Mechanik-1b

Mechanik-1b
Eindimensionale Bewegung: Geschwindigkeit
Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
Beispiel: Momentangeschwindigkeit
Beschleunigung
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Beispiel: Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Gleichförmig beschleunigte Bewegung, g
Zweidimensionale Bewegung: Vektoren – Grundlagen
Radiant, Einheitskreis, sin, cos, tan
Produkt von Vektoren
Rechenregeln: Cosinus-Satz, Sinus-Satz, Vektorprodukt
Verschiebungsvektor, Geschwindigkeitsvektor
Beschleunigungsvektor
Wurfbewegungen, Flugbahn
Beispiel
Gleichförmige Kreisbewegung
Beispiel: Kreisbewegung
2
3
4
5
7
10
12
13
15
16
18
19
20
21
22
25
27
fh-pw
Mechanik-1b 1
Eindimensionale Bewegung: Geschwindigkeit
∆x, ∆t
Kinematik
Beschreibung
von Bewegungen
x1,t1
x0 ,t0
0
Geschwindigkeit : v =
Ort
x
Weg ∆x x1 − x0
=
=
Zeit ∆t t1 − t0
Verschiebung : ? x = x1 − x0
Zeitintervall : ?t = t1 − t0
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Mechanik-1b 2
x
Konstante Geschwindigkeit
ð Steigung der Geraden im
Weg-Zeit Diagramm
x1
x0
t0
t1 fh-pw
t
Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
v ≠ const
x
2
x3
x2
3
Durchschnittsgeschwi ndigkeit
( x3 − x0 ) ( x2 − x0 ) ( x1 − x0 )
≠
≠
(t3 − t0 )
(t2 − t0 )
(t1 − t 0 )
1
x1
x0
0
∆t2
∆t3
t1
t2
t3
t
fh-pw
Mechanik-1b 3
∆x
∆t
 ∆x 
Momentange schwindigk eit v := lim  
∆ t → 0 ∆t
 
" erste Ableitung von x nach der Zeit t "
dx
v :=
Steigung der Tangente
dt
∆t 1
t0
v=
Beispiel: Momentangeschwindigkeit
Rechenrege ln :
dA
=0
für A = const .
dt
d
t =1
dt
x = At n
dx d
=
At n = Ant n −1
dt dt
dx d
v :=
= x = x&
dt dt
( )
Mechanik-1b 4
Beispiel : x = At 2 ges : v (t1 )
v=
d
d
At 2 = A t 2 = 2 At
dt
dt
v (t1 ) = 2 At1
∆x x 2 − x1 At 22 − At12
=
=
∆t
t2 − t1
t2 − t1
∆t = t2 − t1
⇒ t 2 = t1 + ∆ t
∆x A(t1 + ∆t ) 2 − At12 At12 + 2 At1∆t + A( ∆t ) 2 − At12
=
=
∆t
∆t
∆t
= 2 At1 + A∆t
 ∆x 
lim   = lim [2 At1 + A ∆t ] = 2 At1
∆t →0 ∆t
  ∆t → 0
fh-pw
Beschleunigung
Gleichförm ige Beschleuni gung :
B
v2
a :=
∆v
v1
a : ms − 2
Momentanbe schleunigu ng :
A
∆t
t1
[
∆v v2 − v1
=
∆t t 2 − t1
t2
Momentanbeschleunigung
Durchschn. Beschleunigung
t
 ∆v 
a = lim   oder
∆t →0 ∆t
 
dv d dx d 2 x
a :=
=
= 2 = &x&
dt dt dt dt
Konstante Beschleuni gung :
v − v0 = at
fh-pw
Mechanik-1b 5
]
Konstante Beschleunigung
p
p
Gerade im v-t Diagramm
Steigung der Geraden = Beschleunigung
ð Linearer Zusammenhang zwischen v und t
fh-pw
Mechanik-1b 6
Gleichförmig beschleunigte Bewegung ⇒ x=x(a,t)
Gravitations-, Erdbeschleunigung, g
v, x&
x
a = const.
vt
&x&
v
a = const.
a
v0
t
0
0
v=
1
(v0 + v)
2
x0
t
t
0
t
Ausgangsgl eichung : x = x 0 + v t
1
( v0 + v)
2
at = v − v0 bzw. v = at + v 0
Mittelwert der Geschwindi gkeit : v =
Konst. Beschleuni gung :
Einsetzen von v und v in Ausgangsg leichung
1
1
x = x0 + (v 0 + at + v 0 )t ⇒ x = x0 + v 0t + at 2
2
2
Freie Körper nahe der Erdoberfläche
bewegen sich mit einer Beschleunigung
g ≈ 9,81 ms-2 in Richtung Erdmittelpunkt.
(Luftwiderstand wird vernachlässigt)
fh-pw
Mechanik-1b 7
⇒ x=x(a,t)
Integration
Ableitung
x→v→a
v=
d
x
dt
a=
2
d
d
v= 2 x
dt
dt
x←v←a
Integration
geg. : a , ges. : Funktion v mit
d
v=a
dt
(v = ' Stammfunkt ion' von a )
v = at + v0 mit v0 = const ., denn
dv0
=0
dt
v0 = Integratio nskonstante
Rechenrege l :
n
at
∫ dt =
a n+1
t +b
n +1
d  a n +1

Beweis :
t + b =

dt  n + 1

(n + 1) a t n + db = at n
n +1
dt
v = ∫ adt = at + v0
1
x = ∫ vdt = ∫ (at + v0 )dt = at 2 + v0 t + x0
2
fh-pw
Mechanik-1b 8
Integration
Zerlegung in Zeitinterv alle
v
Verschiebu ng ∆xn = vn ∆tn
vn = mittlere Geschwindi gkeit
vn
Aufsummier en : ∆x = ∑ vn ∆tn
n
Grenzwertb ildung : ∆x = lim
∆ t n →0
t1
∆t n
t2
t
es gilt : ∆x = lim
∆t n → 0
t2
n
n
∑ v ∆t = ∫ vdt
n
n
n
t1
Verschiebu ng ∆xn = Fläche des Segmentes unter der Kurve
fh-pw
Mechanik-1b 9
∑ v ∆t
n
Beispiel: Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Auto beschleunigt, amax = 0,5 g , v0 = 0
Körper wird ein Jahr lang mit g beschleunigt.
Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0
Ges. : Zeit und zurückgelegte Entfernung
Ges. : Endgeschwindigkeit
bis Geschwindigkeit v = 100 kmh−1
v = v 0 + at → v = gt = 9,81 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 m/s
v = v0 + at = at
v 100 ⋅ 1000
1
→t = =
⋅
s = 5,66 s
a
3600
0,5 ⋅ 9,81
v = 3,09 ⋅ 10 8 ms -1
( v > c !! )
Anm. :
Relativistische Korrekturen notwendig
für v ≈ c
x=
1 2
at = 0,5 ⋅ (0,5 ⋅ 9,81) ⋅ 5,66 2 m = 78,57 m
2
fh-pw
Mechanik-1b 10
Gleichförmig beschleunigte Bewegung ⇒ x=x(a,v)
Ges. Zusammenhang zwischen Entfernung und Geschwindigkeit bei gleichförmiger
Beschleunigung:
Beispiel : Rakete soll in 300 km Höhe eine
Bei konstanter Beschleuni gung gilt :
v − v0
at = v − v0 bzw. t =
a
Geschwindi gkeit von 40 000 km/h haben.
Ges. gleichförm ige Beschleuni gung
Startrampe : v0 = 0, x 0 = 0
1
Ausgangsgl eichung : x = x0 + v0t + at 2
2
2
v 2 − v02
 v − v0  1  v − v0 
x = x0 + v0 
 + a
 = x0 +
a
2
a
2a




v 2 − v02
es gilt : ∆x = x − x0 =
2a
einsetzten : ∆x = 300 km, v = 40000 km/h
2 ax = v 2
2
v 2 − v02
∆ x = x − x0 =
2a
v2
1

4 1000 
−2
a=
=
4
⋅
10
ms


2 x 2 300 ⋅ 10 3 
3600 
a = 206 ms −2 ≈ 21 g
(
)
fh-pw
Mechanik-1b 11
Gleichförmig beschleunigte Bewegung, g
v g
Apfel und Feder werden im Vakuum
zugleich losgelassen :
(kein Luftwiders tand)
→ konstante Beschleunigung g
→ Geschwindi gkeit nimmt linear zu
v = v0 + at = at
→ zurückgele gter Weg ist
proportion al zu t 2
1
1
x = x0 + v0 t + at 2 = gt 2
2
2
fh-pw
Mechanik-1b 12
Zweidimensionale Bewegung: Vektoren - Grundlagen
P
Vektoren:
Größen mit Betrag und Richtung (Verschiebung, Kräfte,
Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, elektr. Feld, ...)
−r
r
r
r , r , rrˆ
Skalare:
0,5 r
O
Größen nur mit einem Betrag (Masse, Temperatur, Entfernung, ...)
A
Es gilt :
A
A
B
)
(-B
A+
A
B+ B
A+
B
A-
B
B
A
-B
A+ B = B + A
A + (B + C ) = ( A + B ) + C
k ( A + B ) = kA + kB
A − B = A + ( − B)
Achtung: nicht alle Größen mit Richtung und Betrag lassen sich als Vektor
darstellen (Bsp. Drehungen)
fh-pw
Mechanik-1b 13
Komponenten eines Vektors, Einheitsvektoren
y
Komponenten eines Vektors : Projektion des Vektors auf
die Achsen eines (rechtwinkeligen) Koordinatensystems
A
θ
Ay
x
Ax
Rechtwinkelige Komponenten :
Ax = A cosθ
A = ( Ax , Ay )
Ay = A sin θ
tan θ = Ay Ax
Vektorkomponenten sind Skalare!
Betrag (Länge) des Vektors :
r
ry
r̂
Mechanik-1b 14
r = r = rx2 + ry2
Einheitsve ktor rˆ =
rx
xˆ = 1
y
r
, rˆ = 1
r
r = (rx , ry ) = rx xˆ + ry yˆ
yˆ = 1
ŷ
x
x̂
fh-pw
Radiant, Einheitskreis, sin, cos, tan
π
2
1 rad = Winkel, beim dem die Länge des
Kreisbogens ( = Teillänge des Umfangs)
sinθ
tanθ
r
π
0
π
rad = 90 °
2
Vektor am Einheitskreis r,
3π
2
sin θ =
r
ry
θ
Mechanik-1b 15
⇒ 360° → 2π rad,
2π
cosθ
dem Radius enstpricht
Einheitskreis (Radius r = 1), Umfang = 2rπ = 2π
0
rx
rt
1
ry
r
= ry
cosθ =
r = r =1
rx
= rx
r
fh-pw
tan θ =
rt
= rt
1
Produkt von Vektoren:
Skalarprodukt (Punktprodukt)
A
θ
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
C = A × B = Cˆ AB sin θ
A
os
Bc
θ
B
A× B = −B × A
A× A = 0
θ
C = A × B = Vektor senkrecht
B
Acos
θ
C
A ⋅ B = AB cos θ
A⋅ B = B ⋅ A
A ⋅ A = A2 = A
xˆ ⋅ yˆ = 0
2
auf Ebene die durch A und B
aufgespann t wird mit der
Länge AB sin θ
da : cos 0 = 1
da : cos
π
=0
2
A
B
fh-pw
Mechanik-1b 16
Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten
z
A = ( Ax , Ay , Az ) = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ
B = (Bx , By , Bz ) = Bx xˆ + B y yˆ + Bz zˆ
ẑ
A × B = ( Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ )× (Bx xˆ + By yˆ + Bz zˆ )
= Ax By ( xˆ × yˆ ) + Ax Bz ( xˆ × zˆ ) + Ay Bx ( yˆ × xˆ )
+ Ay Bz ( yˆ × zˆ ) + Az Bx (zˆ × xˆ ) + Az By (zˆ × yˆ )
wobei gilt :
xˆ × xˆ = yˆ × yˆ = zˆ × zˆ = 0
xˆ × yˆ = zˆ, yˆ × zˆ = xˆ , zˆ × xˆ = yˆ
yˆ × xˆ = − zˆ, zˆ × yˆ = − xˆ , xˆ × xˆ = − yˆ
A
ŷ
x̂
x
 Ax 
 
A =  Ay ,
A 
 z
Az
y
Ax
Ay
 Bx 
 
B =  By 
B 
 z
 Ax   Bx   Ay Bz − Az B y 

    
A × B =  Ay  ×  By  =  Az Bx − Ax Bz 
A  B  A B − A B 
y x
 z  z  x y
fh-pw
Mechanik-1b 17
Rechenregeln:
Cosinus-Satz
A− B = C
Sinus-Satz, Vektorprodukt
C
B
A
Skalarprodukt mit sich selbst
( A − B )⋅ ( A − B ) = C ⋅ C
A ⋅ A + B ⋅ B − 2 AB cos( A, B ) = C ⋅ C
A2 + B 2 − 2 AB cos( A, B ) = C 2
A⋅ B
cos( A, B ) =
AB
Bsp. : cos( A, B ) =
A+ B = C
Vektorprodukt mit A bilden
A × (A + B) = A × A + A × B = A × C
0 + AB sin( A, B ) = AC sin( A, C )
sin( A, B ) sin( A, C )
=
C
B
Bsp. : A × B = nˆ AB sin( A, B ), mit nˆ ⊥A, B
Ax Bx + Ay B y
Ax2 + Ay2 Bx2 + By2
sin( A, B ) =
Ax By − Ay Bx
Ax2 + Ay2 Bx2 + By2
fh-pw
Mechanik-1b 18
Verschiebungsvektor, Geschwindigkeitsvektor
Weg eines Körpers in der x - y Ebene
y
Ortsvektor ra (t1 ), rb (t 2 ), ∆t = t 2 − t1
v
Verschiebu ngsvektor ∆r = rb − ra
A
ra
∆r
B
Vektor der Momentange schwindigk eit :
rb
O
Vektor der mittleren Geschwindi gkeit : v =
x
∆ r dr
=
= r&
∆ t → 0 ∆t
dt
v = lim
∆r = rb − ra = ( xb − xa ) xˆ + ( yb − ya ) yˆ = ∆xxˆ + ∆xyˆ
∆r
∆xxˆ + ∆xyˆ dx
dy
ˆ
v = lim
= lim
=
x+
yˆ = x&xˆ + y&yˆ
∆t →0 ∆t
∆ t →0
∆t
dt
dt
Mechanik-1b 19
fh-pw
∆r
∆t
Beschleunigungsvektor
∆v
Vektor der mittleren Beschleuni gung : a =
∆t
∆v d v
=
∆t →0 ∆t
dt
Vektor der Momentanbe schleunigu ng : a = lim
a=
dv
d
= v& = ( x&xˆ + y&yˆ ) = &x&xˆ + &y&yˆ
dt
dt
Beschleunigung: Änderung des Geschwindigkeitsvektors
• Änderung des Betrages oder
• Änderung der Richtung der Geschwindigkeit
Beschleunigung bei konstanter Geschwindigkeit möglich
(z.B.: Kreisbewegung)
fh-pw
Mechanik-1b 20
Wurfbewegungen, Flugbahn
a=
−g yˆ
Konstante Beschleuni gung :
a = (a x , a y ) = (0,− g )
Geschwindigkeit : v0 = (v0 x , v0 y )
v0 = (v0 cosθ , v0 sin θ )
v = v(t ) = (v0 x , v0 y + ( − g )t )
Verschiebung : ∆r = (? x, ∆y)
? x = v0 x t
y
v0
v0 y
1
∆y = v0 y t − gt 2
2
v0x
− gt
− gt
θ
Mechanik-1b 21
v0x
x
Vertikale Position ist unabhängig
fh-pw
von der
Horizontalbewegung
Beispiel: Wurfparabel
Geg. : v0 , θ
y
1 2
gt
∆ x = v0 x t
(Verschieb ungen)
2
mit : v0 x = v0 cos θ , v0 y = v0 sin θ
∆ y = v0 y t −
v0
h
Lösung von t für ∆y = 0 suchen
θ
v0 x
t0
Ges. : Flugzeit, Entfernung , Flughöhe
t1
d x
t2
1 

∆y = t  v0 y − gt  = 0 ⇒
2 

Entfernung : d = ∆xmax = v0 x t 2 = v0 x
maximale Flughöhe wenn v y = v0 y − gt = 0 ⇒ t1 =
1
einsetzen in ∆y = v0 yt − gt 2
2
t 0 = 0 und
1
⇒ h = v0 yt1 − gt12
2
v0 y
=
g
t2 =
2 v0 y
g
2v0 y
g
(= halbe Flugzeit)
v02y
2
1 v0 y
− g
g 2 g2
2
bzw.
1 v0 y
h=
(Flughöhe)
2 g
fh-pw
Mechanik-1b 22
(Flugzeit)
Beispiel: Wurfparabel, maximale Weite
Geg. : v0
y
Ges. : maximale Entfernung x max
1 2
gt
2
∆x
∆x
t=
=
v0 x v0 cosθ
∆ y = v0 y t −
v0
xmax(θ)
∆ x = v0 x t
mit : v0 x = v0 cos θ , v0 y = v0 sin θ
einsetzen in Gleichung für ∆y
2
θ
x
xmax
x max
 ∆x  1  ∆x 
 − g 

∆y = v0 sin θ 
 v0 cosθ  2  v0 cosθ 
2
sin θ
g xmax
1
∆y = 0 →
xmax −
=0
cosθ
2 vo2 cos 2 θ
2v o2
vo2
= sin θ cos θ
bzw. xmax = sin 2θ
g
g
sin 2θ =
x max g
v o2
∆x = xmax wenn ∆y = 0
auflösen nach ∆xmax
2 sin θ cosθ = sin 2θ
− 1 ≤ sin 2θ ≤ +1, sin 90° = 1 daher :
maximale Weite bei θ = 45°
fh-pw
Mechanik-1b 23
Beispiel: Wurfparabel
y
geg. : h, v0 , θ = 45°
v0 =40 m/s
ges. : Entfernung d
∆y = −20 m, v0 y = v 0 sin θ = 28,3 ms −1
Flugzeit :
∆y = v0 y t −
θ
1 2
gt
2
quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0
t1, 2
h=20 m
d=?
− 20 = 28,3t − 4,9t
2
t1, 2
b
b 2 − 4ac
=−
±
2a
2a
28,3
28,32 + 4 ⋅ 4,9 ⋅ 20
=
±
= 2,9 ± 3,5 s
9,8
9,8
t = 6,6 s
∆x = v0 xt = v 0 cosθ t = 40 ⋅ 0, 7 ⋅ t = 184 m
Anderer Lösungsweg :
suche Zeit t1 wenn v y = 0 (höchster Punkt), v y = v0 y − gt = 0 → t1 = v0 y g → hmax
berechne Zeit t 2 des freien Falls von y = hmax zu y = −20m → ∆x = v0 x (t1 + t 2 )
Mechanik-1b 24
fh-pw
Gleichförmige Kreisbewegung: Satelliten
vt
r
r+h
Ohne Gravitatio nsbeschleu nigung :
geradlinige Bewegung des Körpers
Mit Gravitatio nsbeschleu nigung : Kreisbeweg ung
Näherung : r >> h, t <<
Pythagoras : r 2 + (vt) 2 = (r + h) 2
bzw. r 2 + 2 rh + h 2 = r 2 + v 2 t 2
h( 2r + h ) = v 2 t 2 Näherung : 2r + h ≈ 2 r
2

2
1
v
2 2

2rh ≈ v t bzw. h ≈  t
2 r 
1
bei konstanter Beschleuni gung : h = at 2 (Fallhöhe)
2
v2
a=
r
Mechanik-1b 25
Kreisbeweg ung mit konstanter Beschleuni gung
fh-pw
Gleichförmige Kreisbewegung (|v|=const.)
vb
va
B
∆s
R
∆θ
A
R
va
∆v
∆θ
vb
 ∆v 
a = lim  
∆ t →0 ∆ t
 
da v⊥R gilt : ∠( Ra , Rb ) = ∠(v a , vb )
∆v = vb − va
∆v ∆s
v
=
oder ∆v = ∆s
Division durch ∆t
v
R
R
∆v v ∆s
=
Grenzwertbildung ∆t → 0
∆t R ∆t
 ∆v  v
 ∆s  v
lim   = lim   = v
∆t → 0 ∆ t
  R ∆ t → 0 ∆ t  R
v2
ac =
Zentripetalbeschleunigung
R
∆x
2 Rπ
v=
→
∆t
T
Umfang 

=

Umlaufzeit


4π 2
ac = 2 R
T
Für ∆t → 0 steht ∆v ⊥ v (Richtung Kreismitte lpunkt)
⇒ Zentripeta lbeschleun igung ac weist immer Richtung Kreismitte lpunkt
Mechanik-1b 26
fh-pw
Beispiel: Kreisbewegung
geg. : kreisförmige Flugbahn
R = 160 m, v = 288 kmh−1
R
ges. : Beschleuni gung a
Richtung von a im tiefsten Punkt
v
v2
Kreisbeweg ung : a =
R
80 2
a=
= 40 ms − 2
160
(rd .
,
4 g)
288 kmh −1 =
288
ms −1 = 80 ms −1
3,6
a ⊥ v bei Kreisbeweg ung
fh-pw
Mechanik-1b 27