1 Dualzahlen Ein Schüler soll sich eine Zahl zwischen 1 und 60

Dualzahlen
Ein Schüler soll sich eine Zahl zwischen 1 und 60 denken.
Nun soll der Schüler seinen Zahl in folgenden Tabellen suchen und die Nummer der Tabelle
nennen in welcher sich seine Zahl befindet.
ww
1
3
15
27
39
51
5
17
29
41
53
7
19
31
43
55
9
21
33
45
57
11
23
35
47
59
2
14
26
38
50
3
15
27
39
51
ex
w.
1
13
25
37
49
2
4
9
15
29
43
57
10
24
30
44
58
11
25
31
45
59
12
26
40
46
60
13
27
41
47
16
22
28
50
56
17
23
29
51
57
7
19
31
43
55
10
22
34
46
58
11
23
35
47
59
4
14
28
38
52
5
15
29
39
53
5
18
24
30
52
58
19
25
31
53
59
6
20
30
44
54
7
21
31
45
55
12
22
36
46
60
13
23
37
47
36
42
48
54
60
37
43
49
55
6
20
26
48
54
60
tre
8
14
28
42
56
6
18
30
42
54
3
21
27
49
55
32
38
44
50
56
33
39
45
51
57
34
40
46
52
58
35
41
47
53
59
2  21
4  22
16  24
e
k.d
8  23
tar
ms
Hat sich der Schüler z. Bsp. die Zahl 37 gedacht, so wird er die Nummern 1, 3 und 6 nennen.
Der Lehrer kann ihm dann sofort seine gedachte Zahl nennen.
Doch wie funktioniert das?
Entscheidend zur Berechnung der gedachten Zahl sind die Ziffern die sich links oben in
jedem Kästchen befinden. Also:
1  4  32  37
Schaut man sich diese Zahlen (oben links) etwas genauer an, dann stellt man fest, dass es sich
hierbei um Zahlen handelt welche alle eine Potenz der Zahl 2 sind.
1  20
32  25
Was ist nun passiert? Der Schüler hat gesagt in welchem Kasten seine Zahl steht (ja) und in
welchem seine Zahl nicht steht (nein); diese hat er einfach nicht genannt. Fasst man das in
einer Tabelle zusammen, dann sieht das so aus:
Kasten Nr. 1
2
3
4
5
6
Zahl oben links 1
2
4
8
16
32
Kasten genannt ja nein ja nein nein ja
Rechnung 1  20 0  21 1  22 0  23 0  24 1  25
„Binärzahl“ 1
0
1
0
0
1
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
1
Der Schüler hat also ohne es zu wissen seine Zahl in die Bestandteile der entsprechenden
Binärzahl umgewandelt und dem Lehrer diese Bestandteile genannt. Der Lehrer hat diese
dann wieder in eine „normale“ Zahl umgewandelt.
ex
w.
ww
Doch was sind Binärzahlen?
Unser Zahlensystem besteht aus den Ziffer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Damit lassen sich alle
uns bekannten Zahlen darstellen.
Beispiel:
273
2 Hunderter, 7 Zehner und 3 Einer
2 100  7 10  3 1
2 102  7 101  3 100
In unserem Zehnersystem ist das alles ganz einfach. Man gibt also die Anzahl der Hunderter,
Zehner und Einer an. Ja eigentlich gibt man die Anzahl der verschiedenen Zehnerpotenzen an.
Also wie viele 102 , wie viele 101 und wie viele 100 .
tre
Gottfried Wilhelm Leibniz hat das Dualsystem (Binärsystem, Zweiersystem) erfunden, in
welchem nur zwei Ziffern (0 und 1) zur Darstellung von Zahlen benutzt werden. Mit der
Entwicklung der Digitaltechnik erlangte das Dualsystem dann erst an großer Bedeutung.
In der Digitaltechnik werden Zahlen in eine Ziffernfolge aus 0-en und 1-en umgewandelt und
können somit elektronisch sehr gut verarbeitet (ja sogar gespeichert) werden. So bedeutet die
Ziffer 1 Strom an und die Ziffer 0 bedeutet Strom aus. Auf diese Art und Weise lässt sich
sogar mit diesen Zahlen rechnen
e
k.d
tar
ms
Wollen wir nun mal ein paar Zahlen im Zehnersystem in Zahlen im Dualsystem umwandeln.
Dazu verwenden wir obige Tabellen.
110  0000012
210  0000102
310  0000112
410  0001002
510  0001012
610  0001102
710  0001112
810  0010002
910  0010012
1010  0010102
1110  0010112
1210  0011002
Die Liste lässt sich natürlich noch fortsetzen.
Doch wie lassen sich größere Zahlen aus dem Zehnersystem in eine Zahl im Dualsystem
umwandeln.
Dazu eine sehr anschaulich Methode.
Die Schüler sollen ihre Körpergröße (in ganze cm) mit Hilfe verschiedener Latten mit den
Längen 1cm, 2cm, 4cm 8cm, 16cm, 32cm, 64cm und 128cm darstellen.
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
2
So gilt also z. Bsp.:
183  128  32  16  4  2  1
183  1  27  0  26  1  25  1  24  0  23  1  22  1  21  1  20
18310  101101112
ww
Notieren wir unsere Ergebnisse um schon mal einige Zahldarstellung zu erhalten:
ex
w.
Doch wie lässt sich das ganze ohne diese Latten bewerkstelligen? Lässt sich eine Dezimalzahl
auch in eine Dualzahl umrechnen.
1. Methode: Zweierpotenzsubtraktionsmethode:
Man nimmt eine Dezimalzahl und überlegt welche Zweierpotenz in dieser Zahl
steckt. Anschließend subtrahiert man diese und überlegt welche Zweierpotenz in
die Differenz reingeht usw.
Bsp.: Stelle die Zahl 21110 im Dualsystem dar.
211  128  83  1  27
19  16  3
3 2 1
tre
83  64  19  1  26
 1 24
 1  21
e
k.d
tar
ms
1  1  0  1  20
Die Zweierpotenzen, die nicht vorkommen haben den Koeffizienten 0. Somit
folgt:
21110  110100112
Übung: Stelle folgende Zahlen im Dualsystem dar. 199, 200, ...
2. Methode: Divisionsmethode mit Restbetrachtung:
Man nimmt eine Dezimalzahl und dividiert diese durch 2. Den Rest notiert man
als letzte Ziffer der entsprechenden Dualzahl. Das ganzzahlige Ergebnis der
Division dividiert man erneut durch 2 und notiert den entsprechenden Rest als
vorletzte Ziffer der Dualzahl. Usw.
Bsp.: Stelle die Zahl 19710 im Dualsystem dar.
197 : 2  98 Re st 1  1
98 : 2  49 Rest 0  0
49 : 2  24 Rest 1  1
24 : 2  12 Rest 0  0
12 : 2  6 Re st 0  0
6 : 2  3 Re st 0  0
3 : 2  1 Re st 1
 1
2 : 2  1 Re st 0
 0
Somit folgt: 197 2  010001012
Übung: Stelle folgende Zahlen im Dualsystem dar. 130, 150, ...
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
3
ex
w.
ww
Mit diesen acht Ziffern sind die Zahlen von 0 bis 255 als Dualzahl darstellbar.
Sämtliche Steuerzeichen, Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen des Computers wird eine
Dezimalzahl zugewiesen, welche als Dualzahl (8-Bit-Code) umgewandelt wird und somit
vom Computer verarbeitet bzw. gespeichert werden kann. Ein Datenaustausch zwischen
verschiedenen Hard- und Softwaresystemen wird dadurch erst möglich.
Der alte ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) wurde
inzwischen vom ANSI-Code abgelöst. Den Steuerzeichen, Buchstaben und Ziffern wird aber
in beiden Systemen die gleiche Dezimal- und schließlich auch die gleiche Dualzahl
zugeordnet.
Drückt man auf der Computertastatur auf das „a“, so wandelt ein kleiner Chip im
Tastaturgehäuse dieses sofort in die zugehörige Dualzahl der Computersprache um
a  01100001
und gibt dies zum Computer weiter.
Der Computer speichert jedes Zeichen als Block aus acht Ziffern ab (8-Bit). Somit weiß er
immer, wann ein neues Zeichen beginnt.
Übersetze die folgende Zeichenfolge in den entsprechenden Text:
0101001101110100011000010111001001101011
Erstelle die Zeichenfolge von deinen Vornamen und Nachnamen den ein Computer
abspeichert.
tre
e
k.d
tar
ms
Um ein Zeichen am Computer abzuspeichern muss sich dieser 8Bit bzw. 1Byte (=8Bit)
„merken“.
Um nun eine ganze Buchseite bestehend aus 40 Zeilen a 50 Zeichen abzuspeichern sind dann
schon 2000 Byte nötig. Eine Datenmenge von 1024 Byte fasst man allerdings zu 1 kByte
zusammen. Somit gilt:
1024 Byte  1 kB  yte 
1024 kB  1 MB
1024 MB  1 GB
1024 GB  1 TB
1024 TB  1 PB

Um ein Buch mit 500 Seiten (a 2000 Zeichen) abzuspeichern sind dann schon 1.000.000
Zeichen abzuspeichern also 1.000.000 Byte. Das sind knappe 977kB, also nicht mal 1MB.
Um die gesamte Bibel abzuspeichern benötigt man 3,40MB.
Dabei muss allerdings beachtet werden, dass man hier nur reinen Text abspeichert, keine
Bilder oder Sonstiges.
Aufgabe: Wenn man sich einen Computer kauft mit einer Festplattengröße von 1000GB, dann
entspricht das wie vielen TB?
1000
Das entspricht dann
 0,977 TB
1024
Also eine kleine Mogelpackung!
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
4
ex
w.
ww
Rechnen mit Dualzahlen
Analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Dualzahlen die gängigen
arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
durchführen. Die benötigten Rechenoperationen sind uns schon bekannt und sogar viel
einfacher zu handhaben.
Addition: Für die Addition der Zahlen 12 und 17 im Dezimalsystem gilt:
12
 17
29
Wir wandeln zunächst die Zahlen 12, 17 und 29 in Dualzahlen um und schauen uns die
Addition der entsprechenden Dualzahlen an.
1210  11002 , 1710  100012 , 2910  111012
1100
 10001
11101
Bei der Addition gilt:
tre
Addition
00  0
1 0  1
0 1  1
1  1  10
e
k.d
tar
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
Dezimalzahlen als Dualzahlen:
ms
Da 1  1 eigentlich 2 wäre, aber die Zahl 2 ja im Dualsystem 102 ist, wird aus 1  1  10 . Man
hat dann an entsprechender Stelle eine 0 einzutragen, die 1 wird wie gewohnt nach vorne
übertragen.
Beispiele: Führen Sie folgende Additionen im Dualsystem durch.
132  37 , 100  25 , 200  75 , 113  113
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
5