Einsendeaufgaben zu Kurseinheit 3

KURS: EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE STOCHASTIK,
Kurs – Nr.
01196
Einsendeaufgaben zu Kurseinheit 3
Aufgabe 1
Sei Ω := {1, 2, . . . , 6}, P die durch
P (A) :=
|A|
|Ω|
(A ⊂ Ω)
definierte Gleichverteilung auf (Ω, P(Ω)). Sei Ω0 := {0, 1, 2} und X : Ω −→
Ω0 gegeben durch die folgende Tabelle:
ω
1
2
3
4
5
6
X(ω)
0
1
1
2
1
2
Offenbar ist die Verteilung PX der ZV X gegeben durch:
PX ({0}) =
1
1
, PX ({1}) = , PX ({2}) = ?
6
2
1 Punkt
(a) Bestimmen Sie EP (X) gemäß der Definition (12.1.1); berechnen Sie
anschließend EPX idΩ0 .
1 Punkt
(b) Was liefert der Vergleich der Ergebnisse aus Teil (a) ? Begründen Sie
Ihre Antwort.
1 Punkt
(c) Bestimmen Sie zunächst EP (X 2 ). Anschließend bestimmen Sie VP (X)
unter Verwendung einer Rechenregel; welcher ?
Aufgabe 2
Sei (Ω, A, P ) ein W–Raum und X, Y zwei reelle ZVen mit Varianzen V (X)
und V (Y ).
(a) Führen Sie die Kovarianz Kov(X, Y ) ein und zeigen Sie die Gültigkeit
1 21 Punkte
von:
Kov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) .
Im Folgenden wird der W–Raum (Ω, A, P ) dahingehend spezifiziert, dass gilt:
Ω = N6 , A := P(Ω), P (A) :=
|A|
|Ω|
(A ∈ A) .
Weiter seien A1 := {2, 3, 5} und A2 := {1, 3, 5} . Die ZVen werden spezifiziert zu:
X := 1A1 , Y := 1A2 .
1 21 Punkte
(b) Begründen Sie die Gültigkeit von
X · Y = 1A1 · 1A2 = 1A1∩A2
bzw. ergänzen Sie
1 Punkt
E(1A1 ) = P (
) =
E(1A2 ) = P (
) =
(c) Berechnen Sie nun Kov(X, Y ) . Sind X und Y stochastisch unabhängig?
Aufgabe 3
Sei (Ω, A, P ) ein W–Raum, X, X1 , X2 drei reelle, quadratisch integrierbare
ZVen mit
E(Xi ) = i − 1 , V (Xi ) = i
(i = 1, 2)
und
Kov(X1 , X2 ) = −1 .
1
2
Punkt
(a) Formulieren Sie die Tschebyschevsche Ungleichung für die ZV X.
1
2
Punkt
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X1 +X2 ) und die Varianz V (X1 +
X2 ) .
1 Punkt
(c) Sei A ∈ A das durch
A :=
n
o
ω ∈ Ω| |X1 (ω) + X2 (ω) − 1| ≥ 2
definierte Ereignis. Schätzen Sie mit Hilfe der Tschebyschevschen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit P (A) nach oben ab.