Präsentation zum Kapitel

Grundlagen
Kapitel 1
Mathematik
Paul Bischof
2
Mengen
 Definition: bestimmte, unterscheidbare Objekte zu
einem Ganzen
 Enthält Objekte  Elemente
 Teil einer Menge  Teilmenge
 Keine Elemente  leere Menge { }
bs / 11
3
Mengenschreibweise, Elemente
 Aufzählende Form: A = { 1, 2, 3, 4 }
 Beschreibende Form:
– Formel:
– Text:
– Mächtigkeit:
B = { x  IN0 | x > 5  x  10 }
( B = { 6, 7, 8, 9, 10 } )
C = alle geraden ganzen Zahlen
|A| = 21 (Anzahl Elemente)
 Ein Element gehört zur Menge: 4  A
 Ein Element gehört nicht zur Menge: 4  A
 Spezielle Mengen: G, D, (W,) L
bs / 11
4
Beziehungen und Verknüpfungen
 Alle Elemente von A sind auch Elemente von B: A  () B
 Nicht alle Elemente von A sind auch Elemente von B: A  B
 Durchschnitt: A  B, gemeinsame Elemente
(Schnittmenge)
 Vereinigung: A  B, alle Elemente von A und B, d. h. sie
gehören zu A oder B oder beiden
 Differenz: B \ A, alle Elemente von B ausser jene, die auch zu A
gehören
bs / 11
5
Zahlenmengen

Definierte Mengen mit Doppelstrich!
 Natürliche Zahlen: IN = { 1, 2, 3, 4, ……. }
alle ganzzahligen Werte > 0
 Ganze Zahlen: Z = { …, -2,-1, 0, 1, 2, ... }
alle ganzzahligen Werte
 Rationale Zahlen: Q = { …, -2, … -1, …, 0, …, 1, …,
2, ... }
entstehen aus Division ganzer Zahlen (Brüche)
3
 Reelle Zahlen: R z. B. 2, 7, 𝜋, …
Menge Q erweitert um nichtrationale, unendliche Dezimalzahlen
bs / 11
6
Zahlenmengen - Grafik
R
Q
Z
N
0
bs / 11
NZQR
7
Intervalle
 Beschränkte Intervalle
Unterscheidung in abgeschlossen, halb-offen und offen
 Unbeschränkte Intervalle
Unterscheidung in abgeschlossen und offen
 Schreibweise
Intervallschreibweise
Mengenschreibweise
Standard
Alternativ
(gleichbedeutend)
[a;b]
(keine)
𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
(a;b)
]a;b[
𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
(a;b]
]a;b]
𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
[a;b)
[a;b[
𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
bs / 11
8
Darstellung von Intervallen
bs / 11
9
Betrag einer Zahl
 Zahl ohne Vorzeichen: |-8|= 8
 Abstand zum Nullpunkt des Zahlenstrahls:
-8
Abstand = 8
bs / 11
10
Operationen und Zeichen
 Grundoperationen: + - * /





23,
3
2. Ebene:
2^3, 23; 27; log813
Vergleiche: , , , , , ,  (), 
Logik:  (und),  (oder)
Zahlzeichen: , 
Weitere: |-3| = |3| = 3
bs / 11
11
Operationsebenen und Rechenhierarchie
Hauptoperation
Umkehroperation
2. Umkehrung
2. Ebene
^ ()

log
1. Ebene

: (/)
Grundebene
+
-
Rechenhierarchie
Klammer
() []
KLAPOPS
2. Ebene
^  log
1. Ebene

bs / 11
Grundebene
+-
12
Reihenfolge - Schreibweise
 Variablen vor Konstanten
 Variablen alphabetisch
 Alleinstehende Variablen vor zusammengesetzten
(gleiche Variable)
 Bei gleichen Variablen nach absteigender Potenz
Beispiel:
14ba2  4a2  a3  2  a3 
bs / 11