Technische Informatik - Warum E-Learning?

Blatt 02
Prof. Dr.-Ing. Grass
Universität Passau
Technische Informatik
Lehrstuhl für Rechnerstrukturen
Aufgabe 1: Dualsystem
(a) Wandeln Sie folgende Zahlen vom Dualsystem in das Dezimalsystem um:
00112 , 0110111102 , 11012 , 111010102 (mit Lösungsweg). [2]
Antwort:
00112
0110111102
11012
111010102
= 0 ∗ 23 + 0 ∗ 22 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 20 = 310
= 0 ∗ 28 + 1 ∗ 27 + 1 ∗ 26 + 0 ∗ 25 + 1 ∗ 24 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 1 ∗ 21 + 0 ∗ 20 = 22210
= 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 21 + 1 ∗ 20 = 1310
= 1 ∗ 27 + 1 ∗ 26 + 1 ∗ 25 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 23 + 0 ∗ 22 + 1 ∗ 21 + 0 ∗ 20 = 23410
(b) Wandeln Sie folgende Zahlen vom Dezimalsystem in das Dualsystem um:
100110 , 101000010 (mit Lösungsweg). [2]
Antwort:
1001:2
500:2
250:2
125:2
62:2
31:2
15:2
7:2
3:2
1:2
= 500
= 250
= 125
= 62
= 31
= 15
=7
=3
=1
=0
Rest 1
Rest 0
Rest 0
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Rest 1
Rest 1
Rest 1
Rest 1
100110 = 11111010012
1010000:2
505000:2
252500:2
126250:2
63125:2
31562:2
15781:2
7890:2
3945:2
1972:2
= 505000
= 252500
= 126250
= 63125
= 31562
= 15781
= 7890
= 3945
= 1972
= 986
Rest 0
Rest 0
Rest 0
Rest 0
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Rest 0
986:2
493:2
246:2
123:2
61:2
30:2
15:2
7:2
3:2
1:2
= 493
= 246
= 123
= 61
= 30
= 15
=7
=3
=1
=0
Rest 0
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Rest 1
Rest 1
Rest 1
100000010 = 111101101001010100002
Aufgabe 2: Hexadezimalsystem
Analog zu den in Vorlesung und Skriptum erwähnten Zahlendarstellungen werden in der Informatik oft Zahlen
zur Basis 16 notiert; man spricht in diesem Fall von Hexadezimalzahlen. Da der Zeichenvorrat des Dezimalsystems von 10 Ziffern (0 . . . 9) nicht ausreicht, um Zahlen im Hexadezimalsystem darzustellen (hierzu benötigt
man natürlich 16 Ziffern, 0. . . ,,15”), verwendet man die ersten sechs Buchstaben des Alphabets als zusätzliche
Ziffern. Die Ziffern des Hexadezimalsystems sind also 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
(a) Wandeln Sie folgende Zahlen vom Hexadezimalsystem in das Dualsystem um:
CD16 , 10D516 , EEEE16 (mit Lösungsweg). [2]
Antwort:
Das Hexadezimalsystem besitzt 16 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,C, D, E, F. D.h. jede einzelne Ziffer kann
im Dualsystem durch 4 Bits dargestellt werden (4 Bits → 24 = 16 mögliche, verschiedene Werte)
Beispiel:
216 = 00102
E16 = 11102
Hexadezimalzahlen können nun folgendermaßen ins Dualsystem umgewandelt werden:
1. Wandle jede einzelne Stelle der Hexadezimalzahl in eine 4-Bit Dualzahl.
2. Konkateniere die erhaltenen Dualzahlen.
CD16 → C16 |D16 → 11002 |11012 → 110011012
10D516 → 116 |016 |D16 |516 → 00012 |00002 |11012 |01012 → 00010000110101012
EEEE16 → E16 |E16 |E16 |E16 → 11102 |11102 |11102 |11102 = 11101110111011102
(b) Wandeln Sie folgende Zahlen vom Dualsystem in das Hexadezimalsystem um:
00112 , 11012 , 0110111102 , 111010102 (mit Lösungsweg). [2]
Antwort: Bei der Umwandlung von Dualzahlen in Hexadezimalzahlen wird genau umgekehrt wie bei der Wandlung Hexadezimal → Dual vorgegangen.
1. Bilde aus der zu wandelnden Dualzahl Vierergruppen von Bits beginnend mit der niederwertigsten Stelle
der Dualzahl. (Die letzte Viergruppe muss eventuell mit Nullen an den höherwertigen Stellen gefüllt
werden)
2. Wandle die Vierergruppen in einzelne Hexadezimalziffern.
3. Konkateniere die einzelnen Hexadezimalziffern.
00112 → 316
11012 → D16
0110111102 → 02 |11012 |11102 → 00002 |11012 |11102 → 016 |D16 |E16 → 0DE16 → DE16
111010102 → 11102 |10102 → E16 |A16 → EA16
Aufgabe 3:
Wandeln Sie folgende Zahl (zur Basis 30) in eine Zahl zur Basis 29 um (mit Lösungsweg). [4]
Hinweise:
• Basis Dualsystem = 2, Basis Dezimalsystem = 10, Basis Hexadezimalsystem = 16
• Zahlen zur Basis 29 bzw. 30 können dargestellt werden durch die Ziffern 0-9 sowei die Buchstaben A-S
bzw. A-T (gleiches Prinzip wie beim Hexadezimalsystem).
INFET30 = ...29 ?
Antwort:
Umwandlung Basis 30 → Dezimalsystem:
INFET30 = 18 · 304 + 23 · 303 + 15 · 302 + 14 · 301 + 29 · 300 = 15214949
Umwandlung Dezimalsystem → Basis 29:
15214949
524653
18091
623
21
:29
:29
:29
:29
:29
=
=
=
=
=
524653
18091
623
21
0
Rest 12 (=C)
ˆ
Rest 14 (=E)
ˆ
Rest 24 (=O)
ˆ
Rest 14 (=E)
ˆ
Rest 21 (=L)
ˆ
⇒ INFET30 = 1521494910 = LEOEC29
Aufgabe 4: Seien f , g, h : B3 → B mit
f (a, b, c) = (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)
g(a, b, c) = ¬(a ∧ (¬a ∨ ¬b))
h(a, b, c) = (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ ¬c)
gegeben.
(a) Erstellen Sie zu den gegebenen Funktionen die Wertetabellen. [1]
Antwort:
Sei {a, b, c} die Menge der Identifikatoren.
m
1
2
3
4
5
6
7
8
β(a)
O
O
O
O
L
L
L
L
β(b)
O
O
L
L
O
O
L
L
β(c)
O
L
O
L
O
L
O
L
f
O
L
O
L
O
O
L
L
g
L
L
L
L
O
O
L
L
h
O
O
O
O
O
O
L
L
(b) Geben Sie für die Funktionen f,g und h jeweils die Menge der einschlägigen Indizes an. [1]
Antwort:
Einschlägige Indizes: I f = {2, 4, 7, 8}, Ig = {1, 2, 3, 4, 7, 8}, Ih = {7, 8}
(c) Stellen Sie fest, ob die gegebenen Funktionen untereinander in einer ≤-Beziehung stehen und geben sie diese
Beziehung gegebenenfalls an. Begründen Sie Ihre Antwort. [2]
Antwort: ≤-Beziehungen:
Betrachtet man die Wertetabellen für f , g und h, so sieht man, dass für die Mengen der einschlägigen Indizes I f ,
Ig und Ih gilt: Ih ⊂ I f ⊂ Ig . Daraus folgt h < f < g.