4. Lösung weitere ¨Ubungsaufgaben Statistik I SoSe

4. Lösung weitere Übungsaufgaben Statistik I SoSe 2016
1. Aufgabe: Die Seiten eines zwölfseitigen Würfels sind mit den Zahlen 1 bis 12
bedruckt. Sei X die zufällige Augenzahl, welche nach einem Wurf oben liegt. Der
Würfel sei symmetrisch, so dass alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
gewürfelt werden.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion an! Wie ist X verteilt?
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung
von X!
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
i) die gewürfelte Augenzahl durch 3 teilbar ist?
ii) die gewürfelte Augenzahl eine Primzahl ist?
iii) die gewürfelte Augenzahl größer als 6 aber höchstens 10 ist?
Lösung: X - zufällige Augenzahl, welche oben liegt.
a)
P (X = k) =
1
12
k = 1, . . . 12
X ist diskret gleichverteilt auf {1, 2, . . . , 12}.
b)
EX = 1 · P (X = 1) + 2 · P (X = 2) + . . . + 12 · P (X = 12)
1
= (1 + 2 + . . . + 12) ·
12
12 · 13 1
13
=
·
=
= 6, 5
2
12
2
EX 2 = 12 · P (X = 1) + 22 · P (X = 2) + . . . + 122 · P (X = 12)
1
650
= (12 + 22 + . . . + 122 ) ·
=
12
12
VarX = E(X 2 ) − (EX)2
650
− 6, 52 = 11, 9167
=
12
√
p
VarX =
11, 9167 = 3, 452
Hinweis:
Ist X diskret gleichverteilt auf {1, 2, . . . , n}, dann ist EX =
n2 −1
.
12
Hier ist n = 12 und damit EX =
13
2
= 6, 5 und VarX =
122 −1
12
n+1
2
=
und VarX =
143
12
= 11, 9167.
c)
i) Die gewürfelte Augenzahl ist durch 3 teilbar:
P (X = 3) + P (X = 6) + P (X = 9) + P (X = 12) =
4
1
=
12
3
ii) Die gewürfelte Augenzahl ist eine Primzahl ist:
P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 5) + P (X = 7) + P (X = 11) =
5
12
iii) Die gewürfelte Augenzahl ist größer als 6 aber höchstens 10:
P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) =
4
1
=
12
3
2. Aufgabe:
Ein Atomreaktor muss notfallmäßig abgeschaltet werden, wenn die Temperatur im
Reaktorkern über ein bestimmtes Niveau ansteigt. Dazu werden Bimetallschalter
eingebaut, die bei Überschreitung der Grenztemperatur ein Signal auslösen.
Leider hat unter der gegebenen Strahlenbelastung jeder der Schalter eine begrenzte
Lebensdauer L (in Tagen), wobei die Verteilungsfunktion mit den Parameter α = 2
und β = 0, 5 · 103 in der folgenden Form gegeben ist:
x α
FL (x) = 1 − e−( β )
falls
x ≥ 0.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass solch ein Schalter
i) mindestens 500 Tage funktioniert?
ii) höchstens 1000 Tage funktioniert?
iii) mindestens 500 Tage und höchsten 1000 Tage funktioniert?
b) Bestimmen Sie den Median dieser Verteilung!
Lösung: L - zufällige Lebendauer (in Tagen).
a)
i)
P (L ≥ 500) = 1 − P (L < 500) = 1 − FL (500)
³
2´
−( 500
)
500
= 1− 1−e
= e−1 ≈ 0, 3679
ii)
P (L ≤ 1000) = FL (1000)
1000 2
= 1 − e−( 500 ) = 1 − e−4 ≈ 0, 9817
iii)
P (500 ≤ L ≤ 1000) = FL (1000) − FL (500)
³
2
2´
−( 1000
−( 500
)
)
500
500
= 1−e
− 1−e
= e−1 − e−4 ≈ 0, 3496
b) Median:
FL (x0,5 ) = 0, 5
³ x ´2
0,5
− 500
1−e
³ x ´2
0,5
− 500
x0,5
= 0, 5
e
= 0, 5
³ x ´2
− 0,5
= ln(0, 5)
500
³ x ´2
0,5
= − ln(0, 5) = ln(2)
500
p
= ln(2) · 500 = 416, 27
3. Aufgabe:
a) Bestimmen Sie a so, dass f die Dichte einer stetigen Zufallsvariable ist.
b) Begründen Sie, dass der Median dieser Verteilung gleich 5 ist.
c) Warum stimmen bei dieser Verteilung Median und Erwartungswert überein?
Lösung:
a) Die Fläche unter der Dichte ist die Gesamtwahrscheinlichkeit und damit gleich
1. In den Bereichen von 2 bis 4 und von 6 bis 8 sind die Flächen Dreiecke und
im Bereich von 4 bis 6 ist die Fläche ein Rechteck.
Z 8
Z 4
Z 6
Z 8
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx
2
2
4
6
1
1
=
·2·a+2·a+ ·2·a=4·a=1
2
2
=⇒
a=
1
= 0, 25
4
b) Die Zufallsvariable ist symmetrisch um 5 verteilt.
Damit ist FX (5) = P (X < 5) = 0, 5, d.h. der Median x0,5 ist 5.
c) Bei einer symmetrischen Verteilung stimmen Median und Erwartungswert
überein.