Stochastik

Fiedler/Winter
Wintersemester 2016/2017
Stochastik
Übungsblatt 13
Verzweigungsprozesse
Abgabe
Montag, den 30.01.2017 um 10:00 Uhr im Übungskasten im WSC-Foyer
Zur Erinnerung Eine Familie von N0 -wertigen Zufallsvariablen (Zn )n∈N0 nennt man Verzweigungsprozess mit Nachkommenverteilung ξ und Startpopulation z0 ∈ N0 , wenn:
1) P(Z0 = z0 ) = 1
(n)
2) Zn+1 = X1
(n)
+ ... + XZn für jedes n ∈ N0 , wobei
(n)
(n)
(n)
(n)
i) X1 , ..., XZn unabhängig sind und die Verteilung ξ besitzen
ii) X1 , ..., XZn von Zn unabhängig sind
Wir sagen, dass der Verzweigungsprozess (Zn )n∈N0 ausstirbt, wenn ein N ∈ N0 mit ZN = 0
existiert (damit gilt natürlich automatisch Zn = 0 für alle n ≥ N ).
Aufgabe 1 Sei (Zn )n∈N0 ein Verzweigungsprozess mit Nachkommenverteilung ξ und Startpopulation z0 und weiterhin (Zn0 )n∈N0 ein Verzweigungsprozess mit der gleichen Nachkommenverteilung ξ und Startpopulation 1. Zeige, dass
P(Zn = 0) = P(Zn0 = 0)z0
für jedes n ∈ N0 gilt.
Tipp:
Die Erzeugendenfunktion von Zn bzw. Zn0 kann hier sehr hilfreich sein.
Aufgabe 2
Sei (Zn )n∈N0 ein Verzweigungsprozess mit Startpopulation 1. Die Nachkommenverteilung sei durch die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion p(0) = p(2) = 12 gegeben.
a) Bestimme die Verteilung von Z3 .
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Verzweigungsprozess ausstirbt.
Tipp: Für Aufgabenteil b) wurde in der Vorlesung eine Formel bewiesen − vergleiche das
Ergebnis aber trotzdem mit dem Erwartungswert von Zn und der in a) berechneten Wahrscheinlichkeit P(Z3 = 0).
Aufgabe 3 Sei (Zn )n∈N0 ein Verzweigungsprozess mit Startpopulation 1. Die Nachkommenverteilung sei durch die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion p(n) = ( 12 )n+1 für jedes n ∈ N0 gegeben.
a) Zeige, dass die Erzeugendenfunktion Gn von Zn durch
Gn (s) =
n−1
n s−1
s − n+1
n
für jedes n ∈ N gegeben ist und berechne P(Zn = 0) und P(Zn = 1) für jedes n ∈ N0 .
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b) Wir erinnern uns an Übungsblatt 11, Aufgabe 1 b). Man könnte natürlich vermuten, dass
eine Art Umkehrung der dort bewiesenen Aussage gilt: Sei P(A1 ) + P(A2 ) + ... = ∞, dann
ist P(unendlich viele der An treten ein) = 1. Zeige mit Hilfe von Aufgabenteil a), dass das
im Allgemeinen falsch ist.
Tipp:
Als Gegenbeispiel eignet sich An = {Zn > 0}.
Aufgabe 4
a) Die Formel für die Aussterbewahrscheinlichkeit eines Verzweigungsprozesses gilt zunächst
nur für die Startpopulation z0 = 1. Beweise die Verallgemeinerung davon: Sei ρ die Aussterbewahrscheinlichkeit eines Verzweigungsprozesses mit Nachkommenverteilung ξ und
Startpopulation 1, dann ist die Aussterbewahrscheinlichkeit eines Verzweigungsprozesses
mit der gleichen Nachkommenverteilung ξ und Startpopulation z0 ∈ N0 durch ρz0 gegeben.
b) Sei (Zn )n∈N0 ein Verzweigungsprozess mit Startpopulation z0 . Die Nachkommenverteilung
sei für q ∈ (0, 1) durch die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion p(n) = q · (1 − q)n für jedes
n ∈ N0 gegeben. Berechne die Aussterbewahrscheinlichkeit dieses Verzweigungsprozesses.
Tipp: Wir erhalten meistens zwei Lösungen der Gleichung G(s) = s, egal welche Erzeugendenfunktion G betrachtet wird. Die Zahl 1 ist immer eine davon. (Warum?) Welche
der zwei Lösungen ist hier jeweils relevant?
Zusatzaufgabe [6 Punkte]
Konstruiere in R eine Funktion, die einen Verzweigungsprozess
mit beliebiger Startpopulation z0 simuliert, deren Nachkommenverteilung ξ die Binomialverteilung mit den Parametern n = 3 und p = 0.4 ist. Dazu gehören insbesondere eine Ausgabe der
Werte Z0 , Z1 , ... und ein Plot des Verlaufs der Populationsgröße.
Tipp: Denke vor allem bei ausufernden“ Populationen an die Laufzeit des Algorithmus: In
”
welchen Situationen darf (und sollte) man die Simulation abbrechen?