Lösungsvorschlag 1 - D-MATH

ETH Zürich FS 2014
D-MATH
Prof. Dr. J. Teichmann
Koordinator
Mayra Bermúdez C.
Wahrscheinlichkeit & Statistik
Musterlösung Serie 1
1. Wir wählen als Grundraum
Ω = {(r, g) : r, g ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}2
die Menge aller Paare der Zahlen von 1 bis 6. Die erste Komponente r steht für
die Augenzahl des roten Würfels, die zweite Komponente g für die des grünen.
Bemerkung: Bei diesem Ω haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/36, sofern es sich um faire Würfel handelt.
Es sind
W1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)},
W2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
= Beide Würfel zeigen die gleiche Zahl.“
”
W3 = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}
W4 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6),
(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)}
= Die beiden gewürfelten Zahlen unterscheiden sich um 1.“
”
W5 = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
= Mindestens ein Würfel zeigt eine 6.“
”
Ein Farbenblinder könnte nicht in jedem Fall entscheiden, ob das Ereignis W3
eingetreten ist, da es in diesem Fall wichtig ist, dass man die beiden Würfel
unterscheiden kann. Bei allen anderen genannten Ereignissen ist dies nicht nötig.
2. a)
A=
B=
C=
N
\
Bkc ,
k=1
N
[
Ak ,
k=1
N
[
N
[
Bk ∩
k=1
(Al ∩ Am ).
l,m=1,l6=m
b) i) N mal eine 3.
ii) Es wird mindestens einmal die Folge 336 gewürfelt.
iii) Bei zwei aufeinander folgenden Zahlen ist die erste eine 3 und/oder die
zweite eine 6, das sind also alle Folgen der Form 3 · · · 3 x 6 · · · 6 mit x ∈
{1, . . . , 6} und der Position von x in {1, . . . , N }.
3. Es gilt:
1A1 ∪...∪An = 1 − 1(A1 ∪...∪An )c = 1 − 1Ac1 ∩...∩Acn
n
n
Y
Y
=1−
1Aci = 1 − (1 − 1Ai ).
i=1
i=1
Somit
n
Y
P[A1 ∪ . . . ∪ An ] =E[1A1 ∪...∪An ] = 1 − E[ (1 − 1Ai )],
i=1
und durch ausmultiplizieren erhalten wir
n
n
Y
X
1 − E[ (1 − 1Ai )] =
(−1)k+1
i=1
=
k=1
n
X
X
E[1Ai1 · . . . · 1Aik ]
1≤i1 <...<ik ≤n
(−1)k+1
X
P[Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ].
1≤i1 <...<ik ≤n
k=1
4. Für n = 1, 2 ist die Aussage klar. Für den Schritt von n nach (n + 1) hat man:
P[A1 ∪ . . . ∪ An+1 ] = P[A1 ∪ . . . ∪ An ] + P[An+1 ] − P[(A1 ∪ . . . ∪ An ) ∩ An+1 ]
i.a.
≤
n+1
X
P[Ai ] −
i=1
≤
n+1
X
i=1
n−1
X
i=1
P[Ai ] −
n
X
i=1
P[Ai ∩ Ai+1 ] − P[(A1 ∪ . . . ∪ An ) ∩ An+1 ]
{z
}
|
≥P[An ∩An+1 ]
P[Ai ∩ Ai+1 ]
Andererseits:
P[A1 ∪ . . . ∪ An+1 ] = P[A1 ∪ . . . ∪ An ] + P[An+1 ] − P[(A1 ∪ . . . ∪ An ) ∩ An+1 ]
i.a.
≥
n+1
X
P[Ai ] −
i=1
≥
n+1
X
i=1
n
X
P[Ai ∩ Aj ] −
i,j=1, i6=j
P[Ai ] −
n+1
X
i,j=1, i6=j
P[Ai ∩ Aj ].
P[(A1 ∪ . . . ∪ An ) ∩ An+1 ]
{z P
}
|
=P[∪n
i=1 (Ai ∩An+1 )]≤
n
i=1
P[Ai ∩An+1 ]