl der Ecken von denen m Kanten
ausgehen.
a) Zeige, dass
2k =
X
nfn =
n≥3
X
mem .
m≥3
b) Nutze die Beziehung e − k + f = 2 um zu beweisen, dass
X
X
(n − 4)fn .
(m − 4)em +
e3 + f3 = 8 +
n≥4
m≥4
c) Ein Polyeder ist regelmäßig, wenn von jeder Ecke gleich viele Kanten ausgehen (m Stück) und
wenn jede Fläche gleich viele Kanten (n Stück) hat. Bestimme alle möglichen Werte von m, n.
Abgabe am Mittwoch, 6.7.2016 um 14 Uhr in den Übungskästen im 1. Stock.
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Präsenzaufgaben Woche 11
Aufgabe 1. Sei ∆ ein geodätisches Dreieck in einer Fläche mit strikt negativer Gauss-Krümmung,
d.h. die Seiten von ∆ sind Geodäten. Zeige, dass die Winkelsumme echt kleiner als π ist.
Aufgabe 2. Das Traktoid T ist die Rotationsfläche, die durch die Traktrix erzeugt wird (siehe Blatt
1 Aufgabe 1)
t
γ(t) = sin(t), + cos(t) + log(tan( )) .
2
Die Gauss-Krümmung des Traktoids ist −1.
i) Sei ∆ ⊂ T ein geodätisches Dreieck. Die Winkel an den Eckpunkten von ∆ seien π/8, π/8, π/2.
Berechne den Flächeninhalt von ∆.
ii) Sei ∆ ⊂ T ein gleichseitiges geodätisches Dreieck im Traktoid mit Flächeninhalt π/2. Berechne die
Winkel von ∆.
iii) Sei ∆ ⊂ S 2 ein gleichschenkliges geodätisches Dreieck mit Flächeninhalt π/6 in der Einheitssphäre
und zwei Winkeln gleich π/3. Berechne den dritten Winkel von ∆.
Aufgabe 3. Sei γr,R = (r + R cos(t), R sin(t)) mir r > R > 0 und sei Tr,R der Rotationstorus, der
durch γr,R erzeugt wird. Durch direkte Rechnung für den Torus T = Tr,R , zeige
Z
KdA = 0.
T
Aufgabe 4. Man finde eine Triangulierung des Torus Tr,R und berechne die Euler-Charakteristik.
Hierzu sollte man sich den Torus als ein Quadrat mit gegenüberliegen Seiten identifiziert vorstellen.
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