Trajektorien - Fakultät für Physik

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016
Dozent: Jan von Delft
Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber,
Katharina Stadler, Lukas Weidinger
http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/T1_theor_mechanik/
Blatt 02.1: Trajektorien
Ausgabe: Freitag, 15.04.16; Abgabe: Freitag, 22.04.16, 13:00
(b)[2](E/M/A) bedeutet: Aufgabe (b) zählt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll
Beispielaufgabe 1: Differentialgleichungen [5]
Punkte: (a)[1](E); (b)[0.5](E); (c)[1.5](E); (d)[1](E); (e)[1](E).
In dieser Aufgabe wollen wir einige allgemeine Eigenschaften von Differentialgleichungen am Beispiel einer Bewegung mit Reibung in einem (räumlich und zeitlich) konstanten Kraftfeld (z.B.
Schwerkraft an der Erdoberfläche) veranschaulichen.
Die Bewegungsgleichung lautet
mz̈ + αż = −mg ,
(1)
wobei der Reibungskoeffizient α konstant ist, was Stokessche Reibung genannt wird.
(a) Lösen Sie die homogene Bewegungsgleichung mit einem Exponentialansatz.
(b) Für eine homogene lineare Differentialgleichung gilt das Superpositionsprinzip. Machen Sie
sich klar, was dieses hier besagt.
(c) Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (1) setzt sich aus der allgemeinen Lösung
der homogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung der inhomegenen Gleichung
zusammen. Finden Sie eine spezielle Lösung, zS (t), der inhomogenen Gleichung durch den
Ansatz z̈S (t) = 0. Welche physikalische Überlegung steckt hinter diesem Ansatz?
(d) Skizzieren Sie die Lösung der Differentialgleichung für Anfangsbedingungen z(t = 0) = z0 ;
ż(t = 0) = 0 (anschaulich: Fallschirmsprung aus Höhe z0 ).
(e) Diskutieren Sie den Fall α = 0 (Der Exponentialansatz liefert entartete Lösungen).
Beispielaufgabe 2: Bewegung im Potential in einer Dimension [4]
Punkte: [4](M).
Wir betrachten ein einfaches Beispiel für die Lösung der Bewegungsgleichung in einer Dimension für ortsabhängige Kräfte. Trennung der Variablen führt zur allgemeinen ‘Lösungsformel unter
Ausnutzung von Energieerhaltung’
ˆ x
dx0
q
.
(2)
t − t0 =
2
0 )]
x0
[E
−
U
(x
m
Finden Sie x(t) für ein Potential U (x) = mgx. Was ist die Anfangsgeschwindigkeit ẋ(t = t0 )?
Beispielaufgabe 3: Wegintegrale [5]
Punkte: (a)[1](E); (b)[2](M); (c)[1](E); (d)[1](E).
1
Zwei Bergsteiger der Masse m wollen vom Tal (0, 0) eine
Hütte (xH , zH ) besteigen. Bergsteiger 1 wählt einen Weg
über den Gipfel (xG , zG ). Dieser Weg kann durch eine Parabel, deren Scheitel der Gipfel darstellt, beschrieben werden. Bergsteiger 2 nimmt die direkte Verbindungsstrecke
zwischen Tal und Hütte (siehe Skizze). Neben der Schwerkraft wirke auf die Bergsteiger eine durch den Wind ausgeübte Kraft F~W (z) = −FW z~ex .
z
zG
(xH ,zH )
1
2
xG
x
(a) Wählen Sie zunächst eine Parametrisierung der beiden Wege. Beachten Sie im weiteren, dass
die Parameter {xH , zH , xG , zG } nicht unabhängig sind. Betrachten Sie daher xG , xH und
zG als gegeben, sowie zH als abhängigen Parameter.
(b) Berechnen Sie die von den Bergsteigern auf den Wegen 1 und 2 verichtete Arbeit. Geben Sie
das Resultat auch als Funktion von xG , xH und zH an.
(c) Ist die Kraft F~ = F~g + F~W konservativ?
(d) Berechnen Sie die im Gravitationsfeld verichtete Arbeit über das Potential der Schwerkraft
F~g = −mg~ez und vergleichen Sie mit der Rechnung aus (b).
Beispielaufgabe 4: Bahnkurve in der Ebene [3]
Punkte: (a)[1](E); (b)[2](E).
Ein Massenpunkt bewege sich gemäß der Bahnkurve
x(t)
R cos(ωt)
r(t) =
=
.
R sin(ωt)
y(t)
a)
Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor v(t) und den Beschleunigungsvektor a(t), sowie deren Beträge v(t) und a(t).
b)
Aus der Geschwindigkeit v(t) können Sie durch Integration den zurückgelegten Weg
s(t) berechnen und die Bahnkurve in Abhängigkeit von s angeben. Berechnen Sie die
Wegstrecke, nach der sich der Massenpunkt am selben Ort befindet.
[Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 17]
Hausaufgabe 1: Bewegung im harmonischen Oszillatorpotential [5]
Punkte: (a)[1](E); (b)[2](M); (c)[2](M).
Die Auslenkung x einer Masse m an einer Feder mit Federkonstante D bewirkt eine Rückstellkraft
F = −Dx. Wir wollen im Weiteren die ‘Lösungsformel unter Ausnutzung von Energieerhaltung’
der Beispielaufgaben auf dieses Problem anwenden.
a)
Skizzieren Sie das zu F gehörende Potential U (x) und den Bereich, in dem die Bewegung
stattfindet. Finden Sie die Umkehrpunkte.
b)
Berechnen Sie zunächst die Periode T der Bewegung.
c)
Finden Sie die Lösung der Bewegungsgleichung.
2
Hausaufgabe 2: Konservative Felder [5]
Punkte: [5](L).
Zeigen Sie, dass das Vektorfeld


2xy + z 3
A =  x2 + 2y  ,
3xz 2 − 2
konservativ ist. Bestimmen Sie die Potentialfunktion φ(x, y, z) =
mit r0 = (0, 0, 0). Berechnen Sie ∇φ.
´r
r0
dr0 · A durch Wegintegration
Hausaufgabe 3: Raumkurven [5]
Punkte: (a)[2](E); (b)[3](E).
Die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld und einem dazu parallelen elektrischen Feld kann durch folgende Bahn r(t) = (x(t), y(t), z(t)) beschrieben werden:
x(t) = R sin(ωt),
y(t) = R cos(ωt),
1
z(t) = v0 t + az t2 .
2
a)
Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor v(t) und den Beschleunigungsvektor a(t), sowie deren Beträge v(t) und a(t).
b)
Aus der Geschwindigkeit v(t) können Sie durch Integration die Länge des zurückgelegten
Wegs s(t) berechnen und die Bahnkurve in Abhängigkeit von s angeben (Betrachten Sie
nur den Spezialfall az = 0). Berechnen Sie nun den Tangenteneinheitsvektor
τ = dr/ds und verifizieren Sie, dass v(t) = v(t)τ .
[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 15]
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