¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Wahrscheinlichkeitstheorie“

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeitstheorie“
”
WS 2010/2011 - Blatt 1
Abgabe: Dienstag, 02.11.2010, zu Beginn der Vorlesung.
Bitte vermerken Sie auf jedem Lösungsblatt Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe.
Aufgabe 1
F sei eine σ-Algebra auf einer Menge Ω. Ferner sei Ω0 ⊂ Ω. Zeigen Sie, dass
F ∩ Ω0 := {A ∩ Ω0 : A ∈ F} eine σ-Algebra auf Ω0 (die sogenannte Spur-σ-Algebra von F auf Ω0 )
ist.
Aufgabe 2
Für Ω überabzählbar sei
F := {A ⊂ Ω | A oder Ac ist abzählbar}.
Zeigen Sie
1. F ist eine σ-Algebra auf Ω
2. für Ω = R ist F keine Topologie auf Ω.
Aufgabe 3
Sei Ω eine endliche Menge, sei |Ω| gerade und ≥ 4. Setze
D := {D ⊂ Ω | |D| ist gerade} .
Zeigen Sie, dass D ein Dynkin-System, aber keine σ-Algebra ist.
Aufgabe 4
S
Für alle n ∈ N sei Fn die von 2{0,...,n} erzeugte σ-Algebra auf N. Zeigen Sie, dass n∈N Fn keine
σ-Algebra ist.