Studienassistentin Kathrin Figl ∑

Zusammenfassung
Statistik Tutorium 1 & 2
Studienassistentin
Kathrin Figl
Alle Informationen ohne Gewähr!
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Lagemaße
Geben Eindruck von Höhe der Meßwerte
Bsp: Elfi hat folgende Punkte auf die Zwischentests in Geographie:
1, 3, 3, 2, 4, 3, 2
n= 7
1.Mittelwert (Durchschnittswert)
berechnen wir um repräsentatives, zusammenfassendes Maß für die Stichprobe zu haben,
ein Lagemaß, um zu wissen, wie hoch „im Durchschnitt“ die Werte der Stichprobe sind.
1 n
x = ⋅ ∑ xi
n i =1
=
1+ 3+ 3+ 2 + 4 + 3+ 2
=
7
2.57
n..Stichprobenumfang, Summierung: x1(:1)+x2(:3)+x3(:3)....usw.
(Berechnung: arithmetische Mittel : Summe der Messwerte der Stichprobe dividiert durch den
Stichprobenumfang)
2. Modalwert ( häufigster Wert)
≈ besonders “typischer” Ausgang
(-> Wert 1 kommt 1 mal vor ... 2* 2, 3* 3, 1* 4) -> = 3
Wert der am häufigsten vorkommt, also ein besonders typischer Wert der Stichprobe,
falls mehrere gleich häufig: nicht eindeutig definiert
3. Median ( liegt nach Ordnen in der „Mitte“)
1, 2, 2,
3 , 3, 3,
4
zuerst Werte nach Größe ordnen, dann ist der Median, der der in der Mitte liegt,
für gerades n: durchschnitt der beiden mittleren Werte Bsp: 1,2,3,4 Median:2.5!
1
Wie gut beschreiben folgende Maßzahlen die
Stichproben?
Mittelwert: Zb.
x=3
Noten von Max:
Noten von Kathi:
1, 3, 5
3, 3, 3
Max und Kathi haben beiden einen Noten-Mittelwert von 3, für Kathi beschreibt dies ihre
Noten sehr gut, für Max jedoch nicht, da seine Leistung sehr schwankt. Weiters ist zb. die
Information verlorengegangen, dass seine Leistung kontinuierlich abgenommen hat.
Modalwert: Zb. = 2
Messwertreihe 1 : 2, 6, 5, 4, 7, 3, 2
Messwertreihe 2 : 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
Für Messwertreihe 2 ist der Modalwert von 2 sehr „typisch“, für Messwertreihe 1 jedoch
nicht, da zb. alle anderen Werte höher als 2 sind. Es ist somit nicht garantiert, dass der
Modalwert in der Mitte der Verteilung liegt.
Median: Zb. = 14 000
vs. Mittelwert
x =39.724
zb. Jahreseinkommen:
12 000, 12 000, 13 000, 14 000, 17 000, 90 000, 120 000
Der Median beschreibt in diesem Beispiel die Verteilung des Jahreseinkommens besser als
der Mittelwert. Der Median ist ein robustes Maß, er lässt sich durch „Ausreißer“ wie 90 000
und 120 000 nicht beeinflussen.
2
Streuungsmaße
Geben Eindruck wie ähnlich. bzw. unterschiedlich die Messwerte sind
Bsp: Elfi hat folgende Punkte auf die Zwischentests in Geographie:
1, 3, 5, 3, 5, 1, 3
n= 7 , = 3
x
1.Minimum und Maximum
Min(kleinster Wert): 1
Max(größter Wert): 5
2.Varianz und Standardabweichung
dient dazu anzugeben, wie weit die Werte der Stichprobe um den Mittelwert streuen,
Varianz: s =
2
1
n
⋅ ∑i =1 ( xi − x ) 2
n
‚Mittleres Quadrat der Abweichungen der beobachteten Werte vom Mittelwert’
Die Varianz ist ein quadratisches Streuungsmaß, oft benötigt man ein lineares -> dann können
wir die Standardabweichung nehmen.
Standardabweichung:
s = Varianz
Die Standardabweichung ist größenmäßig so groß wie der mittlere Absolutbetrag der
Abweichungen vom Mittelwert, sie gibt uns also einen Eindruck um welchen Betrag die
Werte im Schnitt vom Mittelwert abweichen.
Steiner’sche Verschiebungsatz ->
(Umformung der ursprünglichen Formel um es besser händisch ausrechnen
zu können!
Hü2- Bsp 3: Beweis im alten, gelben Skriptum der Vorlesung auf Seite 27!)
=
=

1
(1² + 3² + 5² + 3² + 5² + 1² + 3² ) −
7

2


 ∑n x  

i 
1  n 2  i =1  
2
sx =
∑ xi − n 
n  i =1






(1+3+5+3+5+1+3) 
2
7


1
(79 ) − 21²  = 2.29

7
7 
3
Wie erstelle ich Stichproben mit gleichem MW ,
aber anderer Varianz ?
(für Hü 2: Spss/Excel Bsp1)
Bsp: ich nehme als MW zb. 50:
für die erste Stichprobe zähle ich abwechselnd 1 dazu, 1 ab: 51,49,52,48,53,47,54,46
für die zweite Stichprobe zähle ich abwechselnd 10 dazu, 10 ab: 60,40,70,30,80,20,90,10
nun habe ich 2 Stichproben mit gleichem MW, die Varianz ist bei Stichprobe 2 aber viel
höher als bei Stichprobe 1!
Bsp:
zb.:
Noten von Max:
Noten von Kathi:
1, 5, 3
3, 3, 3
MW bei beiden gleich, bei Max höhere Varianz. Inhaltliche Deutung: Kathi lernt fleißig und
kontinuierlich, Max bemüht sich manchmal und ist dann auch zu Höchstleistungen fähig,
manchmal hat er aber auch überhaupt keine Lust und lernt überhaupt nichts.
Standardisierung
allgemeine Formel:
T* =
X −x
s
Die Standardisierung ist eine spezielle Lineartransformation. Sie dient dazu, Werte aus
unterschiedlichen Datensätzen mit unterschiedlichem Mittelwert und Varianz zu vergleichen,
und von einem Wert in Datensatz 1 z b. den entsprechenden Wert in Datensatz 2 zu
berechnen.
Merke:
standardisierte Variablen haben Mittelwert= 0, Varianz (sowie Standardabweichung)= 1
(auch wichtig für Hü2: PC-Bsp2)
Bsp:
Karin kann sich nicht entscheiden, welche Berufsausbildung sie nach der Matura beginnen
soll, daher sucht sie eine Psychologin auf um zu erfahren, wo ihre besonderen Begabungen
liegen. Die Psychologin testet sie sowohl mit einem Test zum technischen Verständnis, als
auch einem Test der sprachliche Begabung erfasst.
Normierung des Tests:
techn. Test:
=55, s=8
Sprachtest:
=90, s=10
x
x
a) Karin erreicht folgende Punkteanzahl: techn. Test: 65, Sprachtest: 79
->Wo ist Sie begabter??
Wir können die zwei Testwerte nicht direkt miteinander vergleichen, da die beiden Tests
unterschiedlichen Varianzen und Mittelwerte aufweisen. Vergleichbarkeit ist nur dann
gegeben, wenn man die Testwerte auf einen gemeinsamen Standard transformiert, dh.:
standardisiert.
4
x
Standardisierung:
t*tech
x
=
tech
t*sprach=
−x
s
x
tech
65 − 55
= 1.25
8
=
tech
sprach
−x
s
sprach
sprach
=
79 − 90
= -1.1
10
t*tech > t*sprach : daher ist Karin im technischen Bereich begabter. Der Durchschnitt der
Vergleichspopulation ist 0 (siehe oben!) , daher liegt Karin mit positiven t*tech über dem
Durchschnitt der Vergleichspopulation, und mit negativem t*sprach unter dem Durchschnitt
der Vergleichspopulation.
b) Welche Punktezahl im techn. Test entspricht die Leistung im Sprachtest (79) ?
Wenn die Leistungen einander entsprechen sollen, so müssen sie den gleichen t-Wert haben,
daraus folgt, dass der t-Wert der gesuchten technischen Leistung auch –1.1 sein muß!
t*sprach= -1.1
x
-> -1.1= t*tech=
-1.1=
x
tech
tech
−x
s
tech
tech
=
x
tech
− 55
8
− 55
8
| *8
-1.1 *8 = xtech –55
xtech= 46.2
46,2 Punkte im technischen Test und 79 Punkte im sprachlichen Test sind einander
entsprechend gute Leistungen. (haben beide einen t-Wert von –1.1 !)
5