Messreihen, Mittelwerte, Standardabweichung und Standardfehler

Übungsaufgaben - Organisatorisches
Der Abgabetermin der neuen Übungsblätter ist:
Montag, 14:00 Uhr
Fehlerrechnungsbriefkasten
Der Abgabetermin der verbesserten Übungsblätter ist:
Freitag, 16:00 Uhr
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 1
Güteklassen elektrischer Messinstrumente
Aber wie genau messen jetzt
meine Instrumente?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 2
Güteklassen elektrischer Messinstrumente
Die zulässigen Fehler elektrischer Messinstrumente werden
durch das Klassenzeichen angegeben.
Die Klassenangabe entspricht dem zulässigen Anzeigefehler in %:
z.B. 1,5% Fehler bei einem Gerät der Klasse 1,5
Dieser Fehler ist bezogen auf den Endwert oder auf die Summe der
Skalenlänge, wenn der Nullpunkt innerhalb der Skala liegt.
Endwert
Skalenlänge
Dies ist der Fehler, der auftreten darf !!
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 3
Ablesen bei analogen Messinstrumenten
Vollausschlag 150,0 V
Ablesung 118,8 V
Ablesegenauigkeit: Vorlesung 4 (Letzte Stelle ist geschätzt).
Schätzwert: Bestmögliche Schätzung (Messung) der Ablesung.
1% von 150 V entspricht 1,5V
Annahme 1: Feinmessgerät der Klasse 1
U = (118,8 ± 1,5) V
5% von 150 V entspricht 7,5V
Annahme 2: Betriebsmessgerät der Klasse 5
U = (118,8 ± 7,5) V
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 4
Fehler bei Digitalvoltmetern
Auszug aus der Praktikums-Geräteanleitung
Beispiel: 1V Messbereich
Anzeige 1,624 V
0,1% von rdg = 0,0016 V
0,1% von rng = 0,001 V
Insgesamt 0,0026 V
(1,624  0,003) V
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 5
Ablesen bei digitalen Messinstrumenten
Messung einer Spannung von 0,1624 V
Messbereich 10 V
Anzeige: 0,16 V
0,1 % range = 0,01 V
0,1 % reading = 0,00016 V
U = (1,6  0,1 )*10-1V
Messbereich 1 V
Messbereich 0,1 V
Anzeige: 0,162 V
Anzeige: 0,1624 V
0,1 % range = 0,001 V
0,1 % range = 0,0001 V
0,1 % reading = 0,00016 V
U = (1,62  0,01 ) *10-1V
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
0,1 % reading = 0,0002 V
U = (1,624  0,003 ) *10-1V
26.10.2017
Vorlesung 02- 6
Übungsaufgaben
Anmerkung wissenschaftliche Notation:
Zahlen zwischen 10‐3 und 103 kann man ausschreiben, wie in Aufgabe 3 und 6
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 7
Übungsaufgaben
Güteklasse 5 bedeutet 5 % von 12,50 V.
5 % von 12,50 V sind 0,625V.
Gerundet auf zwei signifikante Stellen ergibt 0,63 V.
Somit lautet das Endergebnis:
U = (9,83 ± 0,63) V
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 8
Übungsaufgaben
 = 134,7 oC
‐99,9 oC bis 999,9 oC
0,2 % der Ablesung (rdg = reading) plus 0,7 oC
0,2 % (134,7 oC) = 0,269 oC
a) (0,269 + 0,7) oC = 0,969 oC
b) (0,3 + 0,7) oC = 1,0 oC
= 0,97 oC
 = ( 134,7 ± 1,0 ) o C
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 9
Übungsaufgaben
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 10
Übungsaufgaben
sin(22 rad) = ?
FALSCH
sin(22 rad) = 0,374606593
sin(22 rad)  sin(22 Grad)
Grad  giga rad
sin(22 rad) = -8,851309289 10-3
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 11
Mein Taschenrechner – das unbekannte Wesen
sin(22 rad)  sin(22 Grad)
Denkaufgabe:
 = (136  3) Grad
sin () = 0,695  ?
Fehlerfortpflanzung: Wie pflanzt sich der Fehler von  in sin() fort ?
Denken Sie über eine Lösung nach!
Bedienungsanleitung Ihres Taschenrechners ist hilfreich:
Wie berechne ich Mittelwerte und Standardabweichung??
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 12
Erstabgabe Übung 1
6
5
4
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
3
2
1
nicht abgegeben
26.10.2017
Vorlesung 02- 13
Übungsaufgaben - Organisatorisches
Falls es zur Erstkorrektur Fragen/Unklarheiten gibt:
Fragen Sie Ihren Betreuer!
Studentenbüro: Mo - Fr besetzt von 10:45 Uhr bis 12:15 Uhr
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 14
Messreihen
Wie bestimme ich
die Messunsicherheit
in Messreihen?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 15
Begriffe
Modalwert
Median
Mittelwert
Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 16
Der Median
Der Median teilt die Grundgesamtheit in zwei Hälften gleicher Größe
Messung der Länge eines Stabes
Nummer der
Messung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
L/cm
26
24
26
26
23
24
25
24
25
Sortiert nach Größe:
23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 17
Der Median
Der Median teilt die Grundgesamtheit in zwei Hälften gleicher Größe
Messung der Länge eines Stabes
Nummer der
Messung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L/cm
26
24
26
26
23
24
25
24
25
28
Sortiert nach Größe:
23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26,28 Median
Ein Wert m ist Median einer Stichprobe, wenn höchstens die Hälfte der Beobachtungen einen Wert < m und höchstens die Hälfte einen Wert > m hat. Der Median m einer geordneten Stichprobe von n Werten ist dann:
n ungerade
 x n 1
 2
m 

1
  x n  x n  n gerade
1
 2  2
2 
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 18
Begriffe
Modalwert
Median
Mittelwert
Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 19
Mittelwert 1 – Arithmetischer Mittelwert
Messung der Länge eines Stabes
Nummer der
Messung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L/cm
26
24
26
26
23
24
25
24
25
28
Summation über alle Messwerte:
n
x
23  24  24 24  25 ....  28

10

x
i 1
n
i
 25,10
Arithmetischer Mittelwert
Seien n (einfach linear zusammenhängende) Werte xi (i ϵ {1; ...; n}) einer gemessenen Größe gegeben. Die Größe xa , die aus
1 n
x a   xi
n i 1
berechnet wird, wird arithmetisches Mittel oder arithmetischer Mittelwert genannt. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 20
Beispiel: Studiendauer Diplom
Semester
Anzahl der Absolventen
40
Anzahl
35
30
25
10
29
11
38
12
33
20
13
24
15
14
20
10
15
17
5
16
12
17
10
18
6
19
6
20
5
0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Studiendauer / Semestern
Die meisten der Studenten machen die Diplomprüfung nach 11 Semestern (Modus).
Die mittlere Studiendauer ist 12,5 Semester (Median). Liegt der Median zwischen zwei ganzen Zahlen, wird gemittelt, z.B. 12,5 Semester (Es gibt detailliertere Regeln).
Der Mittelwert der Studiendauer ist 13,2 Semester (Mittelwert – Mean)
Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 21
Mittelwert 2 – Geometrischer Mittelwert
1.
Jahr Wir kaufen Aktien für 1000 €
2.
Jahr
Aktienkurs steigt auf 1200 €
3.
Jahr
Aktienkurs steigt auf 1500 €
4.
Jahr
Aktienkurs fällt auf 1000 €  Wir verkaufen
Annahme, es gab weder Zinsen noch Dividenden
Trivialrechnung:
1.

2. Jahr +20 %
2.

3.Jahr +25 %
3.

4. Jahr ‐33 %
x 
20  25  33.33
 3,89 %
3
3,89 % pro Jahr bedeuten ca. 1121 € nach 3 Jahren
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 22
Mittelwert 2 – Geometrischer Mittelwert
Wachstumsfaktoren:
1.

2. Jahr 1200/1000 = 1,200
2.

3.Jahr 1500/1200 = 1,250
3.

4. Jahr 1000/1500 = 0,667
xgeo 
3
1, 200 1, 250  0, 667 
3
1, 0005  1, 00
Geometrischer Mittelwert
Seien n exponentiell zusammenhängende Werte xi (i ϵ {1; 2; ...; n}) Wichtigste Anwendung des geometrischen Mittelwertes bei einer gemessenen Größe gegeben. Die Größe xg , die aus
durchschnittliche Wachstumsfaktoren.
n
x

Wachstumsfaktor: Neuer Wert dividiert durch alten Wert
xg  n
i
i 1
berechnet wird, wird geometrisches Mittel oder geometrischer Mittelwert genannt. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 23
Zusammenfassung Mittelwerte
Der arithmetische Mittelwert
1 n
x   xi
n i 1
Der geometrische Mittelwert
x 
x 
Der quadratische Mittelwert
Der Median
n
x1x2 xn
1 n 2
xi

n i1
Derjenige Wert, der in der
Mitte steht, wenn man die
xi der Größe nach sortiert
Weitere Möglichkeiten der Angabe von mittleren Werten
Der häufigste Wert (Modus oder Modalwert)
!!!Bimodale Verteilung !!!
Das arithmetische Mittel aus dem kleinsten und größten
vorkommenden Wert
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 24
Messreihen
Messung der Länge eines Stabes
Wie bestimmt man den Fehler einer Messung aus einer Messreihe?
Nummer der
Messung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L/cm
26
24
26
26
23
24
25
24
25
28
Sortieren der Werte nach Klassen
Werte xk
23
24
25
26
27
28
Anzahl der Messwerte
1
3
2
3
0
1
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 25
Mittelwertbildung
Messung der Länge eines Stabes
Werte xk
23
24
25
26
27
28
Anzahl der Messwerte
1
3
2
3
0
1
Summation über alle Messwerte:
1 n
x   xi
n i 1
x
i

x

i
n
23  24  24 24  25 ....  28
10

25,10
Summation über alle Klassen:
x 
n
k
 x n
k
k
k
x

n
n
x 
x
k
k
n
 nk

 23 1  (24  3)  (25  2 )  ....   28 1
10
 Fk xk , wobei Fk 
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
nk
n
F
k
1
k
Vorlesung 02- 26
Histogramm / Stabdiagramm
Beispielhaftes Histogramm zu einer Messreihe:
Messung der Länge eines Stabes
Werte xk
23
24
25
26
27
28
Anzahl der
Messwerte
1
3
1
3
0
2
Anzahl der Messwerte
3
2
1
0
21 22 23 24 25 26 27 28 29
Länge/cm
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 27
Einschub: Wie fasse ich Werte sinnvoll zu Klassen zusammen ?
Weitere Messreihe: Messung der Länge eines Stabes
L/cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
26,4
23,9
25,1
24,6
22,7
23,8
25,2
23,8
25,3
25,4
In diesem Beispiel ist das Zeichnen eines Stabdiagramms wenig sinnvoll
Faustregel für die Anzahl der Klassen k  5 * lg (n).
Häufig reicht auch n
Zusammenfassung der Messwerte zu Klassen
Klasse
22 bis
23
23 bis
24
24 bis
25
25 bis
26
26 bis
27
27 bis
28
Anzahl der
Messungen
1
3
1
4
1
0
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 28
Einschub: Wie fasse ich Werte sinnvoll zu Klassen zusammen ?
Klasse
22 bis
23
23 bis
24
24 bis
25
25 bis
26
26 bis
27
27 bis
28
Anzahl der
Messungen
1
3
1
4
1
0
4
Anzahl der Messwerte
Das Zusammenfassen von Messwerten
zu Klassen ist ein wichtiger Vorgang in
der Statistik und wird in den
Vorlesungen zu Verteilungsfunktionen
und Signifikanztest ausführlich
diskutiert.
3
2
1
0
20 21 22 23 24 25 26 27 28
Länge /cm
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 29
Einschub: Betrug mit graphischen Darstellungen
Typisches Wahlvolk:
18 bis 81 Jahre
Aufteilen in:
18 bis 49: 51 %
50 bis 81: 49 %
Realistisches Wahlvolk:
18 bis 101 Jahre
Aufteilen in:
18 bis 59: 68 %
60 bis 101: 32 %
Ist das jetzt die Dominanz der Jungen ?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 30
Bedeutung des Mittelwertes
Wir erinnern uns:
Für zufällige Fehler gilt:
Positive und negative Abweichungen sind gleich häufig
Die Häufigkeit des Vorkommens nimmt mit dem Absolutbetrag des Fehlers ab
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers Null besitzt ein Maximum
Erwartungswert E(X)
Seien  die Ergebnisse bei einem (Wahrscheinlichkeits‐)Experiment aus der Interpretation von Nikolaus Bernoulli
(1709):
Gesamtheit aller Ergebnisse, dem Ergebnisraum . Sei X() eine reelle Zahl, die Das mit ihren Wahrscheinlichkeiten gewichtete arithmetische dem Ergebnis  zugeordnet ist, und P({}) eine gegebene Wahrscheinlichkeit zu Mittel der Werte einer Zufallsgröße ist der Erwartungswert der dem einzelnen Ereignis . So bezeichnet man die Zahl E(X), die aus
Zufallsgröße.
E ( X ) :
X ( )  P({})



berechnet wird, als Erwartungswert der Zufallsgröße X().
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 31
Messreihen
Wie bestimmt man den Fehler einer Messung aus einer Messreihe?
Anzahl der Messwerte
3
2
Wie verlässlich kennen wir den
Erwartungswert?
Wie sehr streuen die Daten?
Wie breit ist die Verteilung der Daten?
1
0
21 22 23 24 25 26 27 28 29
Länge/cm
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 32
Die Stichprobe
Um den mathematisch exakten Erwartungswert zu bestimmen, müssen wir die
Grundgesamtheit kennen. Es gibt aber unendlich viele mögliche Messwerte!
Wir müssen den Erwartungswert
schätzen
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 33
Übergang zur Grenzverteilung
10 Messungen
100 Messungen
250 Messungen
g
1000 Messungen
3
20
200
200
150
150
100
100
50
50
0
0
40
15
10
Häufigkeit
Häufigkeit
Häufigkeit
2
20
1
5
0
3005
3004
3003
3002
3001
3000
2999
2998
2997
2996
2995
3005
3004
3003
3002
3001
3000
2999
2998
2997
2996
3005
3004
3003
3002
3001
3000
2998
2997
2996
2995
3005
3004
3003
2999
Länge /mm
0
2995
Länge / mm
3002
3001
3000
2999
2998
2997
2996
2995
0
Länge / mm
Mit zunehmender Anzahl der Messungen wird ein Histogramm glatter und regelmäßiger.
Die Breite der Kurve ändert sich nicht.
Mit zunehmender Zahl der Messungen kann die Breite und der Mittelwert verlässlicher
angegeben werden.
Wenn die Anzahl der Messungen gegen unendlich geht, nähert sich die Verteilung
einer stetigen Kurve.
Eine solche Verteilung heißt Grenzverteilung oder Grundgesamtheit.
Mehr zur Normalverteilung folgt in den späteren Vorlesungen
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 34
Unsere Messung ist eine Stichprobe
Wenn wir wirklich nur zufällige Fehler haben können wir den
Erwartungswert über das arithmetische Mittel schätzen.
Diese Schätzung wird besser sein, je mehr Messwerte wir haben.
Aber wie gut ist sie wirklich?
Wir benötigen ein Streuungsmaß!
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 35
Die Varianz
Die Varianz ist ein Maß für die "Breite" der Verteilung der Messwerte

2
x
1

n
n
2


x


 i
i1
Bei obiger Definition ist  der wahre Mittelwert der Verteilung.
Dieser ist aber nicht bekannt.
Daher wird  durch den gemessenen Mittelwert x ersetzt.
Der Mittelwert muss aus der Datenmenge berechnet werden.
Dieser ist jedoch nur mit einer Unsicherheit bekannt.
Dies zwingt zur Einführung der Stichprobenvarianz.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 36
Die Standardabweichung
Varianz:

2
x
1

n
n
2


x


 i
i1
Die Messgrößen besitzen eine Einheit.
In unserem Beispiel waren das mm.
Somit hat die Varianz die Einheit mm2 .
Sinnvoll ist eine Größe mit der gleichen Dimension wie der Messwert.
Standardabweichung:
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
x 

2
x
26.10.2017

1
n
n
  xi   
2
i 1
Vorlesung 02- 37
Die Stichprobenvarianz
Können wir einfach durch den Mittelwert ersetzen?
Zx
2
1 n
2
   xi  x 
n i 1
Schauen wir uns den Erwartungswert von Zx2 an:
1  n
1 n
2
2
E ( Z x )  E    xi  x    E    xi      x  
 n i 1
 n  i 1

a
‐b
2


1  n
2
2 
 E    xi     2  xi   )( x      x    
n  i 1

Erinnerung:
1 n
x   xi
n i 1
n
1  n
2
2
 E    xi     2  xi   )( x     n  x    
n  i 1
i 1

1  n
2
2
 E    xi     2n  x   )( x     n  x    
n  i 1

T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 38
Die Stichprobenvarianz
1  n
2
2
E ( Z x )  E    xi     2n  x   )( x     n  x    
n  i 1

2
1  n
2
2
 E    xi     n  x    
n  i 1





1 n
2
2 
   E  xi     nE  x    
n  i 1

Erinnerung:
1
Var ( x) 
n

n
  xi   
i 1
 E x
2

2


1 n
2 
   Var ( x)  nE  x    
n  i 1


1
 nVar ( x)  nVar ( x ) 
n
 Var ( x)  Var ( x )   x 
2
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
 x2
n
26.10.2017

n 1 2
 x   x2
n
Vorlesung 02- 39
Kurze Zwischenrechnung
Wie groß ist Var ( X ) ?

X
1 n
X i , mit identisch verteilten Zufallsgrößen X 1 , X 2 ,..., X n .

n i 1
Die Zufallsgrößen Xi seien unabhängig. Dann gilt:
1 n

Var   X i 
 n i 1 

1
 n

Var
X
 i 
n2
 i 1 

Weiter:
1
n2
Erinnerung:
n
Var ( X )
i 1
i

1
Var ( x) 
n
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
1
2
n


2
n
1
n2
Var ( X )
2
n
n
i 1
i
.
n
2


x


 i
i1
26.10.2017
Vorlesung 02- 40
Die Stichprobenvarianz
1  n
2
2
E ( Z x )  E    xi     2n  x   )( x     n  x    
n  i 1

2
1  n
2
2
 E    xi     n  x    
n  i 1





1 n
2
2 
   E  xi     nE  x    
n  i 1

Erinnerung:
1
Var ( x) 
n

n
  xi   
i 1
 E x
2

2


1 n
2 
   Var ( x)  nE  x    
n  i 1


1
 nVar ( x)  nVar ( x ) 
n
 Var ( x)  Var ( x )   x 
2
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
 x2
n
26.10.2017

n 1 2
 x   x2
n
Vorlesung 02- 41
Die Stichprobenvarianz
 x2
n 1 2
 x   x2
n
n
Die Varianz ist nicht erwartungstreu!
E ( Z x )  Var ( x)  Var ( x )   x 
2
2

ABER: Diesen Vorfaktor können wir einfach berücksichtigen!
Wir wählen statt Zx2 einfach:
n
 
1
s 
 xi  x
n 1 i  1
2
x
Es ergibt sich dann sofort:
2
E ( sx 2 )   x 2
Kleine Hausaufgabe falls nicht offensichtlich: Prüfen Sie das!
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 42
Die Stichprobenstandardabweichung
(mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung).
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz
sx

1
n 1
n
  xi  x 
2
 n  1
i 1
sx wird auch als Stichproben-Standardabweichung bezeichnet.
Die (Stichproben)Standardabweichung ist ein Maß für die Genauigkeit der Messmethode
Unsere eigentliche Frage war aber eine andere:
Wie verlässlich kennen wir den Erwartungswert?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 43
Standardfehler des arithmetischen Mittelwertes
Wir haben eine Grundgesamtheit, deren genaue Verteilung unbekannt ist,
mit Mittelwert  und Standardabweichung 
Wir machen eine Stichprobe von n Messungen und
erhalten einen Mittelwert x und eine Stichprobenstandardabweichung s.
Unser Mittelwert ist gegeben durch:
x

1 n
xi

n i 1
Wir betrachten nun die Schätzfunktion:
X

1 n
 X i , mit identisch verteilten Zufallsgrößen X1 , X 2 ,..., X n .
n i 1
Wie sieht die Verteilung der X aus?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 44
Standardfehler des arithmetischen Mittelwertes
Wie groß ist Var ( X ) ?
X

1 n
X i , mit identisch verteilten Zufallsgrößen X 1 , X 2 ,..., X n .

n i 1
Die Zufallsgrößen Xi seien unabhängig. Dann gilt:
1 n

Var   X i 
 n i 1 

1
 n

Var
X
 i 
n2
 i 1 

Weiter:
1
n2
n
Var ( X )
i 1
i
1
2
n


2
n

Damit:
 (X )


n
1
n2
Var ( X )
2
n
n
i 1
i
.
.
Der Standardfehler ist ein Maß für die Genauigkeit der Angabe des
Mittelwertes.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 45
Der Standardfehler
Neben der Standardabweichung, die ein Maß
für die Genauigkeit der Messmethode ist,
gibt es den Standardfehler, der ein Maß für
die Verlässlichkeit der Angabe des Mittelwertes ist.
sx
sx

n
Dies ist also der entscheidende Wert für die Angabe von Messgenauigkeiten!
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung)
26.10.2017
Vorlesung 02- 46