Magnetismus

Magnetismus
Hall Effekt
49
Hall Effekt (Anwendungen)
50
Drehmoment einer Leiterschleife
51
Beispiel: Drehmoment einer Spule
54
Biot-Savart Gesetz
55
Magnetfeld im Inneren einer Leiterschleife
56
Magnetfeld eines stromführenden Leiters
57
Magnetische Kraft zwischen zwei parallelen Leitern 59
EM 48
Ampere‘sches Gesetz
60
Magnetfeld in einer langen Spule
61
Magnetischer Fluß
62
fh-pw
Hall Effekt (1879)
B
Ladungsträ ger bewegen sich mit v
und werden mit F = q v ×B abgelenkt
- - - - - - - - -
I
v
qvxB
-
qE
+ + + + + + + + +
Leiter, Höhe d
Strom I, negative Ladungsträger
VH
⇒
Aufladung der oberen und unteren Seite
des Leiters
⇒
Elektrisches Feld E und elektrische
Kraft auf Ladungsträ ger mit F = qE
Ladungsträger werden durch die magnetische Lorentz - Kraft F = qv ×B abgelenkt
Es bildet sich ein E - Feld zwischen Ober - und Unterseite des Leiters und eine
zusätzliche elektrische Kraft F = qE wirkt auf die Ladungsträger
Im Gleichgewichtsfall gilt : Summe der Kräfte = 0 → qvB = qEe bzw. E = vB
Hall - Spannung : V H = Ed = vBd
EM 49
fh-pw
Hall Effekt (Anwendungen)
B
Anwendungen des Hall-Effektes
• Bestimmung der LadungsträgerGeschwindigkeit v
- - - - - - - - -
I
v
qvxB
-
qE
+ + + + + + + + +
VH
• Bestimmung der Ladungsträgerdichte n
• Magnetfeldmessungen
Ladungsträ gergeschwi ndigkeit v : VH = v B d
Ladungsträ gerdichte n :
1 IB
oder VH =
nq t
∆Q = n q v∆t A, I =
I
I Bd
∆Q
= n q v A bzw. n =
=
v q A VH q A
∆t
t = Dicke des Leiters ( A = d ⋅t ),
Messung des magnetisch en Feldes B : B =
EM 50
v = VH B d
1
= Hall - Koeffizien t (RH )
nq
VH
nqt meßbar mit kalibrierten " Hallsonden "
I
fh-pw
Drehmoment einer Leiterschleife
Kraft auf Leiter : dF = I dl ×B
B
qv → I
Leiterschleife im homogenen Magnetfeld : F = I ∫dl ×B
I
Summe der Kräfte, die auf die Schleife wirken = 0
Aber : die Kräfte können ein Drehmoment erzeugen!
dl
Strom im linken Teilstück a verursacht eine Kraft F1
Strom im rechten Teilstück a verursacht eine Kraft F2 = − F1
I
b
a
Keine Kräfte auf Teilstücke b solange b B
F1
F2
a
B
Kräfte F1 und F2 verursachen ein
Drehmoment auf die Leiterschleife
b
EM 51
fh-pw
Drehmoment einer Leiterschleife
F4
Drehmoment dreht die Leiterschleife, zusätzlich
b
a
I
zwei Kräfte F3 und F4 an den Seiten b
F2
F1
B
a
b
b
Drehmoment M = F1 sin θ + F2 sin θ
2
2
b
Flächennormale
F3
F1
θ
F4
b I
F1
o
b2
b
sin θ
2
A
θ
b 2
B
x
a
a
B
b
F2
EM 52
F3
F3 = - F4
F2
F1 = F2 = IaB →
b
b
M = IaB sin θ + IaB sin θ
2
2
M = IaBb sin θ
M = IAB sin θ
Fläche der Leiterschleife :
A = ab
Drehmoment = null, wenn alle vier Kräfte parallel zur
Fläche der Leiterschleife zeigen
∑ F = immer Null
fh-pw
Drehmoment einer Leiterschleife
Flächennormale
F1
θ
o
b2
b
sin θ
2
A
θ
b 2
B
x
Drehmoment M = IAB sin θ
Wir wissen :
Drehmoment ist ein Vektor und Strom = skalare Größe
Man kann daher den Ausdruck M = IAB sin θ auch darstellen
r r
r
v
als : M = IA ×B wobei A = Vektor der Flächennormale
F2
Rechte Hand Regel zur Bestimmung von A :
Magnetisch es Moment m: m = IA (Vektor m )
r r r r
v
M = IA ×B = m ×B
Der Ausdruck für das Drehmoment gilt für beliebige Orientierungen von B und
v
r r
beliebige Leiterschleifen (z.B. Spule, N Wicklunge n M = N m ×B )
EM 53
fh-pw
Beispiel: Drehmoment einer Spule
Im Meßgerät befindet sich eine rechteckige Spule mit
60 Wicklungen und der Abmessung 3 cm x 1.5 cm
Strom durch die Spule : 20 mA
Magnetfeld des Permanentmagneten im Meßgerät : 400 mT
Im Ruhezustand ist das Magnetfeld parallel zur Spulenfläche
Ges. : Welches Drehmoment wirkt auf die Spule?
0
I
Wie groß ist das magnetische Moment der Spule?
Magnetische Moment einer Wicklung der Spule :
(
)
m = IA = (0.02 A )⋅ 0.03 ⋅0.015 m 2 = 9 ⋅10− 6 Am 2
magnetisches Moment der gesamten Spule : mSpule = NIA = 5.4 ⋅10− 4 Am 2
(
)
Drehmoment : M = mSpule ×B = mSpule ⋅B = 5.4 ⋅10− 4 Am 2 ⋅(400 mT )= 2.16 ⋅10− 4 Nm
EM 54
fh-pw
Biot-Savart Gesetz
Oersted: „ein stromführender Leiter beeinflußt eine Kompaßnadel“
Biot und Savart berechneten das B-Feld, das von einem stromführenden
Leiterelement an einer beliebiger Stelle im Raum hervorgerufen wird
r µ0 Idl ×rˆ
dB =
4π r 2
Die Stärke des Magnetfeldes
B
I
r
dl
rˆ
P
• nimmt mit 1 r 2 mit der Enfernung vom Leiterelement ab.
• ist proportional zum Strom I im Leiter.
r
r
• ist proportional zum Sinus des Winkels zwischen dl und r .
Die Richtung des Magnetfeldes
• ist senkrecht zur Richtung des Leiterelementes und
senkrecht zum Verbindundsvektor zwischen Leiter element und Meßpunkt P.
µ0
= Proportionalitätsfaktor im SI - Einheitensystem
4π
µ0 ="magnetische Feldkonstante" oder " Permeabililät des Vakuums"
EM 55
Vs 

µ0 = 4p ⋅10− 7 T⋅m A oder

Am


fh-pw
Magnetfeld im Inneren einer Leiterschleife
Feld am Koordinatenursprung O (r = R ):
r µ0 Idl ×rˆ
dB =
4π r 2
B = ∫dB =
µ0 I
µ0 I
µ0 I
dl
=
2
R
π
=
4π R 2 ∫
4π R 2
2R
∫dl = 2Rπ
Feld im Punkt P (auf der x - Achse) :
θ
θ
nur Bx Anteile bleiben übrig, alle B y Anteile heben
sich nach dem Aufsummie ren über die gesamte
Schleife auf
r 2 = x 2 + R 2 und dl ⊥ rˆ
µ0
Idl
R
R
⋅ 2
⋅
sin
θ
=
2
R 2 + x 2 4π R + x
R2 + x2
R2 + x2
µ0
IR
µ0 IR
µ0 2πR 2 I
Bx = ∫dBx = ∫
⋅dl =
⋅ dl =
dl = 2 Rπ
32
32 ∫
32
∫
2
2
2
2
2
2
4π R + x
4π R + x
4π R + x
dBx = dB sin θ = dB
R
(
für große x gilt : (R
)
x )
EM 56
2
+
2 32
=
(
( )
≈x
2 32
)
(
)
µ0 2πR 2 I µ0 2m
= x → Bx =
=
3
4π x
4π x 3
3
m = IR 2π
fh-pw
Magnetfeld eines stromführenden Leiters
P
y
θ
r
φ
x
I
Gesucht : Magnetfeld B am Punkt P
r
r µ0 Idl ×rˆ µ0 Idx
µ0 Idx
dB =
=
sin
φ
=
cosθ
2
2
2
4π r
4π r
4π r
B(P) durch Integration nach dx über die Leiterlänge
Es gilt : x = y tan θ und y = r cosθ bzw. cosθ = y r
dx
1
r2
r2
x = y tan θ → dx = y
dθ = y 2 dθ = dθ
2
cos θ
y
y
µ0 I r 2
µ0 I
dB =
cos
θ
d
θ
=
cosθ dθ
2
4π r y
4π y
Brechts =
Blinks =
EM 57
θR
µ0 I
µ0 I
=
cos
θ
d
θ
sin θR
∫
4
π
y
4
π
y
0
Integratio n für linke und rechte Hälfte des Leiters
θR = maximaler Winkel θ am rechten Leiterende
θL
µ0 I
µ0 I
µ0 I
cos
θ
d
θ
=
sin
θ
→
B
=
B
+
B
=
(sin θR + sin θL )
L
R
L
∫
y
4
π
y
4
π
y
4
π
0
fh-pw
Magnetfeld eines stromführenden Leiters
Rechte Hand Regel definiert
P
y
θ
die Richtung der magnetisch en
r
φ
Feldlinien
x
I
dx
µ0 I
(sin θR + sin θL )
4π y
Sehr langer Leiter : θR = θL ≈90°→ sin θR + sin θL ≈2
Leiterabschnitt : B = BR + BL =
B = BR + BL =
EM 58
µ0 I
(sin θR + sin θL )→ µ0 I ⋅2 = µ0 I
4π y
4π y
2π y
fh-pw
Magnetische Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Kraft auf Leiter : dF = I dl ×B
Magnetfeld von Leiter 2 verursacht eine Kraft auf Leiter 1
a
µ0 I 2 µ0 I1 I 2
=
l
2πa
2πa
Kraft auf Leiter 1 weist Richtung Leiter 2
F1 = I1 l ×B2 = I1 l B2 = I1 l
F1
B2
I2
I1
Kraft/Längeneinheit :
II
II
F1 µ0 I1 I 2
=
= 4π ⋅10 − 7 1 2 = 2 ⋅10 − 7 1 2
l
a
2πa
2πa
⇒ SI - Definition des Amperes
Parallele Leiter mit Strom
• in dieselbe Richtung ziehen einander an
• in entgegenge setzte Richtung stoßen einander ab
EM 59
fh-pw
Ampere‘sches Gesetz
∫Bdl = µ I
0 C
Ampere' sches Gesetz
C
Das Integral von B über eine beliebig geschlossene
Kurve C ist proportional zu dem Strom IC, der durch
diese Fläche hindurchtritt.
B läßt sich damit für symmetrisc he Anordunge n
berechnen
Beispiel : langer Leiter, Kurve C = Kreis um den Leiter mit Radius r
B = konstant, da B überall am Kreis gleich groß ist
∫Bdl = µ0 I C → B ∫dl = B ⋅2πr = µ0 I oder B =
C
EM 60
C
µ0 I
2π r
fh-pw
Magnetfeld in einer langen Spule
Anwendung des Ampere‘schen Gesetzes
Integration entlang des rot eingezeichneten
Rechteckes (Länge l in Spulenrichtung)
∫Bdl = ∫Bdl + ∫Bdl + ∫Bdl + ∫Bdl = Bl
d
C
a
c
a
∫Bdl = Bl
a
b
∫Bdl ≈0
b
c
d
∫Bdl = ∫Bdl = 0
b
d
für eine lange Spule
d
N Windunge n entlang der Länge l
→ Gesamtstro m durch die rot umrandete Fläche = NI
∫Bdl = Bl = µ0 NI → B = µ0
C
N
I = µ0 nI
l
n = Wicklungen / Längeneinh eit
EM 61
fh-pw
Magnetischer Fluß
dA θ
B
Eine Fläche kann man sich aus kleinen FlächenElementen zusammengesetzt denken
Zu jedem Flächenelement gehört ein Vektor dA: dA
steht normal auf das Flächenelement und díe
Länge von dA entspricht der Fläche des Elementes
Magnetischer Fluß : F B = ∫B ⋅dA = ∫B ⋅dA ⋅cos θ
Der magnetisch e Fluß ist maximal, wenn B parallel zur Flächennormalen
(cosθ = 1)
Wenn keine magnetisch en Feldlinien durch die Fläche passieren
(B Oberfläche), dann ist der magnetisch e Fluß = Null
SI - Einheit des magnetisch en Flusses : Weber (Wb), 1 Wb = 1 T m 2
EM 62
fh-pw