Rechen mit Schaltungen

Rechen mit Schaltungen
Als Anwendung der Grundschaltungen wird eine Schaltung entwickelt, die addieren
kann. Ein solches Addierwerk ist ein wichtiger Bestandteil in dem Rechenwerk eines
Computers, da man alle Rechenarten auf die Addition zurückführen kann .
Die Ein- und Ausgänge digitaler Schaltungen können nur die zwei verschiedenen
Zustände 0 (L*) und 1 (H*2) annehmen. Deshalb ist es einleuchtend, dass sich zur
Verwirklichung von Rechenschaltungen das Zweiersystem (Dualsystem) mit nur zwei
verschiedenen Ziffern besser eignet als das Zehnersystem (Dezimalsystem) mit zehn
verschiedenen Ziffern. Für diejenigen, die den Umgang mit Dualzahlen nicht mehr
gewohnt sind, nun eine kurze Zusammenfassung, was wir für das Verständnis der
folgenden Schaltungen benötigen.
.
Das Dualsystem
Das Dualsystem ist wie das Dezimalsystem ein Stellenwertsystem. In einem solchen
System hat jede Ziffer neben ihrem Zahlenwert noch einen Stellenwert. So bedeutet in
der Dezimalzahl 37302 die Ziffer 3 einmal „dreißigtausend" und einmal „dreihundert",
je nachdem, an welcher Stelle sie steht. Welchen Wert die Ziffer 3 haben soll, wissen
wir auf Grund einer Vereinbarung. Diese Vereinbarung besagt, dass die Stellenwerte,
hier also die Zehnerpotenzen, mit denen die jeweilige Ziffer zu multiplizieren ist, von
rechts nach links um jeweils eine Zehnerpotenz steigen. Sie beginnen rechts mit 10°= 1.
Die Tabelle veranschaulicht diese Vereinbarung noch mal anhand des Zahlenbeispiels:
Zehntausender
104
3
Tausender
103
7
Hunderter
102
3
Zehner
101
0
Einer
100
2
Die gleiche Vereinbarung gilt sinngemäß im Dualsystem. An die Stelle der Zehnerpotenzen
treten hier Zweierpotenzen. Die zehn Ziffern 0 bis 9 des Dezimalsystems geben an, wie oft
die entsprechende Zehnerpotenz vorkommt. In einer Dualzahl kann eine bestimmte
Zweierpotenz entweder keinmal oder einmal vorkommen, denn wenn z. B. 23 zweimal
vorkäme, so wäre das wegen 2 - 23 = 24 ja schon die nächste Stelle. Die beiden Ziffern des
Dualsystems sind Binärzeichen. Wir bezeichnen sie mit n0" (t-) und 0 bedeutet im
Dualsystem, dass die entsprechende Zweierpotenz nicht vorkommt, 1 bedeutet, die
entsprechende
Zweierpotenz ist in der Dualzahl genau einmal enthalten.
Die Binärzeichen 0 und 1 haben im Dualsystem also eine andere Bedeutung als bei digitalen
Schaltungen, bei denen sie elektrische Spannungen symbolisieren. Trotzdem ist es ublich in
beiden Fällen die gleichen Zeichen zu verwenden und sie bei Rechenschaltungen, wie wir
sehen werden, einander zuzuordnen, da Missverständnisse hierbei kaum möglich sind.
*L = Low
*2H = High
Sechzehner
Achter
Vierer
Zweier
Einer
24
23
22
21
20
1
0
1
1
0
Welchen Wert hat nun die Dualzahl 10110? In beiden Stellenwertsystemen erhalten wir den
Wert einer Zahl, indem wir den Zahlenwert einer Ziffer mit ihrem Stellenwert multiplizieren
und die Ergebnisse addieren. Für die beiden Beispiele ergibt dies folgende Rechnung: 37302 =
3 10'+ 7-10 3 + 3 * 102+0. * 101+2* 101
10111*24+0*23+1*22+i*21+0*2°
Das zweite Zahlenbeispiel zeigt uns gleichzeitig, wie wir eine Dualzahl in eine Dezimalzahl
*8+1 *4+12+0-1 = 16+4+2 = 22
Der Dualzahl 1 0 1 1 0 entspricht also die Dezimalzahl 22
Dezimal- Dualzahl Dezimal- Dualzahl Dezimal- Dualzahl Dezimal- Dualzahl
zahl
zahl
zahl
zahl
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
10
11
100
101
110
111
8
9
10
11
12
13
14
15
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
16
17
18
19
20
21
22
23
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
24
25
26
27
28
29
30
31
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
32
100000
Tab. 2012: Die ersten 32 Dualzahlen mit den entsprechenden Dezimalzahlen
Auch die Übersetzung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl ist denkbar einfach. Nehmen wir z.
B. die Zahl 57. Da jede Zweierpotenz nur einmal in einer Dualzahl vorkommt, suchen wir
zuerst die höchste Zweierpotenz, die als Summand in 57 enthalten ist, es ist die Zahl 32=25. Als
Rest bleibt 25. Die höchste Zweierpotenz in 25 ist 16 = 24. Im Rest 9 steckt 8 = 23 als höchste
Zweierpotenz, im Rest 1 steckt 2° ohne Rest. Bei der Zusammenstellung der Dualzahl müssen
wir - entsprechend wie im Dezimalsystem - für die fehlenden Zweierpotenzen natürlich 0
einsetzen. Als Hilfe schreiben wir uns nochmal alle Zweierpotenzen bis 25 in eine Reihe. Dann
ergibt sich für die Dezimalzahl 57 die Dualzahl
25
24
1
1
= 57 (im Dezimalsystem)
23
1
22
0
21
0
20
1
Addition zweier Dualzahlen. Die schriftliche Addition zweier Zahlen im Dualsystem
entspricht dem gleichen Vorgang im Dezimalsystem. Man beginnt bei der niedrigsten
Potenz, also rechts. Ebenso wie man im Dezimalsystem z. B. für 7 + 3 eine 0 schr eibt und
den Übertrag 1 zur nächsten Stelle addiert, schreibt man im Dualsystem für 1 + 1 eine 0
und addiert den Übertrag 1 zur nächsten Stelle. Das ist einzusehen, wenn man bedenkt,
dass z. B. 1 + 1 an der 2. Stelle von rechts 2 + 2 bedeutet, und die Vierer ja an der 3.
Stelle stehen.
Beispiel:
1. Summand
2. Summand
Summe
Übertrag
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
Der Halbaddierer
Um eine Schaltung zu entwickeln, die addieren kann, beginnen wir mit der einfachsten
Addition im Dualsystem, mit der Addition von zwei einstelligen Dualzahlen...
(siehe Erklärung des Halb- und Volladdierers.