Prof. Dr. Hans-Peter Scheffler Wintersemester 2009/2010 Klausur

Prof. Dr. Hans-Peter Scheffler
Wintersemester 2009/2010
Klausur zur Vorlesung Stochastik I - 2.Termin
Wählen Sie aus den folgenden fünf Aufgaben vier Aufgaben aus. Die
maximal erreichbare Punktezahl finden Sie neben jeder Aufgabe. Tragen Sie die Nummern der gewählten Aufgaben in das folgende Kästchen
ein:
Gewählte Aufgabe:
Die Bearbeitung anderer Aufgaben(teile) wird nicht bewertet.
Für einen Leistungsnachweis sind mindestens 19± Punkte notwendig.
Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt welches Sie
mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer versehen. Achten Sie in
der Klausur auf sorgfältige und exakte Formulierungen.
Bei der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben genügt es, entsprechende
Formeln abzuleiten. Exakte numerische Berechnungen, etwa mit Hilfe
eines Taschenrechners sind nicht erforderlich.
Hilfsmittel sind bis auf einen handgeschriebenen Formelzettel und einen
nicht-programmierbaren Taschenrechner nicht zugelassen! Der Formelzettel
muss mit abgegeben werden!
Viel Erfolg!
1
2
Aufgabe 1: In einem Multiple-Choice-Test mit 20 Aufgaben sind pro
Aufgabe 5 Antworten vorgesehen, wovon genau eine richtig ist. Ein
risikofreudiger Kandidat kreuzt die Antworten zufällig an. Wie viele
Möglichkeiten hat er:
(a) Den Bogen auszufüllen.
(b) So auszufüllen, daß alle Antworten richtig sind.
(c) So auszufüllen, daß alle Antworten falsch sind.
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er alle Antworten richtig/
falsch hat?
8 Punkte
Aufgabe 2: Es sei F (x) = exp(− exp(−x)), x ∈ R.
(a) Zeigen Sie, daß
(a1) F eine Verteilungsfunktion ist.
(a2) die zugehörige Verteilung eine Dichte besitzt und geben Sie
diese an.
(b) Es sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FX = F.
Sei Y = eX . Geben Sie die Verteilungsfunktion von Y an und falls Sie existiert - die Dichte an.
(c) X1 , X2 seien unabhängige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F . Für b ∈ R sei Z = max(X1 − b, X2 − b). Geben Sie
die Verteilungsfunktion von Z an. Wie muss b ∈ R gewählt
werden, damit FZ = F gilt?
12 Punkte
Aufgabe 3: Xi : Ω → R+ seien unabhängige, exponentialverteilte
Zufallsvariable für i = 1, ..., n mit Parameter λ, d.h. also
FXi (x) = 1 − e−λx , i = 1, ..., n. Sei Mn = min Xi .
1≤i≤n
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FMn sowie die Dichte
der Verteilung von Mn .
(b) Verifizieren Sie:
(b1) E(Xi ) = 1/λ,
(b2) E(Xi2 ) = 2/λ2 ,
(c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von Mn .
10 Punkte
3
Aufgabe 4: Ablenkeinheiten für Fernsehröhren werden einer sorgfältigen
Endkontrolle unterzogen. Der automatisierte Kontrollvorgang weist
folgende statistische Parameter auf: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
eine fehlerfreie Einheit auch als fehlerfrei erkannt wird, ist 0, 98; die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine defekte Einheit auch als defekt erkannt
wird, ist 0, 95. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine produzierte Einheit defekt ist, beträgt 0, 08.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß eine durch die Kontrolle als fehlerfrei deklarierte Ablenkeinheit tatsächlich fehlerfrei ist.
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß eine durch die Kontrolle als defekt deklarierte Ablenkeinheit tatssächlich defekt
ist.
(c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß eine durch die Kontrolle als fehlerfrei deklarierte Ablenkeinheit in Wirklichkeit defekt ist.
8 Punkte
Aufgabe 5: Seien X1 , ..., Xn unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit Dichte fν . Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood
Schätzer für ν in den folgenden Fällen:
(a) fν ist die Dichte der log-Normalverteilung mit Parametern µ
und σ 2 , d.h.
(log x−µ)2
1
fν (x) = √
e− 2σ2 1(0,∞) (x),
2πσ 2 x
mit ν = σ ∈ R+ , d.h. zu festgehaltenem µ > 0 ist der MLSchätzer für σ gesucht.
2
Hinweis: Sie können ddνl(ν)
< 0 vorraussetzen, wobei l(ν) die
2
Log-Likelihood-Funktion zum Parameter ν ist.
(b) fν ist die Dichte der Normalverteilung mit Parametern µ und
σ 2 , d.h.
(x−µ)2
1
fν (x) = √
e− 2σ2
2πσ 2 x
mit ν = σ ∈ R+ , d.h. zu festgehaltenem µ > 0 ist der MLSchätzer für σ gesucht.
2
Hinweis: Sie können ddνl(ν)
< 0 vorraussetzen, wobei l(ν) die
2
Log-Likelihood-Funktion zum Parameter ν ist.
12 Punkte