Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Fleischer/Wächter
Wintersemester 2015/16
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 2
Abgabe: bis Do. 05.11. 14:00 Uhr in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: 09.11.2015 20.11.2015
1.
(6
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Punkte )
a) Bringt man eine Formel F mittels der Wahrheitstafelmethode in konjunktive (bzw.
disjunktive) Normalform, so heiÿt die dabei entstehende Formel in maximaler konjunktiver (bzw. disjunktiver) Normalform.
(i) Geben Sie eine zu A ∧ (B ∨ ¬C) äquivalente Formel in maximaler disjunktiver
Normalform an.
(ii) Geben Sie eine zu (A ∨ B) ∧ (C ∨ B) äquivalente Formel in maximaler konjunktiver
Normalform an. b) Geben Sie eine zu F = (A ↔ ¬A) → B ∧ (A ∧ ¬A) ∨ ¬B ∨ C äquivalente Formel
in konjunktiver Normalform und eine zu F äquivalente Formel in disjunktiver Normalform an. Beweisen Sie jeweils die Äquivalenz (z. B. durch Angabe der verwendeten
Äquivalenzen in jedem Umformungsschritt).
2.
(6
Dreiwertige Logik
Punkte )
In dieser Aufgabe denieren wir eine dreiwertige Semantik auf aussagenlogischen Formeln.
Eine (dreiwertige) Belegung ist eine Funktion A : D → {0, 1/2, 1}, wobei D eine Teilmenge
der atomaren Formeln ist. Eine Belegung A heiÿt passend zu einer Formel F , wenn A auf
jeder in F vorkommenden atomaren Formel deniert ist. Wir erweitern die Semantik von
A induktiv auf alle aussagenlogische Formeln. Sei dazu A passend zur aussagenlogischen
Formel F und zur aussagenlogischen Formel G, so denieren wir
A (¬F ) = 1 − A(F ),
A ((F ∧ G)) = min{A(F ), A(G)} und
A ((F ∨ G)) = max{A(F ), A(G)}.
Zwei aussagenlogische Formeln F und G heiÿen äquivalent (unter dreiwertiger Logik), geschrieben als F ≡3 G, wenn für jede Belegung A, die zu F und zu G passend ist,
A(F ) = A(G) gilt.
a) Seien die Belegungen A1 , A2 , A3 gegeben durch A1 (A) = A2 (A) = A3 (A) = 1/2 und
A1 (B) = 0, A2 (B) = 1/2 sowie A3 (B) = 1. Sei F = (A ∨ ¬B). Berechnen Sie A1 (F ),
A2 (F ) sowie A3 (F ).
b) Gilt A ∨ ¬A ≡3 B ∨ ¬B ? Beweisen Sie Ihre Antwort.
c) Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Äquivalenzen:
(i) F ≡3 ¬(¬F )
(ii) ¬(F ∨ G) ≡3 ¬F ∧ ¬G
d) Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Variante des Ersetzbarkeitstheorems für dreiwertige Logik:
Seien F , G und G0 aussagenlogische Formeln, wobei G eine Teilformel von F sei und
G ≡3 G0 gelte. Sei F 0 eine Formel, die man aus F durch Ersetzen eines Vorkommens
von G durch G0 erhält. Dann gilt: F ≡3 F 0 .
3.
(4
Twist
Punkte )
Sind B1 , B2 : {A1 , . . . , An } → {0, 1} zwei Belegungen, so ist twist(B1 , B2 ) die durch
twist(B1 , B2 ) : {A1 , . . . , An } → {0, 1}
(
B1 (Ai ) für i ungerade
Ai 7→
B2 (Ai ) für i gerade
denierte Belegung.
a) Sei n = 2 und B1 (A1 ) = B1 (A2 ) = 0 und B2 (A1 ) = B2 (A2 ) = 1. Mit welchen Werten
belegt twist(B1 , B2 ) die Variablen A1 und A2 ?
b) Zeigen oder widerlegen Sie:
Für zwei beliebige Modelle B1 , B2 einer Hornformel F ist auch twist(B1 , B2 ) ein Modell
für F .
Hinweis: Eine Hornformel ist eine Formel in KNF, bei der in jeder Disjunktion höchstens ein positives Literal vorkommt.
4.
↔-Formeln
(10 Punkte )
a) Seien F , G und H beliebige aussagenlogische Formeln. Zeigen Sie die folgenden Äqui-
Normalform für
valenzen:
(i) F ↔ G ≡ G ↔ F
(ii) F ↔ G ≡ ¬F ↔ ¬G
(iii) ¬(F ↔ G) ≡ ¬F ↔ G
(iv) (F ↔ G) ↔ H ≡ F ↔ (G ↔ H)
(v) (F ↔ F ) ↔ G ≡ G
(vi) (F ↔ ¬F ) ↔ G ≡ ¬G
b) Sei F eine aussagenlogische Formel in den Variablen A1 , A2 , . . . , An , die nur die Operatoren ¬ und ↔ verwendet.
Zeigen Sie, dass genau eine der folgenden Aussagen gilt:
• F ist gültig.
• F ist unerfüllbar.
• Es gibt ein ` ∈ {1, 2, . . . } und i1 , i2 , . . . , i` ∈ N mit 1 ≤ i1 < i2 < · · · < i` ≤ n und
F ≡ Ai1 ↔ Ai2 ↔ · · · ↔ Ai` .
• Es gibt ein ` ∈ {1, 2, . . . } und i1 , i2 , . . . , i` ∈ N mit 1 ≤ i1 < i2 < · · · < i` ≤ n und
F ≡ ¬(Ai1 ↔ Ai2 ↔ · · · ↔ Ai` ).
c) Wie viele paarweise nicht-äquivalente Formeln in den Variablen A1 , A2 , . . . , An , die nur
die Operatoren ↔ und ¬ verwenden, gibt es? Beweisen Sie Ihre Antwort.
d) Zeigen oder widerlegen Sie: {↔, ¬} ist eine Junktor-Basis.