1 9. Bewegung im Zentralfeld Motivation: Wir werden im nächsten

10Wo_Zentralfeld_H-Atom_16/17-6-15
16-6-15
9.
Bewegung im Zentralfeld
Motivation: Wir werden im nächsten Kapitel sehen, dass das 2-Körper-Problem mit
abstandsabhängiger Wechselwirkung auf die Bewegung im Zentralfeld reduziert werden
kann, also z.B. mit dem H-Atom und den Atomspektren insgesamt zusammenhängt.
9.1
KM (nichtrelativistisch), vgl. entsprechende Kapitel des Skripts Mechanik.
Wähle ebene Polarkoordinaten (r,  ) mit Ursprung im Kraftzentrum. Die Erhaltungssätze
EES:
m 2 2 2
(r  r  )  U(r )  E
2
(9.1)
DIES: m r 2   L
reduzieren die 3D Bewegung auf eine 1D Bewegung
m 2
r  U eff (r )  E
2
im effektiven Potenzial
KM
U eff
( r )  U( r ) 
L2
.
2mr 2
(9.2)

Zentralfeldbarriere
Daraus ergeben sich die Bahnkurven r(t) und ( t ) bzw. (unter Verwendung von d 
r
r():
(r )   0   dr 
r0
r
2
L
.
2m E  U eff (r )
L
dt )
mr 2
(9.3)
Klassisch sind Bewegungen für beliebige Emin < E möglich. Zwischen Emin < E < 0 sind die
Bahnkurven Ellipsen, für E = 0 Kreise und für E > 0 Hyperbeln.
1
QM (nichtrelativistisch und ohne Berücksichtigung des Spins)
9.2
WF und Energieniveaus sind aus der stationären SG (Ortsdarstellung)
2
( 8.17 )
L̂
2 2
2 1   2  
Ĥ   E  , Ĥ  
  U( r )  
.
r
  U( r ) 
2
2m
2m r r  r 
2m r 2
(9.4)
mit der potenziellen Energie U(r) zu bestimmen.
2
Die Operatoren Ĥ , L̂ und L̂ z haben gemeinsame EF  VONS, denn
 Ĥ, L̂ 2   1

 2mr 2


 L̂ 2 , L̂ 2   0, Ĥ, L̂  1
z


2mr 2
2
da L̂ und L̂ z nicht auf Funktionen von r,
 L̂ 2 , L̂   0 ,
z



wirken. Zu lösen sind allgemein
r
2
Ĥ n  m s  E n  m s , L̂ n  m s   2 (   1) n  m s , L̂ z n  m s   m n  m s .
(9.5)
Wegen m   ,    1, ... ,   1,  sind die Energieniveaus bei qm Bewegung in allen
Zentralfeldern 2  +1-fach bzgl. der Magnetquantenzahl entartet.

Reduktion auf 1D Bewegung in U QM
eff ( r )
In Ortsdarstellung ist
Ĥ  nlm (r, , )  E  nlm (r, , )
(9.6)
zu lösen. Mit dem Ansatz
 nm ( r , , )  R n ( r ) Ym (, )
(9.7)
werden Radial- und Winkelanteil der WF separiert.
2
Mit (9.4) und (9.7) folgt nach Multiplikation mit
r2
R n Ym
2
1 d  2 dR n  2
1
1
2
2

L̂ Ym (, )  0 .
r
  r U( r )  r E 
2 m R n ( r ) dr 
dr 
2m Ym (, )


 

unabhängig von  und       const
unabhängig von r     const
Daraus ergeben sich Gleichungen für den Radialanteil

 2 1 d  2 dR n  

r
   U ( r )  2  R n  E R n
2
2 m r dr 
dr  
r 
(H1)
und den Winkelanteil der Wellenfunktion
2
L̂ Ym (, )  2m  Ym (, ) .
2
Letztere ist das EWP für den Operator L̂ (in Ortsdarstellung). Die Eigenwerte kennen wir
bereits, d.h., 2m    2 (   1) , also ist
2

(   1) .
2m
(H2)
2
Die Ortsdarstellung der Eigenfunktionen des Operators L̂ haben wir bereits in Kap. (8.4)
berechnet. Es sind die Kugelflächenfunktionen
Ym (, ) 
2  1 (   m )! m
P (cos ) exp( i m )
4 (   m )!



   Anteil
  Anteil
Normierung entsprechend ( 8.18 )
mit   0,1, 2 ... und m  0,  1,  2, ... ,   , vgl. (8.21).
Zwischenfazit: Für alle zentralsymmetrischen Potenziale U(r) stellen die
Kugelflächenfunktionen Ym (, ) den Winkelanteil der WF.
Von der expliziten Form des Potenzials hängt lediglich der Radialanteil R n ( r ) ab.
3
Durch die Substitution (r ) : r R (r ) (wir unterdrücken für einen Moment die Indices n  ) also
d 2
d 2
d 
d d
dR
1 1 d d  2 dR  d 
1
r
r
r
r
,
R ( r )  ( r ) ,









 2 




dr 2
dr 2
dr 
dr dr
dr
r
r dr dr  dr  dr 
r
lässt sich die "Radialgleichung" (H1) weiter vereinfachen. Unter Verwendung von (H2) ergibt
sich
 2 d 2  n 
 2 (   1) 
 n ( r )  E  n ( r ) ,  n ( r )  r R n ( r ) , (r  0)  0 .

  U( r ) 
2 m dr 2
2 mr 2 

(9.8)
Das ist die stationäre SG für eine eindimensionale Bewegung im effektiven Potenzial
U QM
eff ( r )  U ( r ) 
 2 (   1)
.
2mr 2
(9.9)
Mit (9.8) ist die Reduktion der 3D Bewegung im Zentralfeld U(r) auf eine 1D Bewegung in
einem effektiven Potenzial in Analogie zur KM abgeschlossen.
Formal ist der einzige Unterschied zur KM, dass in der Fliehkraftbarriere des effektiven
2
Potenzials der radialen SG das Quadrat des Drehimpulses L durch die Eigenwerte des
2
Operators L̂ zu ersetzen ist.
Die zusätzliche Randbedingung (r  0)  0 verhindert, dass R(r) (und damit die WF) an der
Stelle Null divergiert.
Anschaulich ist die Funktion  n ( r ) als Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte in einer
Kugelschale zu interpretieren:
2

 n ( r ) dr  R n ( r ) r 2 dr  d  d sin  Ym (, )
0
0



2
2
2
 1  Mittelung über alle Richtungen
ist die Wahrscheinlichkeit, das quantenmechanische Teilchen im Abstand r (r, r  dr ) vom
Kraftzentrum anzutreffen.
4
Einschub:
Darstellungsunabhängige Abspaltung der Radialbewegung und Reduktion auf
1D-Fall
KM:
p  p r e r  p  mit p r 
pr
r
.
2
Unter Berücksichtigung von L  r  p  r p  folgt sofort p  p 2r 
QM: Wir können den Radialimpuls p r 
pr
r
L2
r2
(A)
nicht einfach auf der Basis des
Korrespondenzprinzips durch den Operator p̂ r 
p̂  r̂
r̂
ersetzen. Dieser Operator wäre nicht
einmal hermitesch, da p̂ und r̂ nicht kommutieren. Stattdessen ist die symmetrisierte Form
p̂ r 
1  r̂  p̂ p̂  r̂


2  r̂
r̂



(B)
zu verwenden. Denkbar wäre jede Kombination p̂ r  
r̂  p̂
r̂
 (1  )
p̂  r̂
r̂
; die Forderung
p̂ r  p̂ r und die kanonische Vertauschungsrelation  p̂ r , r̂   i führen aber auf   1 / 2 .

2
Auf der Basis von (B) erhalten wir die zu (A) äquivalente Operator-Identität p̂  p̂ 2r 
L̂2
r2
und damit die SG
 p̂ 2r
 2 (   1) 

U
(
r̂
)

n  m s  En n  m s .
 2m
2 m r̂ 2 

In Ortsdarstellung ergibt sich wieder (9.8), denn
p̂ r n  m s 
1 r
r
( i)  ( i)

2 r
r
  1
i  r  3 1 r 

 ( r )   2  r  r  r  r  ( r )  i   r  r  ( r )


.

wegen r   ( r e r )  e r


1 
1
 


  r e r e r
 e
 e
r
r
r 
r sin    
r
r
.
5
10.
Wasserstoff-Atom (H-Atom)
(zunächst ohne Spin)
Die theoretische Deutung der umfangreichen experimentellen Daten zu den Atomspektren
war einer der ersten wichtigen Erfolge der QM.
Beim H-Atom wechselwirken ein Elektron (me, -e) und ein Proton (mp, e) über das
abstandsabhängige Coulomb-Potenzial miteinander (äußere Felder werden vernachlässigt).
Der qm Zustand des Systems wird (in Ortsdarstellung) durch die WF
i
 Et
~
 (r e , r p , t )   (r e , r p ) e 
beschrieben, wobei
2
 (r e , r p ) d 3 re d 3 rp
(10.1)
die Wahrscheinlichkeit angibt, das e- und das p in infinitesimalen Volumenelementen um die
Ort r e bzw. r p zu finden  2-Körperproblem.
Wie in der KM, werden wir das 2-Körperproblem auf eine eindimensionale Bewegung im
Zentralfeld zurückführen. Danach nutzen wir die Ergebnisse aus Kap. 9 und bestimmen die
Bindungszustände im Fall des anziehenden Coulomb-Potenzials, indem wir Glg. (9.8) für
U(r )  

e2
,  :
r
40
(10.2)
lösen. Die erhaltenen Ergebnisse entsprechen der nichtrelativistischen Behandlung des HAtoms ohne Spin.
2
2
Aus H(p e , p p , r e , r p )  p e / 2m e  p p / 2m p  U(| r p  r e|) ergibt sich mit der Korrespondenzregel
die zu lösend stationäre SG
~
Ĥ  (r e , r p )  E  (r e , r p ) , mit
Ĥ  
2 2 2 2
e 
 p  U(| r p  r e|) .
2m e
2m p
(10.3)
6
10.1
Schwerpunkts- und Relativbewegung
Wie in der KM führen wir Schwerpunkts- und Relativkoordinaten R bzw. r ein:
R :
me r e  mp r p
M
, r : r p  r e
(10.4)
Im Fall des H-Atoms ist me / mp ~ 1/2000 ~ 5.10-4 ; also ist die  Gesamtmasse M in guter
Näherung gleich der Protonenmasse und die  reduzierte Masse  stimmt in gleicher
Näherung mit der Elektronenmasse überein
 m 
memp
me
M : m e  m p  m p 1  e   m p ,  :

 me .
 m 
me  mp me
p 

1
mp
Aus (10.4) folgt  e 
m
me
 R   r ,  p  p  R   r und wegen  R ,  r   0
M
M

2
2

 2  me
2  mp



R r  
 R   r  

2m e  M
 2m p  M

2

1  2  2  m e
 2 2  2  1
   mp


R 

r 
 R  r 
 r  R 

2M
2  m e m p 
2m e  M
 2m p  M


.

Also hat die SG (10.3) bei Verwendung von Schwerpunkts- und Relativkoordinaten die Form
~
Ĥ  (R , r )  E  (R , r ) , mit
Mit dem Separationsansatz
Ĥ  
2 2 2 2
R 
 r  U(r ) .
2M
2
 (R , r )   R (R ) (r ) folgt
 2 2

2 2

 R  R (R )  2  r  U(r ) (r )
~
~

2M

 E wobei E : E R  E .
 (R )
(r )


R 
unabh . von r  setze gleich E R
unabhängig von R  setze gleich E
7
Der erste Term führt auf die Gleichung 
i
2 2
 R  R (R )  E R  R (R ) , aus der wir finden
2M
2
PR
1
P
 2k 2

E


und P  M R
e
,
wobei
 R (R ) 
R
(2 )3 / 2
2M 2M
(10.5)
finden.  R (R ) ist EF des Operators des Gesamtimpulses P̂ (der Schwerpunkt bewegt sich
geradlinig gleichförmig  "freies Teilchen").
Aus dem zweiten Term ergibt sich die Schrödinger-Gleichung der Relativbewegung
 2 2

 2  r  U(r )  (r )  E  (r )


(10.6)
die in sphärischen Koordinaten die Form (9.8) annimmt, vgl. Kap. 9.2.
FAZIT: Wie in der KM entkoppelt die freie (da keine äußeren Felder) Translationsbewegung
des Schwerpunkts von der potentialabhängigen Relativbewegung.
Die Wechselwirkung zwischen Proton und Elektron kann als Bewegung eines quantenmechanischen Teilchens mit der Masse  im zentralsymmetrischen Potenzial (10.2)
beschrieben werden.
Damit sind die Resultate aus Kapitel 9 für die Winkelanteile der WF übertragbar.
Ende 16-6.15
Beginn 17-6-15
8
10.2
Energiespektrum des H-Atoms
Wir wissen aus Kap. 9, dass bei Verwendung von der Symmetrie des Problems angepassten
sphärischen Koordinaten für die WF  (r )   nm (r, , ) 
 n ( r )
Ym (, )
r
gilt, wobei  n (r ) Lösung der Gleichung (vgl. (9.8))

 2 d 2  n    2 (   1) 
 n ( r )  E  n ( r ) ,  n (r  0)  0
  
2 dr 2  r
2r 2 
(10.7)
ist. Die Gleichung beschreibt die eindimensionale Bewegung im effektiven Potenzial
U QM
eff ( r )  
  2 (   1)
,   0,

r
2r 2
(10.8)
vgl. (9.9). Wir erwarten also diskrete Energieniveaus im Fall E < 0. Zur Lösung von Glg.
(10.7) führen wir eine neue unabhängige Variable  und den E-abhängigen Parameter  ein
1
 8E  2
 :   2  r ,
  
  8E
8 
 e2
 :
 
 
.
4E

16E 
2E 40
(10.9)

d 
Das führt auf die Gleichung  ' 

d 


 







 2
F 
F 
F 
F 
F

   F   e 2 ,   F e 2  e 2  e 2  e 2   F  F 
e
2
2
2
4
4



hebt sich weg 

( ) 
 1
(   1)
(  )     ( )  0 ,
2

 4
(10.10)
die wir analog der Vorgehensweise im Fall des harmonischen Oszillators mit der
Sommerfeld´schen Polynommethode lösen:



1
Asymptote für    : ( )  ( )  0  ( ) ~ e 2 (mögliche Lösung e 2 nicht
4
normierbar)
Abspaltung der Asymptote: (  )  F(  ) e


2
 F  F  (   1)
F
F
  0
2


.
9

Potenzreihenansatz: F( )   a k  k .
(10.11)
k 1
F( ) 


k a k  k 1 , F(  ) 
k 1
und


k( k  1) a k  k  2 
k 1

 (k  1)k a
k 1 
k 1


k 1
k a
k
 k 1  (   1)
k 1


F
( k  1) k a k 1  k 1 ,
2
k 1
a1
 (  1)


a
k 1 
k 1
k 1


k 1


a

a k  k 2 
k

a1

a k 1  k 1
 k 1

 k 1  0 ergeben
k 1

 (   1)
a1

 k 1  ( k  1) k a k 1  k a k  (   1) a k 1   a k   0 .
 k 1

Damit ist der Ansatz (10.11) nur dann Lösung von (10.10), wenn die Koeffizienten ak der
Potenzreihe der Rekursionsformel
a k 1 
k 
a k und a1 = 0, falls   0
k (k  1)  (  1)
(10.12)
genügen. Aus dieser Rekursionsformel folgern wir:
(i) Es muss a   0 gelten, denn für a   0 würden a 1 , a   2 usw. divergieren und die WF wäre
nicht normierbar. Also ist a  1  a  2  ...  a 0  0 .
(ii) Für große k ist a k 1 
1
1
a k also a k 
. Damit wüchse F( ) asymptotisch wie e  ,
k
k!

woraus sich (  ) ~ e 2 ergäbe, erneut unter Verletzung der Normierbarkeit. Also muss
die Potenzreihe bei einem bestimmten k abbrechen. Für diese natürliche Zahl k  n muss
k n 
(10.13)
gelten. Für die WF bedeutet das
F( )  Fn ( ) 
n
a
k   1
k
 k mit   n   und Rekursionsformel (10.12)
(10.14)
Außerdem stellt die Forderung k = n unter Berücksichtigung der Definition von  (10.9) eine
Quantisierungsbedingung für die Energie des Elektrons dar
En()  
1
e 4
, n    1,   2,... und   0,1, 2, ...
2 2
2( 40 )  n 2
(10.15)
10
 diskretes Energiespektrum. Die Energieeigenwerte/Energieniveaus hängen nur von der 
Hauptquantenzahl n ab. Zu vorgegebenem n sind die Bahndrehimpulsquantenzahlen 
Nebenquantenzahlen   0,1, 2, ..., n  1 möglich.
Da jedem  -Wert 2  + 1 verschiedene Werte der  Magnetquantenzahl m entsprechen,
ergibt sich eine n2 – fache Entartung der Energieniveaus im H-Atom, denn (arithmetische
Reihe)
n 1
 (2  1)  n
0
1  2( n  1)  1
 n2 .
2
Unter Berücksichtigung der Spin-Entartung des Elektrons ( s  1 / 2 ) von 2s +1 = 2 ist jedes
Energieniveau g n  2n 2 -fach entartet.
Das Energiespektrum (10.15) ist auch für andere zentralsymmetrische "Ein-Elektronenprobleme" gültig, wenn die Protonenladung e durch die Kernladung Ze ersetzt wird. Die
Kernladungszahl ist Z H  1 für Wasserstoff, Z He   2 für das Heliumion, Z Li2   3 für das
zweifach ionisierte Lithium-Atom usw.
Zuordnung der Quantenzahlen zu den Energiewerten
n 1 l  0
für "s Orbital"
(1s)
l  0 (2s)
n2
l  1 ( 2p)
l  0 (3s)
n3
m  0 E1  mit Spin 2-fach entartet,
m0


 E 2  mit Spin 8-fach entartet,
m  1, 0,1 
m0


l  1 (3p) m  1,
 E 3  mit Spin 18-fach,
l  2 (3d ) m  2,  1, 0,1, 2 
usw.
11

Emissions- und Absorbtionspektrum des H-Atoms.
Quantenmechanische Begründung des Ritz´schen Kombinationsprinzips
Die Wechselwirkung des e- mit einem äußeren Feld, z.B. dem Feld einer elektromagnetischen
Welle, kann Übergänge zwischen zwischen den diskreten Energieniveaus En auslösen (vgl.
Kap. Zwei-Niveau-Systeme und zeitabhängige Störungstheorie). Bei Übergängen von Em
nach En sind folglich (abgesehen von der  natürlichen Linienbreite) scharfe Spektrallinien
zu erwarten.
Vor der QM wurden die Wellenlängen der Spektrallinien des H-Atoms durch die empirische
Formel
1
1
 1
 R H   2  2   Ritz´sches Kombinationsprinzip (1905)

n 
 m
(10.16)
beschrieben. Die beobachteten Spektrallinien zu Übergängen aus oder zu einem bestimmten
Energieniveau wurden zu Serien zusammengefasst:
n
m
Name
Wellenlänge (in nm)
des ersten Übergangs
der Seriengrenze
(-Linie)
_______________________________________________________________________
1
2
Lyman
121
91,13
2
3 
Balmer
656
364,51
3
4
Paschen
1 874
820,14
4
5
Bracket
4 051
1 458,03
Die ersten Messungen ergaben für RH ein experimenteller Wert von etwa 1.1 107 m-1.
Mit einer Standardabweichung von 5 10-12 ist die Rydberg-Konstante heute die am genausten
gemessene Naturkonstante überhaupt. Der CODATA Wert 2010 ist
R H  10 973 731,568 539 (55) m 1 .
12
Im Vergleich zwischen Experiment und quantenmechanischer "Vorhersage" folgt
1
1 
e 4  1
  E n  E m mit (10.15)  
 2  und mit   2 / T  2 c /  für die
2
3  2
( 40 ) 2  n
m 
Rydberg-Konstante von RH der theoretische Wert
mee4
2 2 m e
RH 

4 c ( 4 0 ) 2  3
c h3
 e2 


4

0 

2
e, me
 10 973 731,8  1,2 m 1
0 , h , c
(10.16)
Dieser Wert ergab sich bereits aus dem Bohr-Sommerfeld´schen Atommodell.
Unter Berücksichtigung der endlichen Masse des Atomkerns (Elektronenmasse me durch die
reduzierte Masse ersetzen) ergibt sich die sogenannte Rydberg-Zahl
R : R   R H
 m 
mp
1

 RH
 RH
 R H 1  e   0,998 R H ,
 m 
m
me
m p  me
p 

1 e
mp
da. Der Effekt der Kernbewegung ist zwar gering, aber bei dieser Messgenauigkeit groß
genug, um den Wert der Rydberg-Konstanten zu beeinflussen
Einschub: In der Vorlesung wurden die beiden Zahlenwerte
R0 
e 4
e,  0
4 c ( 4 0 ) 2  3
me , m p
96
 1.069 775 7(95) 10 7 m 1  R Exp  1.0 69 775 9(1) 107 m 1.
0
verglichen. Es handelt sich dabei um Rydberg-Zahlen, leider waren aber die 6 und die 9 vertauscht; richtig ist die
Reihenfolge 1.069 …, denn 1.0974  0.998  1.0952 .
Für die Rydberg-Energie Ry folgt
Ry : h c R H  2   c R H  13,605 692 3 (12) eV
das ist die Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms.
Fazit: Die QM sagt nicht nur die Abhängigkeit 1/n2, sondern auch den Vorfaktor in (10.16)
korrekt voraus.
Die Abweichungen ergeben sich im wesentlichen aus relativistischen Effekten (z.B. die SpinBahn-Wechselwirkung), die die Feinstruktur der Spektrallinien bedingen (Größenordnung der
Korrekturen 2, E n / m e c 2 ~ 10-5 bis 10-4), infolge der Wechselwirkung zwischen Elektronenund Kernspin, welche die Hyperfeinstruktur des Spektrums verursacht, und durch die
Wechselwirkung des Elektrons mit den Freiheitsgraden des quantisierten elektromagnetischen Feld (Lamb-Shift, Ordnung 3). Diese Korrekturen werden im Kurs QMII des MasterStudiengangs aus der Dirac-Gleichung und im Rahmen der Quantenelektrodynamik (LambShift) berechnet.
13

e2
1 e2
(Gauß) bzw.  
(SI) ist die Sommerfeld´sche Feinstrukturkonstante, ein
c
4   0 c
Maß für die Stärke der Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen (hier den Elektronen)
und den Quanten des elektromagnetischen Feldes, den Photonen (vgl. Dirac-Theorie des
Elektrons).  ist experimentell messbar, z.B. aus dem Lamb-Shift, der Messwert ist
1 /   137.038 .
10.3
Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
Radialanteil
U abhängig

 (r )
 nlm (r, , )  nl
r

Ylm (, )



Winkelanteil der WF
für alle Zentralpotenziale
Radialanteil der WF (im Fall des Coulomb-Potenzials)
R n ( r ) 
 n (r ) Fn ( )  2

e
r
r
Fn ( ) 
mit
n
a
k   1
k
 k , a k 1 
k 
a k und
k (k  1)  (  1)
1
 8E  2
a1 = 0, falls   0 sowie  :   2  r .
  
Man kann zeigen, dass die so definierten Polynome Fn mit den Laguerre-Polynomen
Fn ( )  L2nl1 ( ) zusammenhängen, wobei
L k ( ) : e 

dk   k
e 
d k

die Laguerre-Polynome der Ordnung k und Lpk ( ) 
d p L k ( )
d p
die assoziierten Laguerre-Polynome der Ordnung p sind. In unseren Fall ist k  n  l und
p  2  1 zu setzen ( prüfen). In Kugelkoordinaten wird entsprechend

2

3
2
R n (r )  d  d sin  Ym (, )
 d r  nm (r)  0 dr r
 0
0
2


 nr ( r )
2
2
2
normiert.
1  Mittelung über alle Richtungen
14

Wellenfunktion der fünf energetisch niedrigsten Zustände des H-Atoms (Z = 1)
Grundzustand ( n = 1, 1s )
3
100 (r, , ) 
Z2
e
 a 3B

Zr
aB
, a B :
4  0  2
 0. 529177 10 10 m  Bohr´scher Radius.
2
e
Der Bohr´sche Radius definiert die atomare Längeskala; in der "alten" Quantentheorie (1913)
war das der Radius der "ersten strahlungslosen Bahn" des Elektrons. Die AWD ist
rotationssymmetrisch ("s-Orbital"). man überzeugt sich leicht davon, dass das Maximum von
r 2 exp  2r / a B  bei aB liegt.
Erster angeregter Zustand ( n = 2, 2s und 2p )
3
 200 (r, , ) 
Z2
8 a 3B

Zr
 1 
2a B

3
 210 (r, , ) 
 210 (r, , )  
Z2
32 a 3B
Z
3
32 a 3B
Zr
  2 aB
 e

Zr







sin  e  i  


2s – Zustand
Z r  2 aB
e
cos 
2a B
Zr
e
8a B
Zr

2 aB

2p – Zuständ
Man kann sich leicht davon überzeugen, dass
(i) die Asymptoten des radialen Anteils der Wellenfunktion für kleine und große Abstände
 
 r für kleine r  Fliehkraftbarriere


R  (r ) ~ 
  r  für große r  Normierung .
n
exp


 n aB 

 

sind. Mit steigender Hautquantenzahl n verschiebt sich also die radiale AWD zu größeren
Werten von r.
15
(ii) R n aufgrund der Eigenschaften der assoziierten Laguerre-Polynome genau N  n    1
Knoten, also positive Nullstellen, besitzt ( r = 0 und r =  nicht mitgerechnet).
(iii) Zustände zu   0 im Ursprung endlich sind während Zustände mit   1 im Ursprung
verschwinden.
10.4
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte "Elektronenwolke" im Wasserstoffatom.
Orbitale
2
Die Nullstellen der radialen AWD  nl (r )  0 bestimmen die Radien von Kugelflächen, auf
denen die AWD des e- gleich Null ist. Zwischen den n    1 Knoten gibt es n   lokale
Maxima, die in der Nähe der Bohr´schen Bahnen liegen.
Beispiele
Für Nebenquantenzahlen   n  1 , also für maximal mögliche   n  1 bei
■
gegebenem n , erhalten wir
n 1
 2 Z  1  2Z r 


 e
R n , n 1 (r )  

a
n
a
(
2
n
)!
B 
 B


Zr
2 aB
 r n 1 , r  0
2Z r

2

n aB
2n



.
Z r , r   , d.h.  n (r ) ~ r e


 exp   n a 
B 


WF und radiale AWD besitzen in diesen Zuständen keine Knoten. Das (einzige) Maximum
der AWD liegt bei rmax 
n2 aB
~ n 2 . Für die relativen Schwankungen des Abstands des eZ
vom Kern folgt
r2
n , n 1
r
 r
n , n 1
2
n , n 1

n
1
 0 (prüfen!).
2n  1
Bohr´sches Korrespondenzprinzip, der "klassische Bahnbegriff wird für große n brauchbar".
16

Winkelanteil der AWD
Nach Integration der vollen AWD  nlm (r )

d  dr r
2
0
über alle r folgt

 nm (r )  d  dr r
2
2
2
2
R n (r ) Ym (, )  d Ym (, )

0
2

 dr
2
 n (r ) : d w m ()

0

 

1
, d.h. der Winkelanteil der AWD ist rotationssymmetrisch bezüglich der z-Achse.
Zur anschaulichen Darstellung der Winkelverteilungen werden sogenannte Polardiagrame
verwendet. Dabei wird w m ()  Ym (, )
2
als Radiusvektor in ebenen Polarkoordinaten
( w m , ) aufgetragen. w m () gibt also die AWD in Richtung von  an. Durch explizite
Ausrechnung der Kugelflächenfunktionen finden wir (Übungsblatt mit Grafiken)
■   0, m  0 : w 00 () 
1
 s – Zustände/Orbitale, kugelsymmetrisch
4
■   1, m  0,  1 : w10 () 
3
3
cos 2  , w1, 1 ()  sin 2   p – Zustände/Orbitale,
4
8
 eine ausgezeichnete Richtung
■   2, m  0,  1,  2 :  d – Zustände/Orbitale,
w 20 () 


2
5
3 cos 2   1 ,
16
w 2, 1 () 
15 2
sin  cos 2  ,
8
w 2, 2 () 
15
sin 4 
32
Hier beginnt das große Gebiet der Atomspekten, das im Rahmen der Atomphysik ausführlich
behandelt wird …
17