Computeralgebra

Computeralgebra
PD Dr. Jürgen Müller
(9.1) Aufgabe: Satz von Sturm.
Es sei 0 6= f ∈ R[X] mit paarweise verschiedenen Nullstellen in C[X]. Man
∂f
modifiziere den Euklidischen Algorithmus für r0 := f und r1 := ∂X
durch
Verwenden der Polynomdivision ri−1 = qi ri − ri+1 , für i ∈ {1, . . . , l − 1}.
Für a ∈ R sei νa (f ) ∈ N0 die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
[sgn(r0 (a)), . . . , sgn(rl (a))], wobei Einträge 0 ignoriert werden. Man zeige: Für
a < b gilt |{a < x ≤ b; f (x) = 0}| = νa (f ) − νb (f ).
Hinweis. Gewisse Vorzeichenfolgen können nicht vorkommen.
(9.2) Aufgabe: Rekonstruktion rationaler Zahlen.
Es seien r, t ∈ Z mit t > 0 und ggT(r, t) = 1. Ziel ist es, zu zeigen, daß rt ∈ Q
aus einer modularen Reduktion n mod m zurückgewonnen werden kann, wenn
m genügend groß ist.
Dazu seien also m ∈ N mit ggT(t, m) = 1 und n ∈ N0 mit n < m und r ≡
nt mod m. Weiter gebe es k ∈ N mit |r| < k und kt ≤ m. Schließlich seien
i ∈ {1, . . . , l + 1} im erweiterten Euklidischen Algorithmus für m und n minimal
mit k > ri , und a ∈ N minimal mit k > ri−1 − ari .
Man zeige: Es gilt [r, t] = ±[ri , ti ] oder [r, t] = ±[ri−1 − ari , ti−1 − ati ].
(9.3) Aufgabe: LLL-Reduktion.
2
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Man zeige, daß man die Lovasz-Bedingung ||b0k || ≥ (c − µ2k,k−1 · ||b0k−1 || der LLLReduktion für geeignete Wahlen für 41 < c < 1 durch die Siegel-Bedingung
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||b0k || ≥ 12 · ||b0k−1 || ersetzen kann.
(9.4) Aufgabe: LLL-Algorithmus.
Es sei Q ∈ Rn×n eine positiv definite symmetrische Matrix. Man gebe eine
Variante des LLL-Algorithmus an, der Q als Eingabe und eine LLL-reduzierte
Basis in Form einer Basiswechselmatrix als Ausgabe hat.
Abgabe: Mittwoch, 15.06.2005, in der Vorlesung.