Das Dualsystem

Das Dualsystem
Das Dualsystem, auch Binärsystem oder Zweiersystem genannt, ist ein Zahlensystem, welches
nur zwei Ziffern zur Darstellung von Zahlen benutzt. Es wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz
erfunden und erlebte mit dem Entwicklung der Digitaltechnik eine starke Verbreitung. Auf Grund
dessen ist es das bekannteste und wichtigste Zahlensystem neben dem gewöhnlich benutzten
Dezimalsystem
Das Dualsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 2. Die zwei Ziffern mit den Werten Null
und Eins werden oft mit den Symbolen 0 und 1 dargestellt. Alle Zahlen werden als Folge von 0 und
1 dargestellt. Die 8 (acht) im Zehnersystem entspricht beispielsweise der 1000 im Dualsystem.
In älterer Literatur mit Bezug zur elektronische Datenverarbeitung werden manchmal die Symbole
Low (L) und High (H) anstelle von 0 und 1 verwendet. Low steht dann meist für den Wert Null und
High für den Wert Eins. Diese Zuordnung nennt sich positive Logik, bei negativer Logik werden
die Werte andersherum zugeordnet.
Die Zahlen, die durch das Dualsystem dargestellt werden, heißen Dualzahlen oder Binärzahlen.
Definition und Darstellung
Eine Dualzahl wird durch die Ziffern zi dargestellt. Die Ziffern werden wie im gewöhnlich
verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert
entspricht allerdings der zur Stelle passenden Zweierpotenz und nicht der Zehnerpotenz.
Beispiel
Die Ziffernfolge 1101 zum Beispiel, stellt nicht (wie im Dezimalsystem) die
Tausendeinhundertundeins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert
durch
und nicht wie im Dezimalsystem durch
.
Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des
verwendeten Stellenwertsystems an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im
Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und
die Tiefergestellte Zahl wird dann manchmal in runde Klammern gesetzt.
Anwendung
Da die feinmechanischen Fertigkeiten der damaligen Zeit nicht ausreichten, musste Leibniz beim
Bau seiner Rechenmaschinen auf das Dezimalsystem zurückgreifen.
Bei der späteren Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen erlangte das Dualsystem
allerdings große Bedeutung, denn in der Digitaltechnik werden Zahlen durch elektrische Zustände
dargestellt. Bevorzugt werden zwei komplementäre Zustände wie Strom an/Strom aus oder
Spannung/Masse verwendet, da auf diese Weise sehr fehlerresistente und einfache Schaltungen zu
realisieren sind (siehe Binärcode). Diese zwei Zustände lassen sich dann als Ziffern benutzen. Das
Dualsystem ist die unkomplizierteste Methode mit Zahlen zu rechnen, die durch diese zwei Ziffern
dargestellt werden.
Grundrechenarten im Dualsystem
Analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Dualzahlen die gängigen arithmetischen
Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Tatsächlich
werden die benötigten Algorithmen sogar einfacher und lassen sich effizient mit logischen
Schaltungen elektronisch realisieren. Die Einführung von Dualzahlen in der Rechentechnik brachte
daher viele Vorteile.
Addition
Beispiel
Subtraktion
0+0=0
0-0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
0-1=1
1-0=1
1-1=0
Multiplikation
Beispiel
Division
0 0=0
0 / 0 = n.def.
0 1=0
1 0=0
1 1=1
0/1=0
1 / 0 = n.def.
1/1=1
Beispiel
Beispiel
Schriftliche Addition
Die binäre Addition ist eine grundlegende Basisoperation in der Computerwelt. Will man zwei
nichtnegative Binärzahlen A und B addieren, so geht man wie folgt vor:
Man arbeitet von rechts nach links alle Binärziffern (=Bits) von A und B simultan ab und erzeugt in
jedem Zwischenschritt ein Ergebnisbit sowie ein Merkerbit. Pro Bit lautet die Rechnung: Addiere
das jeweilige Bit von A und B plus das Merkerbit zu einer zweistelligen Binärzahl, deren niedrigere
Binärziffer das Ergebnisbit und deren höhere Binärziffer das Merkerbit wird. Man muss diesen
Schritt so lange wiederholen, bis alle Ziffern von A und B und ein eventuelles gesetztes Merkerbit
aufgebraucht sind.
Als Beispiel nehmen wir:
A
= 10011010 (154)
B
= 00110110 (54)
Ergebnis = 11010000 (208)
Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme
Dualsystem
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1
Dezimalsystem 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Vom Dualsystem ins Dezimalsystem
Um eine Dualzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit
ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert.
Beispiel:
1010(2) = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10(10).
Die Produkte, die durch eine Null als Stelle zustandegekommen sind, hätten nicht errechnet werden
müssen, können aber zur besseren Übersicht notiert werden!
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vom Dezimalsystem ins Dualsystem
Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die
Divisionsmethode (auch Modulomethode genannt) am Beispiel 41(10) beschrieben:
41 : 2 = 20 Rest 1
20 : 2 = 10 Rest 0
10 : 2 =
5 Rest 0
5 : 2 =
2 Rest 1
2 : 2 =
1 Rest 0
1 : 2 =
0 Rest 1
Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der errechneten Reste von unten nach oben:
101001(2)
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