TECHNISCHE UNIVERSIT AT BERLIN

TECHNISCHE UNIVERSITA T BERLIN
WS 1999/2000
FACHBEREICH MATHEMATIK


Dozenten: Prof. Dr. D. KRUGER
, Prof. Dr. H. CYCON, Dr. W. KONIG
, E. SCHWARZ


Assistenten: Dr. W. BOSE
, T. RICHTER, G. RUCKNER
, B. WESS

7. Ubungsblatt
zur VL ,,H
ohere Mathematik I fu
 r Ingenieure\
: 13.12. - 17.12.1999
Abgabe

Aufgabe 48 U
Bestimmen Sie fur die Matrix A das charakteristische Polynom, die Eigenwerte sowie
deren algebraische und geometrische Vielfachheiten.
0
A=@
2 1
1 2
2 2
2
2
1
1
A
Aufgabe 49 H
Sei
01
B0
A=B
@0
5
1
0
0 0
0
2
1
3
6
0
3
1
1
CC :
A
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A (auch die komplexen) und die zugehorigen
algebraischen Vielfachheiten.
b) Bestimmen Sie den reellen Eigenraum des reellen Eigenwertes.
c) Geben Sie die geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte an. (Hinweis: Es ist
dafur nicht notwendig, die Eigenraume der komplexen Eigenwerte zu berechnen).
4 Punkte
Aufgabe 50
 Sei A eine regulare quadratische Matrix mit A
Ua)
Eigenwert von A entweder 1 oder -1 ist.
1
= A: Zeigen Sie, da jeder
Hb) A sei eine quadratische regulare Matrix mit dem Eigenwert :
Zeigen Sie, da 6= 0 ist und da ein Eigenwert von A ist.
1
1
3 Punkte
Aufgabe 51
 Welche der folgenden beiden Systeme von Vektoren sind linear abhangig?
Ua)
a) a = (1; 3; 2)T ; a = (4; 1; 1)T ; a = (2; 1; 2)T
b) a = (1; 1; 2)T ; a = ( 2; 0; 1)T ; a = (6; 4; 13)T
1
2
3
1
2
3
Hc) Es seien u; v; w drei liniear unabhangige Vektoren. Sind auch die drei Vektoren
3u 2v + w; u + w; v + 10w linear unabhangig?
2 Punkte
Aufgabe 52
Untersuchen Sie, ob der Vektor v als Linearkombination der Vektoren a; b; c dargestellt
werden kann.

a = ( 2; 2; 2)T ; b = ( 1; 0; 2)T ;
Ua)
Hb) a = (1; 3; 2)T ;
c = (3; 4; 5)T ;
v = (6; 6; 5)T
b = (2; 4; 1)T ; c = (1; 5; 7)T ;
v = (2; 5; 3)T
2 Punkte
Aufgabe 53
 Berechnen Sie die Projektion von b auf die Richtung des Vektors a und geben Sie
Ua)
die Lapnge dieserpProjektion an. Welchen Winkel schlieen a und b ein?
a = ( 3 + 1; 2; 3 1)T ; b = ( 1; 2; 1)T
Hb) Zerlegen Sie den Vektor x = (1; 0; 1)T in eine Summe von Vektoren, von denen
der eine parallel und der andere senkrecht zum Vektor y = (3; 2; 1)T gerichtet ist.
3 Punkte
Aufgabe 54
 Zeigen Sie: Die drei Hohen eines beliebigen nichtentarteten Dreiecks schneiden
Ua)
sich in einem Punkt.
Hb) Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A = (1; 1; 2);
C = (4; 0; 0):
Berechnen Sie den Schnittpunkt der Hohen.
B = (2; 1; 1);
4 Punkte
Aufgabe 55
 Die Punkte A = (1; 1; 0); B = (1; 1; 0); C = ( 1; 1; 0) und D = ( 1; 1; 0)
Ua)
seien die Eckpunkte der Grundache einer Pyramide, und der Punkt E = (0; 0; 2)
sei deren Spitze.
Berechnen Sie die Oberache und das Volumen dieser Pyramide.
Hb) Berechnen Sie die Oberache und das Volumen des Tetraeders mit den Eckpunkten
A = (1; 1; 1); B = ( 1; 0; 1); C = (2; 1; 1) und D = (3; 2; 0):
2 Punkte