∑ ∫ ∫

Energiemethoden der Mechanik / Prof. Popov / Vorlesung 5.
I. Zwangskräfte (Fortsetzung)
II. Potentielle und kinetische Energie eines elastischen Stabes, Eigenschwingungen
∂u
I. Lagrangesche Gleichungen 1. Art für ein
Spannung: σ = Eε = E
. Kraft:
∂x
System mit mehreren Bindungen
∆l AE
Gibt es in einem mechanischen System mit
Fi = Aσ i = AEε i = AE i =
∆li = k ∆li ⇒
der Lagrangefunktion L r Bindungen, die
li
li
mittels der Bindungsgleichungen
AE
Steifigkeit eines Elementes: k =
.
g k (q1 ,..., qs ) = 0 , k = 1,..., r
li
dargestellt werden können, so haben die BePotentielle Energie eines Elementes:
wegungsgleichungen die Form:
2
2
∆li
AE 2 AE ∆li
U
=
k
=
∆
l
=
l =
i
i
2 i
Lagrangesche
Gleichungen
1.
Art
2
2
l
2
l
i
i
r
d ∂L ∂L ∂D
∂g
2
−
+
= Qi + ∑ λk k
AE 2
AE  ∂u 
dt ∂qɺi ∂qi ∂qɺi
∂
q
k =1
=
ε i li =
i
  li
2
2  ∂x i
g1 ( q1 , q2 ,..., qs ) = 0
Potentielle Energie des ganzen Stabes:
2
.........
AE  ∂u 
U = ∑U i = ∑
g r ( q1 , q2 ,..., qs ) = 0
  li
2  ∂x i
i
i
Beispiel: Ein Pendel. Man stelle die Beweoder
gungsgleichungen auf und
2
l
l
AE  ∂u 
AE 2
gebe die Stangenkraft an.
U =∫
dx = ∫
u ′ dx


r =l
2  ∂x 
2
0
0
Lösung: Die Lagrangefunktion
Kinetische Energie des Stabes:
ohne Berücksichtigung der
l
l
ϕ
Zwangsbedingung ist
v2
uɺ 2
K
=
dm
=
ρ
A
∫0 2 ∫0 2 dx .
1
1
L = mrɺ 2 + mr 2ϕɺ 2 + mgr cos ϕ
2
2
Lagrangefunktion:
Die Zwangsbedingung ist r − l = 0 , somit
2
l

uɺ 2 AE  ∂u  
g ( r,ϕ ) = r − l .
L = ∫ρA −
  dx

2
2
 ∂x  
0
Die Lagrangegleichungen sind:
∂g
B. Lagrangefunktion eines elastischen Sta=λ
1) mrɺɺ − mrϕɺ 2 − mg cos ϕ = λ
∂r
bes in Fourier-Darstellung
∂
g
Betrachten wir einen an beiden Enden festge2) mr 2ϕɺɺ + 2mrrɺϕɺ + mgr sin ϕ = λ
=0
spannten elastischen Stab der Länge l (Rand∂ϕ
bedingungen u (0) = 0 , u (l ) = 0 ):
3) r - l = 0 ⇒ ɺɺ
r = 0.
Die zweite Gleichung ist die gesuchte Beweu
gungsgleichung und die erste gibt die
Zwangskraft an:
0
∂g
x
Fr = λ
= − mrϕɺ 2 − mg cos ϕ .
l
∂r
Mit welchen generalisierten Koordinaten
II. Kontinuierliche Medien
kann man einen Stab beschreiben?
A. Potentielle und kinetische Energie eines
deformierten Stabes
x
x + dx
x
li
Erste Möglichkeit: u ( x ) ; hier spielt u die
Rolle von generalisierten Koordinaten und x
die Rolle des Indexes i, welcher Koordinaten
nummeriert.
Zweite Möglichkeit: Jede nicht singuläre
Funktion kann auf dem Intervall (0, l ) in eine
Taylor-Reihe entwickelt werden:
1
∞
u ( x, t ) = ∑ an (t ) x n . Die Entwicklungskoefn =0
fizienten an können als generalisierte Koordinaten gewählt werden.
Dritte Möglichkeit: Jede Funktion, die den
Randbedingungen u (0) = 0 , u (l ) = 0 genügt,
kann auf dem Intervall (0, l ) in eine FourierReihe entwickelt werden:
∞
π nx
n =0
l
u ( x, t ) = ∑ an (t )sin
.
Die Fourier-Koeffizienten an können ebenfalls als generalisierte Koordinaten gewählt
werden.
Weitere Möglichkeiten:
∞
u ( x, t ) = ∑ an (t )ϕ n ( x ) , wobei ϕ n ( x ) ein voln =0
ler Satz von Basisfunktionen (es gibt verschiedene).
Betrachten wir näher die dritte Wahl der generalisierten Koordinaten:
∞
π nx
n =0
l
u ( x, t ) = ∑ an (t )sin
.
Wir leiten her die Bewegungsgleichungen für
die generalisierten Koordinaten an . Zu diesem Zweck muss die Lagrange-Funktion des
Stabes
l
1
L = ∫ ( ρ Auɺ 2 − AEu '2 )dx als Funktion der
20
generalisierten Koordinaten dargestellt werden. Die Ableitungen sind:
∞
π nx
,
uɺ ( x, t ) = ∑ aɺn (t )sin
l
n =0
∞
π nx
πn 
u '( x, t ) = ∑ an (t ) 
 cos
l
 l 
n=0
l ∞
∞
1
π nx π kx
ρ Aaɺ n2l
K = ∫ ∑ ρ Aaɺ n aɺ k sin
sin
dx = ∑
2 0 n ,k =1
l
l
n=0
4
Die Lagrangegleichungen
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂aɺ n ∂an
lauten:
π 2n 2
ɺɺ
= 0.
ρ Aan l + AEan
l
Diese Gleichung beschreibt harmonische
Schwingungen mit der Kreisfrequenz
E πn 
ωn =
.
ρ  l 
Wir haben gefunden, dass die Bewegungsgleichungen für alle generalisierten Koordinaten an unabhängig von einander sind!
Die allgemeine Lösung für die Koordinate
an (t ) lautet:
an (t ) = An cos ωn t + Bn sin ωn t
= An cos
E πn 
E πn 
t

 t + Bn sin
ρ l 
ρ  l 
Wenn wir eine Deformation haben, bei der
zum Zeitpunkt t = 0 nur eine Koordinate an
verschieden von Null war, so ist dies auch zu
einem beliebigen späteren Zeitpunkt gültig.
In diesem Fall ist die Verschiebung durch den
Ausdruck
u ( x, t ) = an (t )sin
π nx
l
gegeben. Diese Funktion heißt die n-te Eigenform der Schwingungen des elastischen Stabes. Der Stab oszilliert dabei mit einer konE πn 
stanten Frequenz ωn =
, welche als
ρ  l 
n-te Eigenfrequenz bezeichnet wird. Die generalisierten an Koordinaten heißen Normalkoordinaten des Stabes. Die allgemeine Lösung für die n-te Eigenform ist

E πn 
E  π n   π nx
u ( x, t ) =  An cos
t  sin

 t + Bn sin
ρ
l
ρ  l  
l



1 ∞
πn πk
π nx
π kx
U = ∫ ∑ AEan ak
cos
cos
dx
2 0 n , k =1
l l
l
l
mit beliebigen Konstanten An und Bn , deren
Werte von den Anfangsbedingungen abhängen.
1 ∞
πn 
AEan2 
∑
 l
4 n =1
 l 
Die Lagrangefunktion:
2 2
∞
ρ Aaɺn2l 1 ∞
2 π n
L=∑
− ∑ AEan
.
4
4 n =1
l
n =0
Im zweiten Teil des Kurses, der Kontinuumsmechanik, werden wir diese Lösung
auf einem anderen Weg, als die sogenannte
Bernoullische Lösung der Wellengleichung,
bekommen.
l
2
=
2